Страница 173 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

907. Сформулируйте правило приближённого сложения двух чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до одной тысячной.

Правило приближённого сложения двух чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с одинаковой точностью до одной тысячной, заключается в следующем: необходимо сложить эти числа по правилам сложения десятичных дробей, и полученный результат считать их приближённой суммой.

Алгоритм действий:

1. Сложить данные приближённые числа так, как они записаны (как точные десятичные дроби), например, столбиком, записывая разряд под разрядом и запятую под запятой.
2. Полученный результат является искомым приближённым значением суммы. Поскольку исходные числа имели три знака после запятой, результат сложения также будет иметь не более трёх знаков после запятой.

Например, если даны два приближённых числа $a \approx 4,153$ и $b \approx 2,781$, то их приближённая сумма вычисляется так:
$a + b \approx 4,153 + 2,781 = 6,934$.

Данное правило основано на анализе погрешностей. Если число округлено с точностью до одной тысячной ($0,001$), то абсолютная погрешность этого округления не превышает половины единицы последнего разряда, то есть $\Delta \le 0,001 / 2 = 0,0005$. При сложении двух таких приближённых чисел их абсолютные погрешности складываются. Следовательно, абсолютная погрешность суммы $\Delta_{суммы}$ не превысит сумму их погрешностей:
$\Delta_{суммы} \le \Delta_a + \Delta_b \le 0,0005 + 0,0005 = 0,001$.
Это означает, что результат сложения данных чисел является приближением их истинной суммы с точностью до одной тысячной.

Ответ: Чтобы найти приближённую сумму двух чисел, округлённых с точностью до одной тысячной, нужно сложить эти числа как точные десятичные дроби. Полученный результат будет являться приближённым значением суммы с точностью до одной тысячной.

208. Сформулируйте правило приближённого вычитания двух чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до одной десятой.

Правило приближённого вычитания двух чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до одной десятой, формулируется на основе двух аспектов: непосредственного выполнения арифметического действия и оценки погрешности результата.

1. Выполнение вычитания.
Чтобы найти приближённую разность двух чисел, округлённых до десятых, их следует вычесть как обычные десятичные дроби (как если бы они были точными значениями).

2. Оценка точности (погрешности) результата.
Поскольку исходные числа являются приближёнными, результат их вычитания также будет приближённым. Точность этого результата связана с точностью исходных данных.

Если число округлено с точностью до одной десятой, это означает, что его абсолютная погрешность не превышает половины этого разряда, то есть $0.1 / 2 = 0.05$.
При вычитании двух приближённых чисел их абсолютные погрешности складываются. Следовательно, предельная абсолютная погрешность разности будет равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:
$0.05 + 0.05 = 0.1$.

Таким образом, полное правило можно сформулировать следующим образом.

Ответ: Чтобы выполнить приближённое вычитание двух чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до одной десятой, необходимо вычесть их как точные числа. Полученный результат будет являться приближённым значением их разности, при этом его абсолютная погрешность не будет превышать $0.1$.

909. Сформулируйте правило приближённого умножения чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до третьей значащей цифры.

Правило приближённого умножения чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до третьей значащей цифры, состоит из следующих шагов:

1. Выполнение умножения.
Сначала необходимо перемножить данные числа так, как будто они являются точными, используя стандартные правила умножения десятичных дробей.

2. Определение количества значащих цифр в результате.
Согласно правилу действий с приближёнными числами, результат умножения должен содержать столько значащих цифр, сколько их в сомножителе с наименьшим количеством значащих цифр. Поскольку по условию оба числа округлены до третьей значащей цифры, каждое из них содержит 3 значащие цифры. Следовательно, и в произведении следует оставить 3 значащие цифры.

3. Округление результата.
Полученное на первом шаге произведение необходимо округлить до трёх значащих цифр. Напомним, что значащие цифры числа — это все его цифры, начиная с первой слева, не равной нулю.

Пример:

Найдём приближённое произведение чисел $a \approx 15.4$ и $b \approx 0.286$. Каждое число содержит 3 значащие цифры.

1. Перемножим числа:
$15.4 \times 0.286 = 4.4044$

2. Результат нужно округлить до трёх значащих цифр. В числе $4.4044$ первые три значащие цифры — это $4$, $4$ и $0$.

3. Четвёртая цифра — $4$. Так как $4 < 5$, то последнюю оставляемую цифру ($0$) не изменяем, а все последующие цифры отбрасываем.
$4.4044 \approx 4.40$

Приближённое произведение равно $4.40$.

Ответ: Чтобы приближенно умножить два числа, округлённых до третьей значащей цифры, нужно перемножить их как точные, а затем округлить полученное произведение до трёх значащих цифр.

910. Сформулируйте правило приближённого деления чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до четвёртой значащей цифры.

Правило приближённого деления чисел, округлённых до определённой значащей цифры, вытекает из общего правила для операций умножения и деления с приближёнными числами. Согласно этому правилу, результат должен содержать столько значащих цифр, сколько их в наименее точном из исходных чисел (в операнде с наименьшим количеством значащих цифр).

В данном случае оба числа (делимое и делитель) округлены до четвёртой значащей цифры, следовательно, оба имеют по 4 значащие цифры. Поэтому их частное также должно быть округлено до четырёх значащих цифр.

Для выполнения приближённого деления следует использовать следующий алгоритм:

1. Выполнить деление чисел как точных, получив в результате частное с большим количеством знаков. Рекомендуется вычислить на 1-2 значащие цифры больше, чем требуется в ответе, т.е. 5-6 значащих цифр, чтобы уменьшить погрешность, вносимую последующим округлением.
2. Округлить полученное частное до четырёх значащих цифр, применяя стандартные правила округления: если первая из отбрасываемых цифр (пятая значащая) равна 5 или больше, то последняя сохраняемая цифра (четвёртая значащая) увеличивается на единицу; в противном случае она остаётся без изменений.

Пример:

Найдём приближённое частное чисел $a = 38.57$ и $b = 9.123$. Оба числа содержат по 4 значащие цифры.

1. Выполняем деление: $c = a / b = 38.57 / 9.123 \approx 4.22777...$
2. Округляем результат до четырёх значащих цифр. Первые четыре значащие цифры — 4, 2, 2, 7. Пятая значащая цифра — 7. Так как $7 \ge 5$, то последнюю сохраняемую цифру (7) увеличиваем на единицу. Получаем $4.228$.

Таким образом, $38.57 / 9.123 \approx 4.228$.

Ответ: Чтобы найти приближённое частное двух чисел, заданных десятичными дробями и округлённых с точностью до четвёртой значащей цифры, необходимо выполнить деление этих чисел, а затем округлить полученный результат до четырёх значащих цифр.

911. Округлите числа $a$ и $b$ с точностью до $0,1$ и вычислите приближённо их сумму $a+b$ и разность $a-b$:

а) $a=3,28$, $b=0,11$;

б) $a=-1,256$, $b=2,555$;

в) $a=0,010010$, $b=0,2$;

г) $a=2,7235$, $b=-3,42426$;

д) $a=-7,17$, $b=-0,33$;

е) $a=-6,373$, $b=-8,765$.

а) Сначала округлим числа $a$ и $b$ до десятых (до 0,1).
Для числа $a = 3,28$, вторая цифра после запятой (8) больше или равна 5, поэтому округляем первую цифру после запятой в большую сторону: $a \approx 3,3$.
Для числа $b = 0,11$, вторая цифра после запятой (1) меньше 5, поэтому первая цифра после запятой остается без изменений: $b \approx 0,1$.
Теперь вычислим приближенно сумму и разность:
Сумма: $a + b \approx 3,3 + 0,1 = 3,4$.
Разность: $a - b \approx 3,3 - 0,1 = 3,2$.
Ответ: $a+b \approx 3,4$; $a-b \approx 3,2$.

б) Округляем числа $a = -1,256$ и $b = 2,555$ до десятых.
Для числа $a = -1,256$, вторая цифра после запятой – 5. Округляем первую цифру после запятой в большую сторону (по модулю): $a \approx -1,3$.
Для числа $b = 2,555$, вторая цифра после запятой – 5. Округляем первую цифру после запятой в большую сторону: $b \approx 2,6$.
Вычисляем приближенно сумму и разность:
Сумма: $a + b \approx -1,3 + 2,6 = 1,3$.
Разность: $a - b \approx -1,3 - 2,6 = -3,9$.
Ответ: $a+b \approx 1,3$; $a-b \approx -3,9$.

в) Округляем числа $a = 0,010010$ и $b = 0,2$ до десятых.
Для числа $a = 0,010010$, вторая цифра после запятой – 1. Так как 1 меньше 5, первая цифра после запятой не меняется: $a \approx 0,0$.
Число $b = 0,2$ уже представлено с точностью до десятых, поэтому $b \approx 0,2$.
Вычисляем приближенно сумму и разность:
Сумма: $a + b \approx 0,0 + 0,2 = 0,2$.
Разность: $a - b \approx 0,0 - 0,2 = -0,2$.
Ответ: $a+b \approx 0,2$; $a-b \approx -0,2$.

г) Округляем числа $a = 2,7235$ и $b = -3,42426$ до десятых.
Для числа $a = 2,7235$, вторая цифра после запятой (2) меньше 5, поэтому первая цифра после запятой не меняется: $a \approx 2,7$.
Для числа $b = -3,42426$, вторая цифра после запятой (2) меньше 5, поэтому первая цифра после запятой не меняется: $b \approx -3,4$.
Вычисляем приближенно сумму и разность:
Сумма: $a + b \approx 2,7 + (-3,4) = 2,7 - 3,4 = -0,7$.
Разность: $a - b \approx 2,7 - (-3,4) = 2,7 + 3,4 = 6,1$.
Ответ: $a+b \approx -0,7$; $a-b \approx 6,1$.

д) Округляем числа $a = -7,17$ и $b = -0,33$ до десятых.
Для числа $a = -7,17$, вторая цифра после запятой (7) больше или равна 5, поэтому округляем первую цифру после запятой в большую сторону (по модулю): $a \approx -7,2$.
Для числа $b = -0,33$, вторая цифра после запятой (3) меньше 5, поэтому первая цифра после запятой не меняется: $b \approx -0,3$.
Вычисляем приближенно сумму и разность:
Сумма: $a + b \approx -7,2 + (-0,3) = -7,2 - 0,3 = -7,5$.
Разность: $a - b \approx -7,2 - (-0,3) = -7,2 + 0,3 = -6,9$.
Ответ: $a+b \approx -7,5$; $a-b \approx -6,9$.

е) Округляем числа $a = -6,373$ и $b = -8,765$ до десятых.
Для числа $a = -6,373$, вторая цифра после запятой (7) больше или равна 5, поэтому округляем первую цифру после запятой в большую сторону (по модулю): $a \approx -6,4$.
Для числа $b = -8,765$, вторая цифра после запятой (6) больше или равна 5, поэтому округляем первую цифру после запятой в большую сторону (по модулю): $b \approx -8,8$.
Вычисляем приближенно сумму и разность:
Сумма: $a + b \approx -6,4 + (-8,8) = -6,4 - 8,8 = -15,2$.
Разность: $a - b \approx -6,4 - (-8,8) = -6,4 + 8,8 = 2,4$.
Ответ: $a+b \approx -15,2$; $a-b \approx 2,4$.

912. Округлите числа $a$ и $b$ с точностью до $0,01$ и вычислите приближённо их сумму $a+b$ и разность $a-b$:

а) $a=1,4545$, $b=-1,203$;

б) $a=2,1264$, $b=-3,1145$;

в) $a=-5,777$, $b=2,536$;

г) $a=0,5642$, $b=-3,573$;

д) $a=-12,454$, $b=10,111$;

е) $a=-9,5273$, $b=-11,1928$.

Для решения этой задачи необходимо сначала округлить каждое из чисел $a$ и $b$ до сотых (с точностью до 0,01), а затем выполнить сложение и вычитание с округленными значениями.

Правило округления: смотрим на третью цифру после запятой (разряд тысячных). Если она от 0 до 4, то вторую цифру после запятой (разряд сотых) оставляем без изменений. Если она от 5 до 9, то вторую цифру после запятой увеличиваем на единицу.

а) $a = 1,4545, b = -1,203$

Округляем числа:

$a = 1,4545 \approx 1,45$ (третья цифра после запятой 4).

$b = -1,203 \approx -1,20$ (третья цифра после запятой 3).

Вычисляем приближенные сумму и разность:

$a + b \approx 1,45 + (-1,20) = 1,45 - 1,20 = 0,25$.

$a - b \approx 1,45 - (-1,20) = 1,45 + 1,20 = 2,65$.

Ответ: $a+b \approx 0,25$; $a-b \approx 2,65$.

б) $a = 2,1264, b = -3,1145$

Округляем числа:

$a = 2,1264 \approx 2,13$ (третья цифра после запятой 6).

$b = -3,1145 \approx -3,11$ (третья цифра после запятой 4).

Вычисляем приближенные сумму и разность:

$a + b \approx 2,13 + (-3,11) = 2,13 - 3,11 = -0,98$.

$a - b \approx 2,13 - (-3,11) = 2,13 + 3,11 = 5,24$.

Ответ: $a+b \approx -0,98$; $a-b \approx 5,24$.

в) $a = -5,777, b = 2,536$

Округляем числа:

$a = -5,777 \approx -5,78$ (третья цифра после запятой 7).

$b = 2,536 \approx 2,54$ (третья цифра после запятой 6).

Вычисляем приближенные сумму и разность:

$a + b \approx -5,78 + 2,54 = -3,24$.

$a - b \approx -5,78 - 2,54 = -8,32$.

Ответ: $a+b \approx -3,24$; $a-b \approx -8,32$.

г) $a = 0,5642, b = -3,573$

Округляем числа:

$a = 0,5642 \approx 0,56$ (третья цифра после запятой 4).

$b = -3,573 \approx -3,57$ (третья цифра после запятой 3).

Вычисляем приближенные сумму и разность:

$a + b \approx 0,56 + (-3,57) = 0,56 - 3,57 = -3,01$.

$a - b \approx 0,56 - (-3,57) = 0,56 + 3,57 = 4,13$.

Ответ: $a+b \approx -3,01$; $a-b \approx 4,13$.

д) $a = -12,454, b = 10,111$

Округляем числа:

$a = -12,454 \approx -12,45$ (третья цифра после запятой 4).

$b = 10,111 \approx 10,11$ (третья цифра после запятой 1).

Вычисляем приближенные сумму и разность:

$a + b \approx -12,45 + 10,11 = -2,34$.

$a - b \approx -12,45 - 10,11 = -22,56$.

Ответ: $a+b \approx -2,34$; $a-b \approx -22,56$.

е) $a = -9,5273, b = -11,1928$

Округляем числа:

$a = -9,5273 \approx -9,53$ (третья цифра после запятой 7).

$b = -11,1928 \approx -11,19$ (третья цифра после запятой 2).

Вычисляем приближенные сумму и разность:

$a + b \approx -9,53 + (-11,19) = -9,53 - 11,19 = -20,72$.

$a - b \approx -9,53 - (-11,19) = -9,53 + 11,19 = 1,66$.

Ответ: $a+b \approx -20,72$; $a-b \approx 1,66$.

913. Округлив числа $a$ и $b$ с точностью до третьей значащей цифры, вычислите приближённо их произведение $a \cdot b$ и частное $a : b$:

а) $a=-2,435$, $b=1,923$;

б) $a=2,1456$, $b=0,78788$;

в) $a=-2,131$, $b=-0,009293$;

г) $a=0,03531$, $b=357,693$.

а) Даны числа $a = -2,435$ и $b = 1,923$.

1. Округлим каждое число до третьей значащей цифры. Значащими цифрами числа являются все его цифры, начиная с первой слева, не равной нулю.

Для числа $a = -2,435$ первыми тремя значащими цифрами являются 2, 4, 3. Четвертая цифра – 5, поэтому последнюю из оставляемых значащих цифр увеличиваем на единицу: $a \approx -2,44$.

Для числа $b = 1,923$ первыми тремя значащими цифрами являются 1, 9, 2. Четвертая цифра – 3 (меньше 5), поэтому последнюю из оставляемых значащих цифр оставляем без изменений: $b \approx 1,92$.

2. Вычислим приближенные произведение и частное. Результаты следует округлить до трех значащих цифр, так как множители (делимое и делитель) имеют по три значащие цифры.

Произведение: $a \cdot b \approx -2,44 \cdot 1,92 = -4,6848 \approx -4,68$.

Частное: $a : b \approx -2,44 : 1,92 \approx -1,27083... \approx -1,27$.

Ответ: $a \cdot b \approx -4,68$; $a : b \approx -1,27$.

б) Даны числа $a = 2,1456$ и $b = 0,78788$.

1. Округлим каждое число до третьей значащей цифры.

Для числа $a = 2,1456$ первые три значащие цифры – 2, 1, 4. Четвертая цифра – 5, поэтому округляем в большую сторону: $a \approx 2,15$.

Для числа $b = 0,78788$ первые три значащие цифры – 7, 8, 7. Четвертая цифра – 8, поэтому округляем в большую сторону: $b \approx 0,788$.

2. Вычислим приближенные произведение и частное, округлив результат до трех значащих цифр.

Произведение: $a \cdot b \approx 2,15 \cdot 0,788 = 1,6942 \approx 1,69$.

Частное: $a : b \approx 2,15 : 0,788 \approx 2,72842... \approx 2,73$.

Ответ: $a \cdot b \approx 1,69$; $a : b \approx 2,73$.

в) Даны числа $a = -2,131$ и $b = -0,009293$.

1. Округлим каждое число до третьей значащей цифры.

Для числа $a = -2,131$ первые три значащие цифры – 2, 1, 3. Четвертая цифра – 1, поэтому оставляем без изменений: $a \approx -2,13$.

Для числа $b = -0,009293$ первые три значащие цифры – 9, 2, 9. Четвертая цифра – 3, поэтому оставляем без изменений: $b \approx -0,00929$.

2. Вычислим приближенные произведение и частное, округлив результат до трех значащих цифр.

Произведение: $a \cdot b \approx (-2,13) \cdot (-0,00929) = 0,0197877 \approx 0,0198$.

Частное: $a : b \approx (-2,13) : (-0,00929) \approx 229,27879... \approx 229$.

Ответ: $a \cdot b \approx 0,0198$; $a : b \approx 229$.

г) Даны числа $a = 0,03531$ и $b = 357,693$.

1. Округлим каждое число до третьей значащей цифры.

Для числа $a = 0,03531$ первые три значащие цифры – 3, 5, 3. Четвертая цифра – 1, поэтому оставляем без изменений: $a \approx 0,0353$.

Для числа $b = 357,693$ первые три значащие цифры – 3, 5, 7. Четвертая цифра – 6, поэтому округляем в большую сторону: $b \approx 358$.

2. Вычислим приближенные произведение и частное, округлив результат до трех значащих цифр.

Произведение: $a \cdot b \approx 0,0353 \cdot 358 = 12,6374 \approx 12,6$.

Частное: $a : b \approx 0,0353 : 358 \approx 0,000098603... \approx 0,0000986$.

Ответ: $a \cdot b \approx 12,6$; $a : b \approx 0,0000986$.

914. Округлив числа $a$ и $b$ с точностью до второй значащей цифры, вычислите приближённо их произведение $a \cdot b$ и частное $a : b$:

а) $a = 0,253$, $b = 0,75$;

б) $a = 3,5781$, $b = -0,00494$;

в) $a = -0,045$, $b = -0,593$;

г) $a = 382,231$, $b = 0,002434$.

а) $a=0,253, b=0,75$

Сначала округлим числа до второй значащей цифры.

Для $a=0,253$: первые две значащие цифры – 2 и 5. Третья значащая цифра – 3. Так как $3 < 5$, округляем до $a \approx 0,25$.

Число $b=0,75$ уже представлено с двумя значащими цифрами, поэтому $b \approx 0,75$.

Теперь вычислим приближенные значения произведения и частного, используя округленные числа. Результаты также представим с двумя значащими цифрами.

$a \cdot b \approx 0,25 \cdot 0,75 = 0,1875 \approx 0,19$.

$a : b \approx 0,25 : 0,75 = \frac{1}{3} = 0,333... \approx 0,33$.

Ответ: $a \cdot b \approx 0,19$; $a : b \approx 0,33$.

б) $a=3,5781, b=-0,00494$

Сначала округлим числа до второй значащей цифры.

Для $a=3,5781$: первые две значащие цифры – 3 и 5. Третья значащая цифра – 7. Так как $7 \ge 5$, вторую значащую цифру увеличиваем на единицу: $a \approx 3,6$.

Для $b=-0,00494$: первые значащие цифры – 4 и 9. Третья значащая цифра – 4. Так как $4 < 5$, оставляем вторую значащую цифру без изменений: $b \approx -0,0049$.

Теперь вычислим приближенные значения произведения и частного, используя округленные числа. Результаты также представим с двумя значащими цифрами.

$a \cdot b \approx 3,6 \cdot (-0,0049) = -0,01764 \approx -0,018$.

$a : b \approx 3,6 : (-0,0049) = -\frac{3,6}{0,0049} \approx -734,69... \approx -730$.

Ответ: $a \cdot b \approx -0,018$; $a : b \approx -730$.

в) $a=-0,045, b=-0,593$

Сначала округлим числа до второй значащей цифры.

Число $a=-0,045$ уже представлено с двумя значащими цифрами (4 и 5), поэтому $a \approx -0,045$.

Для $b=-0,593$: первые две значащие цифры – 5 и 9. Третья значащая цифра – 3. Так как $3 < 5$, округляем до $b \approx -0,59$.

Теперь вычислим приближенные значения произведения и частного, используя округленные числа. Результаты также представим с двумя значащими цифрами.

$a \cdot b \approx (-0,045) \cdot (-0,59) = 0,02655 \approx 0,027$.

$a : b \approx (-0,045) : (-0,59) = \frac{0,045}{0,59} \approx 0,07627... \approx 0,076$.

Ответ: $a \cdot b \approx 0,027$; $a : b \approx 0,076$.

г) $a=382,231, b=0,002434$

Сначала округлим числа до второй значащей цифры.

Для $a=382,231$: первые две значащие цифры – 3 и 8. Третья значащая цифра – 2. Так как $2 < 5$, округляем до $a \approx 380$.

Для $b=0,002434$: первые значащие цифры – 2 и 4. Третья значащая цифра – 3. Так как $3 < 5$, округляем до $b \approx 0,0024$.

Теперь вычислим приближенные значения произведения и частного, используя округленные числа. Результаты также представим с двумя значащими цифрами.

$a \cdot b \approx 380 \cdot 0,0024 = 0,912 \approx 0,91$.

$a : b \approx 380 : 0,0024 = 158333,333... \approx 160000$.

Ответ: $a \cdot b \approx 0,91$; $a : b \approx 160000$.