Страница 163 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

858. Масса сушёных яблок составляет 25 % массы свежих. Сколько сушёных яблок получили из 200 кг; 360 кг; 4,5 т свежих? Сколько процентов массы свежих яблок теряется при сушке?

Сколько сушёных яблок получили из 200 кг; 360 кг; 4,5 т свежих?

По условию, масса сушёных яблок составляет 25% от массы свежих. Чтобы найти 25% от числа, нужно умножить это число на десятичную дробь, соответствующую проценту: $25\% = 0.25$.

1. Найдём массу сушёных яблок, полученных из 200 кг свежих:
$200 \text{ кг} \cdot 0.25 = 50 \text{ кг}$.

2. Найдём массу сушёных яблок, полученных из 360 кг свежих:
$360 \text{ кг} \cdot 0.25 = 90 \text{ кг}$.

3. Найдём массу сушёных яблок, полученных из 4,5 т свежих:
Сначала переведём тонны в килограммы: $4.5 \text{ т} = 4500 \text{ кг}$.
$4500 \text{ кг} \cdot 0.25 = 1125 \text{ кг}$.
Этот результат можно также выразить в тоннах: $1125 \text{ кг} = 1.125 \text{ т}$.

Ответ: из 200 кг свежих яблок получили 50 кг сушёных, из 360 кг – 90 кг, из 4,5 т – 1125 кг (или 1,125 т).

Сколько процентов массы свежих яблок теряется при сушке?

Примем массу свежих яблок за 100%. Масса сушёных яблок составляет 25% от исходной массы. Чтобы найти, какой процент массы теряется при сушке, нужно из 100% вычесть процент оставшейся массы.

Потеря массы в процентах: $100\% - 25\% = 75\%$.

Ответ: при сушке теряется 75% массы свежих яблок.

859. Виноград при сушке теряет 65 % своей массы. Сколько изюма (сушёного винограда) получится из 400 кг; 350 кг; 1,8 т свежего винограда?

При 400 кг:

$400 \text{ кг} \cdot (1 - 0.65) = 400 \text{ кг} \cdot 0.35 = 140 \text{ кг}$

При 350 кг:

$350 \text{ кг} \cdot (1 - 0.65) = 350 \text{ кг} \cdot 0.35 = 122.5 \text{ кг}$

При 1,8 т:

$1.8 \text{ т} = 1.8 \cdot 1000 \text{ кг} = 1800 \text{ кг}$

$1800 \text{ кг} \cdot (1 - 0.65) = 1800 \text{ кг} \cdot 0.35 = 630 \text{ кг}$

По условию задачи, виноград при сушке теряет 65% своей массы. Это означает, что оставшаяся масса (масса изюма) составляет процент от первоначальной массы свежего винограда, который можно рассчитать следующим образом:

$100\% - 65\% = 35\%$

Следовательно, масса изюма составляет 35% от массы свежего винограда. Чтобы найти 35% от числа, нужно это число умножить на десятичную дробь 0,35. Рассчитаем массу изюма для каждого случая.

400 кг

Найдем, сколько изюма получится из 400 кг свежего винограда:

$400 \cdot 0,35 = 140$ кг

Ответ: 140 кг.

350 кг

Найдем, сколько изюма получится из 350 кг свежего винограда:

$350 \cdot 0,35 = 122,5$ кг

Ответ: 122,5 кг.

1,8 т

Сначала переведем тонны в килограммы. В одной тонне 1000 килограммов:

$1,8 \text{ т} = 1,8 \cdot 1000 = 1800$ кг

Теперь найдем, сколько изюма получится из 1800 кг свежего винограда:

$1800 \cdot 0,35 = 630$ кг

Эту массу можно также выразить в тоннах: $630 \text{ кг} = 0,63 \text{ т}$.

Ответ: 630 кг.

860. Трава при сушке теряет 85 % своей массы.

а) Сколько сена получится из 600 кг; 1500 кг; 11,8 т свежей травы?

б) Сколько травы надо накосить, чтобы насушить 1500 кг; 3300 кг; 3,6 т сена?

По условию, трава при сушке теряет 85% своей массы. Это означает, что масса сена (сухой травы) составляет оставшуюся часть от первоначальной массы. Найдем эту часть в процентах:
$100\% - 85\% = 15\%$
Таким образом, масса сена составляет 15% от массы свежей травы. Для расчетов переведем проценты в десятичную дробь: $15\% = 0,15$.

а)

Чтобы найти, сколько сена получится из указанного количества свежей травы, нужно массу травы умножить на 0,15.
1) Из 600 кг свежей травы получится: $600 \cdot 0,15 = 90$ кг сена.
2) Из 1500 кг свежей травы получится: $1500 \cdot 0,15 = 225$ кг сена.
3) Из 11,8 т свежей травы получится: $11,8 \cdot 0,15 = 1,77$ т сена.
Ответ: 90 кг; 225 кг; 1,77 т.

б)

Чтобы найти, сколько травы надо накосить для получения нужного количества сена, нужно массу сена разделить на 0,15.
1) Чтобы получить 1500 кг сена, нужно накосить: $1500 / 0,15 = 10000$ кг травы (что равно 10 т).
2) Чтобы получить 3300 кг сена, нужно накосить: $3300 / 0,15 = 22000$ кг травы (что равно 22 т).
3) Чтобы получить 3,6 т сена, нужно накосить: $3,6 / 0,15 = 24$ т травы.
Ответ: 10000 кг; 22000 кг; 24 т.

861. Что больше:

а) $45\%$ от $72$ или $72\%$ от $45$;

б) $38\%$ от $80$ или $60\%$ от $45$?

а) Чтобы сравнить два выражения, 45% от 72 и 72% от 45, можно вычислить их значения или использовать свойство процентов.

Способ 1: Прямое вычисление.

Процент — это сотая часть числа. Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число.

1. Найдем 45% от 72:

$45\% = 0.45$

$0.45 \cdot 72 = 32.4$

2. Найдем 72% от 45:

$72\% = 0.72$

$0.72 \cdot 45 = 32.4$

Сравнивая результаты, получаем: $32.4 = 32.4$.

Способ 2: Использование свойства умножения.

Выражение "$p\%$ от числа $n$" можно записать как $\frac{p}{100} \cdot n$.

Тогда 45% от 72 это $\frac{45}{100} \cdot 72$.

А 72% от 45 это $\frac{72}{100} \cdot 45$.

Так как от перемены мест множителей произведение не меняется (коммутативное свойство умножения), то $\frac{45}{100} \cdot 72 = \frac{72 \cdot 45}{100}$ и $\frac{72}{100} \cdot 45 = \frac{72 \cdot 45}{100}$.

Следовательно, эти два выражения равны.

Ответ: 45% от 72 равно 72% от 45.

б) Сравним 38% от 80 и 60% от 45. Для этого вычислим значение каждого выражения.

1. Найдем 38% от 80:

$38\% = 0.38$

$0.38 \cdot 80 = 30.4$

2. Найдем 60% от 45:

$60\% = 0.6$

$0.6 \cdot 45 = 27$

3. Теперь сравним полученные результаты:

$30.4 > 27$

Следовательно, 38% от 80 больше, чем 60% от 45.

Ответ: 38% от 80 больше, чем 60% от 45.

862. Товар стоил 150 р. Его цена повысилась на 12 %. Сколько теперь стоит этот товар?

Для того чтобы найти новую цену товара, нужно рассчитать, на сколько она увеличилась, и прибавить это значение к первоначальной стоимости. Первоначальная цена товара составляет 150 рублей, а повышение — 12%.

1. Вычисление суммы повышения цены

Сначала найдем, сколько рублей составляют 12% от 150. Для этого можно умножить 150 на 12 и разделить на 100, или умножить 150 на десятичную дробь 0,12.

Сумма повышения = $150 \cdot \frac{12}{100} = 150 \cdot 0.12 = 18$ рублей.

2. Вычисление новой цены

Теперь сложим первоначальную цену с суммой повышения, чтобы получить итоговую стоимость товара.

Новая цена = Первоначальная цена + Сумма повышения

Новая цена = $150 + 18 = 168$ рублей.

Альтернативный способ решения:

Можно сразу рассчитать итоговую цену. Исходная цена — это 100%. После повышения на 12% новая цена составит $100\% + 12\% = 112\%$ от первоначальной. Чтобы найти 112% от 150, умножим 150 на 1,12.

Новая цена = $150 \cdot 1.12 = 168$ рублей.

Ответ: 168 р.

863. Увеличьте число:

а) 80 на 20%;

б) 480 на 25%;

в) 50 на 10%;

г) 25 на 100 %.

а) Чтобы увеличить число 80 на 20%, нужно сначала найти, чему равны 20% от 80. Для этого можно умножить 80 на долю, соответствующую 20 процентам, то есть на $ \frac{20}{100} $ или $0.2$.
Вычисляем значение процентов: $80 \cdot \frac{20}{100} = 80 \cdot 0.2 = 16$.
Теперь прибавляем это значение к исходному числу, чтобы его увеличить:
$80 + 16 = 96$.
Также можно решить задачу одним действием. Увеличение числа на 20% эквивалентно нахождению 120% от него. Таким образом, можно умножить исходное число на 1.2:
$80 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 80 \cdot 1.2 = 96$.
Ответ: 96

б) Чтобы увеличить число 480 на 25%, найдем 25% от 480. 25% — это одна четвертая часть ($ \frac{25}{100} = \frac{1}{4} $).
Найдем величину увеличения: $480 \cdot \frac{25}{100} = 480 \cdot 0.25 = 120$.
Теперь прибавим эту величину к исходному числу:
$480 + 120 = 600$.
Используя второй способ, сразу найдем итоговое число, умножив 480 на 1.25 (что соответствует 125%):
$480 \cdot (1 + \frac{25}{100}) = 480 \cdot 1.25 = 600$.
Ответ: 600

в) Чтобы увеличить число 50 на 10%, сначала вычислим 10% от 50. 10% — это одна десятая часть ($ \frac{10}{100} = 0.1 $).
Найдем, на сколько нужно увеличить число: $50 \cdot \frac{10}{100} = 50 \cdot 0.1 = 5$.
Теперь увеличим исходное число на 5:
$50 + 5 = 55$.
Либо можно сразу найти 110% от 50, умножив 50 на 1.1:
$50 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 50 \cdot 1.1 = 55$.
Ответ: 55

г) Чтобы увеличить число 25 на 100%, нужно найти 100% от 25. 100% от числа — это само это число.
Найдем величину увеличения: $25 \cdot \frac{100}{100} = 25 \cdot 1 = 25$.
Теперь прибавим эту величину к исходному числу. Фактически, мы удваиваем число:
$25 + 25 = 50$.
Второй способ: увеличение на 100% означает, что мы берем 200% от исходного числа. Умножим 25 на 2:
$25 \cdot (1 + \frac{100}{100}) = 25 \cdot (1 + 1) = 25 \cdot 2 = 50$.
Ответ: 50

864. Уменьшите число:

а) $60$ на $10\%$;

б) $500$ на $28\%$;

в) $90$ на $50\%$;

г) $125$ на $40\%$.

а) Чтобы уменьшить число 60 на 10%, сначала найдем значение этих 10% от 60. Процент — это сотая часть числа, поэтому 10% — это дробь $\frac{10}{100}$ или 0,1.

Вычислим 10% от 60:

$60 \cdot \frac{10}{100} = 60 \cdot 0,1 = 6$

Теперь уменьшим число 60 на найденное значение:

$60 - 6 = 54$

Альтернативный способ: если мы уменьшаем число на 10%, то от него остается $100\% - 10\% = 90\%$. Найдем 90% от 60:

$60 \cdot \frac{90}{100} = 60 \cdot 0,9 = 54$

Ответ: 54

б) Чтобы уменьшить число 500 на 28%, найдем, чему равны 28% от 500.

$500 \cdot \frac{28}{100} = 5 \cdot 28 = 140$

Теперь вычтем это значение из 500:

$500 - 140 = 360$

Или можно сразу найти, какой процент от числа останется. $100\% - 28\% = 72\%$. Вычислим 72% от 500:

$500 \cdot \frac{72}{100} = 5 \cdot 72 = 360$

Ответ: 360

в) Чтобы уменьшить число 90 на 50%, нужно вычесть из него 50% от его величины. 50% — это половина числа. Найдем 50% от 90:

$90 \cdot \frac{50}{100} = 90 \cdot 0,5 = 45$

Теперь вычтем это значение из 90:

$90 - 45 = 45$

Поскольку число уменьшается на свою половину, то в результате остается вторая половина.

Ответ: 45

г) Чтобы уменьшить число 125 на 40%, сперва вычислим 40% от 125.

$125 \cdot \frac{40}{100} = 125 \cdot 0,4 = 50$

Теперь уменьшим 125 на 50:

$125 - 50 = 75$

Другой способ: если число уменьшить на 40%, то останется $100\% - 40\% = 60\%$ от числа. Найдем 60% от 125:

$125 \cdot \frac{60}{100} = 125 \cdot 0,6 = 75$

Ответ: 75

?865. Можно ли цену товара:

а) увеличить на $101\%$;

б) уменьшить на $101\%$?

а) увеличить на 101 %
Да, цену товара можно увеличить на 101 %. Пусть исходная цена товара — $P$. Увеличение на 101 % означает, что к старой цене добавляется 101 % от неё.
Сумма увеличения составит: $P \times \frac{101}{100} = 1.01P$.
Новая цена будет равна сумме исходной цены и суммы увеличения: $P_{новая} = P + 1.01P = 2.01P$.
Так как цена является положительной величиной, то и новая цена будет положительной. С точки зрения математики и экономики, нет никаких препятствий для такого увеличения. Цена просто станет больше чем в два раза.
Ответ: да, можно.

б) уменьшить на 101 %
Нет, цену товара нельзя уменьшить на 101 %. Пусть исходная цена товара — $P$. Уменьшение на 101 % означает, что из старой цены вычитается 101 % от неё.
Сумма уменьшения составит: $P \times \frac{101}{100} = 1.01P$.
Новая цена будет равна разности исходной цены и суммы уменьшения: $P_{новая} = P - 1.01P = -0.01P$.
Цена товара не может быть отрицательной величиной. Отрицательная цена означала бы, что продавец должен доплатить покупателю, чтобы тот забрал товар, что противоречит понятию цены. Максимально возможное уменьшение цены составляет 100 %, после чего товар становится бесплатным (его цена равна нулю).
Ответ: нет, нельзя.