Номер 869, страница 166 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.8. Сложные задачи на проценты. Глава 4. Десятичные дроби - номер 869, страница 166.

Условие.

869. a) Некоторую сумму положили в банк под $20\%$ годовых. Во сколько раз увеличится вложенная сумма за 5 лет, если начисляют простые проценты?

б) Некоторую сумму положили в банк под $20\%$ годовых. Во сколько раз увеличится вложенная сумма за 4 года, если начисляют сложные проценты?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а)

Пусть $S$ - первоначальная сумма, вложенная в банк. Годовая процентная ставка составляет $r = 20\% = 0,2$. Срок вклада $n = 5$ лет.

При начислении простых процентов ежегодный доход составляет $S \cdot r$. За $n$ лет общий доход от процентов будет равен $n \cdot S \cdot r$. Итоговая сумма на счете $S_n$ через $n$ лет вычисляется по формуле:
$S_n = S + n \cdot S \cdot r = S(1 + n \cdot r)$

Подставим наши значения в формулу:
$S_5 = S(1 + 5 \cdot 0,2) = S(1 + 1) = 2S$

Чтобы узнать, во сколько раз увеличилась вложенная сумма, найдем отношение конечной суммы к начальной:
$\frac{S_5}{S} = \frac{2S}{S} = 2$

Ответ: в 2 раза.

б)

Пусть $S$ - первоначальная сумма, вложенная в банк. Годовая процентная ставка составляет $r = 20\% = 0,2$. Срок вклада $n = 4$ года.

При начислении сложных процентов проценты за каждый следующий год начисляются на сумму, которая уже включает проценты за предыдущие годы. Итоговая сумма $S_n$ через $n$ лет вычисляется по формуле:
$S_n = S(1 + r)^n$

Подставим наши значения в формулу:
$S_4 = S(1 + 0,2)^4 = S(1,2)^4$

Вычислим значение $(1,2)^4$:
$(1,2)^2 = 1,44$
$(1,2)^4 = (1,2)^2 \cdot (1,2)^2 = 1,44 \cdot 1,44 = 2,0736$
Следовательно, $S_4 = 2,0736S$.

Чтобы узнать, во сколько раз увеличилась вложенная сумма, найдем отношение конечной суммы к начальной:
$\frac{S_4}{S} = \frac{2,0736S}{S} = 2,0736$

Ответ: в 2,0736 раза.