Страница 158 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

814. Выразите частное в виде обыкновенной дроби:

а) $3 \div 0.7$;

б) $3.5 \div 1.2$;

в) $1.25 \div 1.4$.

а) Чтобы выразить частное в виде обыкновенной дроби, нужно делимое записать в числитель, а делитель — в знаменатель. Затем, если необходимо, избавиться от десятичных знаков в числителе и знаменателе, умножив их на одно и то же число (10, 100, 1000 и т.д.), и сократить полученную дробь.

Запишем частное $3 : 0,7$ как дробь: $3 : 0,7 = \frac{3}{0,7}$.

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{3 \cdot 10}{0,7 \cdot 10} = \frac{30}{7}$

Данная дробь является несократимой, так как числитель 30 не делится нацело на знаменатель 7 (который является простым числом).
Ответ: $\frac{30}{7}$.

б) Запишем частное $3,5 : 1,2$ как дробь: $\frac{3,5}{1,2}$.

В числителе и знаменателе по одному знаку после запятой, поэтому умножим их на 10, чтобы получить целые числа:

$\frac{3,5 \cdot 10}{1,2 \cdot 10} = \frac{35}{12}$

Проверим, можно ли сократить эту дробь. Делители числа 35: 1, 5, 7, 35. Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Общих делителей, кроме 1, нет, значит, дробь несократимая.
Ответ: $\frac{35}{12}$.

в) Запишем частное $1,25 : 1,4$ как дробь: $\frac{1,25}{1,4}$.

Чтобы избавиться от десятичных знаков, нужно умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы оба стали целыми. В числителе два знака после запятой, поэтому умножаем на 100:

$\frac{1,25 \cdot 100}{1,4 \cdot 100} = \frac{125}{140}$

Теперь сократим полученную дробь. Оба числа, 125 и 140, оканчиваются на 5 и 0, значит, они делятся на 5.

$\frac{125 : 5}{140 : 5} = \frac{25}{28}$

Проверим, можно ли сократить дробь $\frac{25}{28}$. Делители числа 25: 1, 5, 25. Делители числа 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Общих делителей, кроме 1, нет. Дробь несократимая.
Ответ: $\frac{25}{28}$.

815. По какому правилу делят десятичную дробь на натуральное число?

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, следует придерживаться следующего правила, которое очень похоже на деление натуральных чисел в столбик:

1. Деление выполняется так же, как и деление натуральных чисел в столбик, при этом на начальном этапе можно не обращать внимания на запятую в делимом.
2. После того как деление целой части делимого будет завершено, в частном (результате деления) необходимо поставить запятую. Это ключевой момент в правиле.
3. Далее деление продолжается: к остатку поочередно сносятся цифры из дробной части делимого, и процесс деления продолжается до конца.
4. Если целая часть делимого меньше делителя, то целая часть частного будет равна 0. В этом случае в частном сразу пишут $0$, ставят запятую и продолжают деление.
5. Если в результате деления получается остаток, а цифры в дробной части делимого закончились, к остатку можно приписывать нули и продолжать деление до тех пор, пока остаток не станет равным нулю или не будет достигнута необходимая точность.

Пример 1: Разделим $47,6$ на $7$.

1. Делим целую часть $47$ на $7$. Ближайшее число, кратное $7$, это $42$. $42 \div 7 = 6$. Записываем $6$ в частное. Остаток $47 - 42 = 5$.
2. Деление целой части закончилось, поэтому в частном ставим запятую. Получаем $6,$.
3. К остатку $5$ сносим следующую цифру из дробной части — $6$. Получаем $56$.
4. Делим $56$ на $7$. $56 \div 7 = 8$. Записываем $8$ в частное после запятой. Остаток $0$.
Результат: $47,6 \div 7 = 6,8$.

Пример 2: Разделим $2,52$ на $4$.

1. Делим целую часть $2$ на $4$. Так как $2 < 4$, в частном пишем $0$ и сразу ставим запятую. Получаем $0,$.
2. Теперь делим число $25$ на $4$. Ближайшее кратное — $24$. $24 \div 4 = 6$. Записываем $6$ в частное. Остаток $25 - 24 = 1$.
3. К остатку $1$ сносим следующую цифру — $2$. Получаем $12$.
4. Делим $12$ на $4$. $12 \div 4 = 3$. Записываем $3$ в частное. Остаток $0$.
Результат: $2,52 \div 4 = 0,63$.

Ответ: Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно делить дробь на это число так же, как делят натуральные числа, и поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.

816. По какому правилу делят десятичные дроби?

Деление десятичных дробей выполняется по правилам, которые сводят эту операцию к делению на натуральное число. Существует два основных случая.

Деление десятичной дроби на натуральное число

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число (целое число без дробной части), необходимо:

1. Выполнять деление в столбик так же, как и с натуральными числами, временно не обращая внимания на запятую в делимом.
2. Когда деление целой части делимого будет завершено, в частном (результате деления) необходимо поставить запятую.
3. Продолжить деление дробной части. Если цифры в делимом закончились, а деление не завершено (остаток не равен нулю), к остатку справа приписывают нуль и продолжают деление.

Пример: Разделим $15,36$ на $3$.

Делим целую часть $15$ на $3$. Получаем $5$. Записываем $5$ в частное. Деление целой части завершено, поэтому ставим в частном запятую.
Сносим следующую цифру делимого — $3$. Делим $3$ на $3$, получаем $1$. Записываем $1$ после запятой в частном.
Сносим последнюю цифру — $6$. Делим $6$ на $3$, получаем $2$. Записываем $2$ в частном.
Результат: $15,36 \div 3 = 5,12$.

Ответ: Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, выполняют деление в столбик, как с натуральными числами, и ставят запятую в частном после того, как закончено деление целой части делимого.

Деление десятичной дроби на десятичную дробь

Это общее правило деления десятичных дробей. Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, необходимо:

1. Посчитать, сколько знаков после запятой в делителе (втором числе).
2. Перенести запятую вправо на это количество знаков и в делимом (первом числе), и в делителе. Это равносильно умножению обоих чисел на $10, 100, 1000$ и т.д., что не меняет результат деления.
3. Если в делимом не хватает знаков для переноса запятой, справа к нему дописывают необходимое количество нулей.
4. После переноса запятой делитель станет натуральным числом. Далее нужно выполнить деление по правилу из первого пункта.

Пример: Разделим $9,52$ на $0,4$.

В делителе $0,4$ один знак после запятой.
Переносим запятую на один знак вправо и в делимом, и в делителе:
$9,52 \rightarrow 95,2$
$0,4 \rightarrow 4$
Теперь задача сводится к делению $95,2$ на $4$.
Делим $9$ на $4$, получаем $2$ (остаток $1$). Записываем $2$ в частное.
Сносим $5$. Делим $15$ на $4$, получаем $3$ (остаток $3$). Записываем $3$ в частное. Целая часть закончилась, ставим запятую в частном.
Сносим $2$. Делим $32$ на $4$, получаем $8$. Записываем $8$ после запятой в частном.
Результат: $9,52 \div 0,4 = 23,8$.

Ответ: Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить деление на получившееся натуральное число.

817. Всегда ли при делении десятичных дробей частное можно записать в виде десятичной дроби? Приведите примеры.

Нет, не всегда. Частное от деления двух десятичных дробей можно записать в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если после представления этого частного в виде несократимой обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, её знаменатель $q$ не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5. Если же в разложении знаменателя на простые множители есть другие числа (3, 7, 11 и т.д.), то частное будет представляться в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Примеры, когда частное можно записать в виде десятичной дроби:

В этих случаях деление выполняется нацело или в результате получается конечная десятичная дробь.

1. Разделим $3.5$ на $0.7$.
$3.5 \div 0.7 = \frac{3.5}{0.7} = \frac{35}{7} = 5$
Результат - целое число, которое можно записать как десятичную дробь $5.0$.
Ответ: $5$.

2. Разделим $0.25$ на $0.2$.
$0.25 \div 0.2 = \frac{0.25}{0.2} = \frac{2.5}{2} = 1.25$
Результат - конечная десятичная дробь.
Ответ: $1.25$.

Примеры, когда частное нельзя записать в виде конечной десятичной дроби:

В этих случаях в результате деления получается бесконечная периодическая дробь.

1. Разделим $1$ на $0.3$.
$1 \div 0.3 = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3} = 3.333... = 3.(3)$
Знаменатель дроби $\frac{10}{3}$ содержит простой множитель 3, поэтому результат является бесконечной периодической дробью.
Ответ: $3.(3)$.

2. Разделим $0.2$ на $0.9$.
$0.2 \div 0.9 = \frac{0.2}{0.9} = \frac{2}{9} = 0.222... = 0.(2)$
Знаменатель дроби $\frac{2}{9}$ ($9 = 3^2$) содержит простой множитель 3, поэтому результат также является бесконечной периодической дробью.
Ответ: $0.(2)$.

Вычислите (818–821):

818. а) $12.5 \div 10$;

б) $72.6 \div 100$;

в) $173.56 \div 100$;

г) $0.3 \div 100$;

д) $0.73 \div 1000$;

е) $1.664 \div 10000$.

а) Чтобы разделить десятичную дробь на 10, нужно перенести запятую влево на один знак, так как у числа 10 один ноль.

$12,5 : 10 = 1,25$

Ответ: 1,25

б) Чтобы разделить десятичную дробь на 100, нужно перенести запятую влево на два знака, так как у числа 100 два ноля. Если цифр слева не хватает, нужно дописать нули.

$72,6 : 100 = 0,726$

Ответ: 0,726

в) Чтобы разделить десятичную дробь на 100, нужно перенести запятую влево на два знака.

$173,56 : 100 = 1,7356$

Ответ: 1,7356

г) Чтобы разделить десятичную дробь на 100, нужно перенести запятую влево на два знака. Дописываем нужные нули слева.

$0,3 : 100 = 0,003$

Ответ: 0,003

д) Чтобы разделить десятичную дробь на 1000, нужно перенести запятую влево на три знака, так как у числа 1000 три ноля. Дописываем нужные нули слева.

$0,73 : 1000 = 0,00073$

Ответ: 0,00073

е) Чтобы разделить десятичную дробь на 10 000, нужно перенести запятую влево на четыре знака, так как у числа 10 000 четыре ноля. Дописываем нужные нули слева.

$1,664 : 10000 = 0,0001664$

Ответ: 0,0001664

819. a) $783 \div 10$;

б) $988 \div 100$;

в) $54000 \div 10000$;

г) $7800 \div 1000$;

д) $3 \div 1000$;

е) $5 \div 100000$.

а) Чтобы разделить число на 10, нужно перенести десятичную запятую на один знак влево. В числе 783 запятая по умолчанию находится после цифры 3 (т.е. 783,0). Переносим запятую на один знак влево и получаем 78,3.

$783 : 10 = 78.3$

Ответ: 78,3

б) Чтобы разделить число на 100, нужно перенести десятичную запятую на два знака влево. В числе 988 запятая находится после цифры 8 (т.е. 988,0). Переносим запятую на два знака влево и получаем 9,88.

$988 : 100 = 9.88$

Ответ: 9,88

в) Чтобы разделить 54 000 на 10 000, нужно перенести десятичную запятую на четыре знака влево (потому что в числе 10 000 четыре нуля). В числе 54 000,0 переносим запятую на четыре знака влево и получаем 5,4.

$54000 : 10000 = 5.4$

Другой способ — сократить одинаковое количество нулей в делимом и делителе: $\frac{54000}{10000} = \frac{54}{10} = 5.4$.

Ответ: 5,4

г) Чтобы разделить 7800 на 1000, нужно перенести десятичную запятую на три знака влево (так как в 1000 три нуля). В числе 7800,0 переносим запятую на три знака влево и получаем 7,8.

$7800 : 1000 = 7.8$

Ответ: 7,8

д) Чтобы разделить 3 на 1000, нужно перенести десятичную запятую на три знака влево. Представим 3 как 3,0. Для переноса запятой на три знака влево необходимо дописать два нуля перед цифрой 3: 0,003.

$3 : 1000 = 0.003$

Ответ: 0,003

е) Чтобы разделить 5 на 100 000, нужно перенести десятичную запятую на пять знаков влево (так как в 100 000 пять нулей). Представим 5 как 5,0. Для переноса запятой на пять знаков влево необходимо дописать четыре нуля перед цифрой 5: 0,00005.

$5 : 100000 = 0.00005$

Ответ: 0,00005