Страница 165 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

866. Число $200$ увеличили на $20\%$, полученный результат уменьшили на $20\%$. Получится ли в результате число $200$? Какое число получится?

Чтобы ответить на поставленные вопросы, выполним вычисления по шагам.

Шаг 1: Увеличение числа 200 на 20%
Сначала найдем, на сколько увеличится число. Для этого вычислим 20% от 200.
$ 200 \cdot \frac{20}{100} = 200 \cdot 0.2 = 40 $
Теперь прибавим полученное значение к исходному числу:
$ 200 + 40 = 240 $
Таким образом, после увеличения на 20% получилось число 240.

Шаг 2: Уменьшение полученного результата на 20%
Далее необходимо уменьшить полученный результат, то есть число 240, на 20%. Важно понимать, что теперь 20% вычисляются от нового числа (240), а не от исходного (200).
Вычислим 20% от 240:
$ 240 \cdot \frac{20}{100} = 240 \cdot 0.2 = 48 $
Теперь вычтем это значение из числа 240:
$ 240 - 48 = 192 $
Конечный результат равен 192.

Теперь, зная конечный результат, ответим на вопросы задачи.

Получится ли в результате число 200?
В результате вычислений мы получили число 192. Поскольку $ 192 \ne 200 $, исходное число не получилось. Это произошло потому, что 20% от 200 (это 40) не равны 20% от 240 (это 48).
Ответ: Нет, в результате не получится число 200.

Какое число получится?
В результате последовательного увеличения числа 200 на 20% и последующего уменьшения результата на 20% получилось число 192.
Ответ: 192.

867. a) Число $a$ увеличили на 20 %, полученное число увеличили ещё на 20 %. Во сколько раз увеличилось число $a$? На сколько процентов увеличилось число $a$ за два раза?

б) Цену товара уменьшили на 10 %, полученную цену уменьшили ещё на 10 %. На сколько процентов уменьшили цену товара за два раза?

а)

Пусть исходное число равно $a$.
1. Увеличим число $a$ на 20%. Чтобы увеличить число на 20%, нужно умножить его на $1 + \frac{20}{100} = 1.2$.
Полученное число: $a_1 = a \times 1.2 = 1.2a$.
2. Теперь увеличим полученное число $a_1$ ещё на 20%.
Новое число: $a_2 = a_1 \times 1.2 = (1.2a) \times 1.2 = 1.44a$.
3. Чтобы найти, во сколько раз увеличилось число $a$, нужно разделить конечное число на начальное:
$\frac{a_2}{a} = \frac{1.44a}{a} = 1.44$.
Таким образом, число $a$ увеличилось в 1,44 раза.
4. Чтобы найти, на сколько процентов увеличилось число $a$ за два раза, найдем общее изменение и выразим его в процентах.
Конечное число составляет 144% от начального ($1.44 \times 100\% = 144\%$).
Начальное число - это 100%.
Общее увеличение в процентах: $144\% - 100\% = 44\%$.
Или можно посчитать так: $\frac{a_2 - a}{a} \times 100\% = \frac{1.44a - a}{a} \times 100\% = \frac{0.44a}{a} \times 100\% = 44\%$.
Ответ: Число $a$ увеличилось в 1,44 раза. За два раза число $a$ увеличилось на 44%.

б)

Пусть первоначальная цена товара равна $x$.
1. Цену уменьшили на 10%. Чтобы уменьшить число на 10%, нужно умножить его на $1 - \frac{10}{100} = 0.9$.
Цена после первого уменьшения: $x_1 = x \times 0.9 = 0.9x$.
2. Полученную цену уменьшили ещё на 10%.
Цена после второго уменьшения: $x_2 = x_1 \times 0.9 = (0.9x) \times 0.9 = 0.81x$.
3. Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилась цена за два раза, сравним начальную и конечную цену.
Конечная цена составляет 81% от начальной ($0.81 \times 100\% = 81\%$).
Начальная цена - это 100%.
Общее уменьшение в процентах: $100\% - 81\% = 19\%$.
Или можно посчитать так: $\frac{x - x_2}{x} \times 100\% = \frac{x - 0.81x}{x} \times 100\% = \frac{0.19x}{x} \times 100\% = 19\%$.
Ответ: Цену товара за два раза уменьшили на 19%.