Страница 167 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

878. В драмкружке число мальчиков составляет $80 \%$ от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $Д$ – это число девочек в драмкружке, а $М$ – число мальчиков.

Согласно условию, число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Чтобы использовать это в расчетах, переведем проценты в десятичную дробь: $80\% = \frac{80}{100} = 0.8$.

Теперь мы можем записать соотношение между числом мальчиков и девочек в виде уравнения:

$М = 0.8 \times Д$

Далее нам необходимо найти, сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков. Для этого нужно найти отношение числа девочек к числу мальчиков, то есть $\frac{Д}{М}$, и умножить результат на 100%.

Выразим $Д$ из нашего уравнения:

$Д = \frac{М}{0.8}$

Теперь найдем отношение $\frac{Д}{М}$:

$\frac{Д}{М} = \frac{1}{0.8}$

Вычислим значение этого выражения:

$\frac{1}{0.8} = \frac{1}{\frac{8}{10}} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$

Мы получили, что отношение числа девочек к числу мальчиков равно 1.25. Чтобы выразить это значение в процентах, умножим его на 100:

$1.25 \times 100\% = 125\%$

Ответ: 125%.

879. Имеется 600 г раствора, содержащего 15 % соли. Сколько воды требуется добавить в раствор, чтобы он стал содержать 10 % соли?

Для решения задачи сначала определим, сколько граммов соли содержится в исходном 600-граммовом растворе. Концентрация соли составляет 15%, следовательно, масса соли ($m_{соли}$) равна:

$m_{соли} = 600 \text{ г} \cdot \frac{15}{100} = 600 \cdot 0.15 = 90 \text{ г}$

При добавлении воды масса соли в растворе не изменяется, она по-прежнему составляет 90 г. Изменяется только общая масса раствора и, соответственно, концентрация соли. Пусть $x$ — это масса воды (в граммах), которую нужно добавить. Тогда новая масса раствора станет $(600 + x)$ г.

По условию, в новом растворе концентрация соли должна стать 10%. Составим уравнение, используя формулу для массовой доли вещества в растворе:

$C = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}}$

Подставим известные значения, выразив концентрацию в долях от единицы ($10\% = 0.1$):

$0.1 = \frac{90}{600 + x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$0.1 \cdot (600 + x) = 90$
$60 + 0.1x = 90$
$0.1x = 90 - 60$
$0.1x = 30$
$x = \frac{30}{0.1}$
$x = 300$

Таким образом, чтобы концентрация соли в растворе стала 10%, необходимо добавить 300 г воды.

Ответ: 300 г.

880. Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, в котором содержится 30 % сахара; чтобы получить раствор, содержащий 20 % сахара?

Для решения этой задачи необходимо сначала вычислить массу сахара в исходном растворе. При добавлении чистой воды количество сахара в растворе не меняется, уменьшается только его процентная концентрация за счет увеличения общей массы раствора.

1. Находим массу сахара в исходном растворе.

Исходный раствор имеет массу 120 г и содержит 30% сахара. Чтобы найти массу сахара ($m_{сахара}$), нужно массу раствора умножить на долю сахара:

$m_{сахара} = 120 \, \text{г} \times 30\% = 120 \times 0.3 = 36 \, \text{г}$

Итак, в растворе содержится 36 г сахара.

2. Составляем уравнение для нового раствора.

Пусть $x$ – это масса воды в граммах, которую нужно добавить. Тогда масса нового раствора станет $(120 + x)$ г. Масса сахара в новом растворе останется прежней – 36 г, а его концентрация по условию должна стать 20%.

Концентрация вещества в растворе – это отношение массы вещества к массе всего раствора. Выразим это в виде уравнения:

$\frac{\text{масса сахара}}{\text{масса нового раствора}} = \text{новая концентрация}$

Подставим известные значения (концентрацию выразим в виде десятичной дроби $20\% = 0.2$):

$\frac{36}{120 + x} = 0.2$

3. Решаем уравнение и находим x.

Для того чтобы найти $x$, решим полученное уравнение:

$36 = 0.2 \times (120 + x)$

Раскроем скобки:

$36 = 0.2 \times 120 + 0.2 \times x$

$36 = 24 + 0.2x$

Перенесем 24 в левую часть уравнения:

$36 - 24 = 0.2x$

$12 = 0.2x$

Найдем $x$:

$x = \frac{12}{0.2} = \frac{120}{2} = 60$

Следовательно, нужно добавить 60 граммов воды.

Ответ: 60 г.

881. Кусок сплава массой 700 г, содержащий 80 % олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.

Для того чтобы определить процентное содержание олова в полученном сплаве, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассчитать массу олова в первоначальном куске сплава.Масса сплава составляет 700 г, а содержание олова в нем — 80%.Масса олова = $700 \text{ г} \times \frac{80}{100} = 700 \times 0.8 = 560 \text{ г}$.

2. Найти общую массу нового сплава.К первоначальному сплаву массой 700 г добавили 300 г олова.Общая масса нового сплава = $700 \text{ г} + 300 \text{ г} = 1000 \text{ г}$.

3. Рассчитать общую массу олова в новом сплаве.Она складывается из массы олова в первоначальном сплаве и массы добавленного куска чистого олова.Общая масса олова = $560 \text{ г} + 300 \text{ г} = 860 \text{ г}$.

4. Определить процентное содержание олова в полученном сплаве.Для этого нужно разделить общую массу олова на общую массу нового сплава и умножить на 100%.Процентное содержание олова = $\frac{\text{Общая масса олова}}{\text{Общая масса нового сплава}} \times 100\% = \frac{860 \text{ г}}{1000 \text{ г}} \times 100\% = 0.86 \times 100\% = 86\%$.

Ответ: 86%.

882. Имеется 500 г раствора, содержащего $40 \%$ кислоты. Сколько воды требуется добавить в раствор, чтобы он стал содержать $25 \%$ кислоты?

Для решения задачи сначала определим массу кислоты в исходном растворе. При добавлении воды масса самой кислоты не изменяется, но увеличивается общая масса раствора, что приводит к уменьшению процентной концентрации.

1. Найдем массу кислоты в 500 г 40%-го раствора. Для этого умножим общую массу раствора на долю кислоты (40% = 0.4):

$m_{кислоты} = 500 \text{ г} \times 0.40 = 200 \text{ г}$

Таким образом, в растворе содержится 200 г кислоты.

2. Теперь нам нужно получить раствор, в котором эти 200 г кислоты будут составлять 25% (или 0.25) от общей массы. Пусть $M$ — это новая масса раствора. Тогда:

$0.25 \times M = 200 \text{ г}$

Найдем отсюда новую массу раствора $M$:

$M = \frac{200}{0.25} = 800 \text{ г}$

3. Новая общая масса раствора должна составлять 800 г. Исходная масса была 500 г. Разница между новой и исходной массой и будет равна массе добавленной воды:

$m_{воды} = M - m_{исходного \ раствора}$

$m_{воды} = 800 \text{ г} - 500 \text{ г} = 300 \text{ г}$

Следовательно, чтобы концентрация кислоты стала 25%, необходимо добавить 300 г воды.

Ответ: 300 г.

883. В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на $2\ \%$, во второй день он перевыполнил дневное задание на $4\ \%$. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?

Для решения этой задачи предположим, что дневное задание (норма) составляет $x$ единиц работы. Поскольку в условии не указано иное, будем считать, что дневное задание одинаково для обоих дней.

1. Найдем фактический объем работы за каждый день.

В первый день рабочий перевыполнил план на 2%. Это значит, что он выполнил $100\% + 2\% = 102\%$ от нормы. В единицах работы это составляет:
$x \cdot \frac{102}{100} = 1.02x$

Во второй день рабочий перевыполнил план на 4%. Это значит, что он выполнил $100\% + 4\% = 104\%$ от нормы. В единицах работы это составляет:
$x \cdot \frac{104}{100} = 1.04x$

2. Найдем плановый и фактический объем работы за два дня.

Плановое задание на два дня составляет:
$x + x = 2x$

Фактически выполненный объем работы за два дня составляет:
$1.02x + 1.04x = 2.06x$

3. Найдем процент перевыполнения задания за два дня.

Сначала найдем абсолютное перевыполнение, вычтя плановый объем из фактического:
$2.06x - 2x = 0.06x$

Теперь, чтобы найти процент перевыполнения, нужно разделить абсолютное перевыполнение на плановый объем за два дня ($2x$) и умножить на 100%:
$\frac{0.06x}{2x} \cdot 100\%$

Переменная $x$ сокращается, и мы получаем:
$\frac{0.06}{2} \cdot 100\% = 0.03 \cdot 100\% = 3\%$

Таким образом, за два дня рабочий перевыполнил задание на 3%.

Ответ: 3%.

884. В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?

Для решения этой задачи давайте примем количество мальчиков за $x$.

По условию, количество девочек составляет 60% от числа мальчиков. Чтобы найти 60% от $x$, нужно умножить $x$ на 0,6 (так как $60\% = \frac{60}{100} = 0,6$).

Количество девочек = $0,6 \times x$.

Теперь найдем общее количество участников секции. Для этого сложим количество мальчиков и количество девочек:

Всего участников = $x + 0,6x = 1,6x$.

Чтобы определить, сколько процентов от общего числа участников составляют девочки, нужно разделить количество девочек на общее количество участников и умножить на 100%.

Процент девочек = $\frac{\text{Количество девочек}}{\text{Всего участников}} \times 100\%$

Подставим наши выражения:

Процент девочек = $\frac{0,6x}{1,6x} \times 100\%$

Переменная $x$ в числителе и знаменателе сокращается:

Процент девочек = $\frac{0,6}{1,6} \times 100\%$

Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$\frac{0,6}{1,6} = \frac{6}{16}$

Сократим дробь $\frac{6}{16}$ на 2:

$\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Теперь вычислим итоговый процент:

Процент девочек = $\frac{3}{8} \times 100\% = 0,375 \times 100\% = 37,5\%$

Ответ: 37,5%.