Страница 161 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

846. Из «Сборника задач и упражнений по арифметике» С. А. Пономарёва и Н. И. Сырнева. (Задача-шутка.) Крестьянин поехал на луга за сеном и взял с собой трёх сыновей: $15$ лет, $12$ лет и $10$ лет. Обратный путь в $13.5$ км мальчики по очереди ехали на возу, причём расстояние распределили обратно пропорционально возрасту. Сколько километров проехал каждый из них на возу?

В условии задачи сказано, что расстояние, которое проехал каждый из сыновей на возу, обратно пропорционально его возрасту. Это означает, что чем старше сын, тем меньшее расстояние он проехал, и наоборот.

Пусть $S_{15}$, $S_{12}$ и $S_{10}$ — расстояния, которые проехали сыновья 15, 12 и 10 лет соответственно. Обратная пропорциональность возрасту означает прямую пропорциональность числам, обратным возрасту: $\frac{1}{15}$, $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{10}$.

Таким образом, мы можем составить пропорцию: $S_{15} : S_{12} : S_{10} = \frac{1}{15} : \frac{1}{12} : \frac{1}{10}$

Чтобы избавиться от дробей, найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей (15, 12, 10). НОК(15, 12, 10) = 60.

Умножим каждую часть отношения на 60: $(\frac{1}{15} \cdot 60) : (\frac{1}{12} \cdot 60) : (\frac{1}{10} \cdot 60) = 4 : 5 : 6$

Это означает, что общее расстояние в 13,5 км было разделено между сыновьями в отношении 4:5:6. Общее количество частей равно $4 + 5 + 6 = 15$.

Теперь найдем, сколько километров приходится на одну часть: $13,5 \text{ км} / 15 \text{ частей} = 0,9$ км/часть.

Теперь можно рассчитать расстояние для каждого сына:

15-летний сын (4 части): $4 \cdot 0,9 = 3,6$ км.

12-летний сын (5 частей): $5 \cdot 0,9 = 4,5$ км.

10-летний сын (6 частей): $6 \cdot 0,9 = 5,4$ км.

Проверим, сходится ли сумма расстояний с общей: $3,6 + 4,5 + 5,4 = 13,5$ км.

Ответ: 15-летний сын проехал 3,6 км, 12-летний сын проехал 4,5 км, а 10-летний сын проехал 5,4 км.

847. Придумайте и решите 6 разных задач на движение по реке, в условиях которых были бы использованы десятичные дроби.

Задача 1: Нахождение расстояния.
Собственная скорость катера равна 15,8 км/ч, а скорость течения реки — 2,3 км/ч. Какое расстояние пройдёт катер за 2,5 часа, двигаясь по течению реки?

Решение:
1. Найдём скорость катера по течению реки. Для этого сложим собственную скорость катера и скорость течения:
$v_{по\ теч.} = v_{соб.} + v_{теч.} = 15,8 + 2,3 = 18,1$ (км/ч).
2. Теперь найдём расстояние, которое пройдёт катер за 2,5 часа. Для этого умножим скорость по течению на время:
$S = v_{по\ теч.} \cdot t = 18,1 \cdot 2,5 = 45,25$ (км).
Ответ: 45,25 км.

Задача 2: Нахождение времени.
Собственная скорость теплохода 21,2 км/ч, а скорость течения реки 1,7 км/ч. За какое время теплоход пройдёт 48,75 км против течения реки?

Решение:
1. Найдём скорость теплохода против течения реки. Для этого из собственной скорости вычтем скорость течения:
$v_{против\ теч.} = v_{соб.} - v_{теч.} = 21,2 - 1,7 = 19,5$ (км/ч).
2. Теперь найдём время, разделив расстояние на скорость против течения:
$t = S / v_{против\ теч.} = 48,75 / 19,5 = 2,5$ (ч).
Ответ: 2,5 часа.

Задача 3: Нахождение собственной скорости и скорости течения.
Скорость моторной лодки по течению реки равна 22,4 км/ч, а против течения — 17,8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Решение:
1. Собственная скорость лодки равна среднему арифметическому скорости по течению и против течения:
$v_{соб.} = (v_{по\ теч.} + v_{против\ теч.}) / 2 = (22,4 + 17,8) / 2 = 40,2 / 2 = 20,1$ (км/ч).
2. Скорость течения можно найти, вычтя из скорости по течению собственную скорость лодки:
$v_{теч.} = v_{по\ теч.} - v_{соб.} = 22,4 - 20,1 = 2,3$ (км/ч).
Ответ: собственная скорость лодки — 20,1 км/ч, скорость течения реки — 2,3 км/ч.

Задача 4: Задача на путь туда и обратно.
Расстояние между двумя пристанями 54 км. Собственная скорость катера 16,5 км/ч, скорость течения реки 1,5 км/ч. Сколько времени уйдёт у катера на путь от одной пристани до другой и обратно?

Решение:
1. Найдём скорость катера по течению: $v_{по\ теч.} = 16,5 + 1,5 = 18$ (км/ч).
2. Найдём время, затраченное на путь по течению: $t_1 = 54 / 18 = 3$ (ч).
3. Найдём скорость катера против течения: $v_{против\ теч.} = 16,5 - 1,5 = 15$ (км/ч).
4. Найдём время, затраченное на путь против течения: $t_2 = 54 / 15 = 3,6$ (ч).
5. Найдём общее время: $T = t_1 + t_2 = 3 + 3,6 = 6,6$ (ч).
Ответ: 6,6 часа.

Задача 5: Задача на встречное движение.
От двух пристаней, расстояние между которыми 140 км, одновременно навстречу друг другу отправились два катера. Первый катер шёл по течению, его собственная скорость 19,7 км/ч. Второй катер шёл против течения, его собственная скорость 20,3 км/ч. Скорость течения реки 1,8 км/ч. Через сколько часов катера встретятся?

Решение:
1. Найдём скорость первого катера (по течению): $v_1 = 19,7 + 1,8 = 21,5$ (км/ч).
2. Найдём скорость второго катера (против течения): $v_2 = 20,3 - 1,8 = 18,5$ (км/ч).
3. Найдём скорость сближения катеров, сложив их скорости: $v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 21,5 + 18,5 = 40$ (км/ч).
4. Найдём время до встречи, разделив расстояние на скорость сближения: $t = S / v_{сбл.} = 140 / 40 = 3,5$ (ч).
Ответ: 3,5 часа.

Задача 6: Задача с плотом.
Из пункта А по течению реки одновременно отправились лодка и плот. Через 3,5 часа лодка опередила плот на 61,25 км. Найдите собственную скорость лодки.

Решение:
1. Скорость плота равна скорости течения реки ($v_{теч.}$). Скорость лодки по течению равна $v_{соб.} + v_{теч.}$.
2. Скорость, с которой лодка удаляется от плота (скорость удаления), равна разности их скоростей:
$v_{удал.} = (v_{соб.} + v_{теч.}) - v_{теч.} = v_{соб.}$.
3. Таким образом, расстояние между лодкой и плотом через время $t$ равно $S = v_{соб.} \cdot t$.
4. Из этой формулы найдём собственную скорость лодки: $v_{соб.} = S / t = 61,25 / 3,5 = 17,5$ (км/ч).
Ответ: 17,5 км/ч.

Вычислите (848–852):

848. a) $13,7 \cdot 2,2 - 5,9 \cdot 2,2 + 7,8^2;$

б) $2,62 \cdot 13,58 + 3,8 \cdot 13,58 + 6,42^2.$

а)

Чтобы вычислить значение выражения $13,7 \cdot 2,2 - 5,9 \cdot 2,2 + 7,8^2$, будем использовать распределительный закон умножения для упрощения.

1. Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки их общий множитель $2,2$:
$(13,7 - 5,9) \cdot 2,2 + 7,8^2$.

2. Вычислим разность в скобках:
$13,7 - 5,9 = 7,8$.

3. Подставим полученный результат обратно в выражение:
$7,8 \cdot 2,2 + 7,8^2$.

4. Теперь у нас есть новый общий множитель $7,8$, который мы также можем вынести за скобки:
$7,8 \cdot (2,2 + 7,8)$.

5. Вычислим сумму в скобках:
$2,2 + 7,8 = 10$.

6. Выполним последнее умножение:
$7,8 \cdot 10 = 78$.

Ответ: 78.

б)

Чтобы вычислить значение выражения $2,62 \cdot 13,58 + 3,8 \cdot 13,58 + 6,42^2$, также воспользуемся распределительным законом.

1. В первых двух слагаемых вынесем за скобки общий множитель $13,58$:
$(2,62 + 3,8) \cdot 13,58 + 6,42^2$.

2. Вычислим сумму в скобках:
$2,62 + 3,8 = 6,42$.

3. Подставим результат в выражение:
$6,42 \cdot 13,58 + 6,42^2$.

4. Вынесем за скобки общий множитель $6,42$:
$6,42 \cdot (13,58 + 6,42)$.

5. Вычислим сумму в скобках:
$13,58 + 6,42 = 20$.

6. Выполним финальное умножение:
$6,42 \cdot 20 = 128,4$.

Ответ: 128,4.

849. а) $\frac{1.476 + 2.08 \cdot 4.05}{49.938 \div 24.36 - 0.25}$

б) $\frac{4.58 + 6.275 \div 1.25}{49.533 \div 16.5 - 2.522}$

а) $\frac{1,476 + 2,08 \cdot 4,05}{49,938 : 24,36 - 0,25}$

Для решения этого выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в числителе и знаменателе, соблюдая приоритет операций (умножение и деление перед сложением и вычитанием), а затем разделить результат числителя на результат знаменателя.

1. Вычислим значение числителя: $1,476 + 2,08 \cdot 4,05$.

- Сначала выполняем умножение: $2,08 \cdot 4,05 = 8,424$.

- Затем выполняем сложение: $1,476 + 8,424 = 9,9$.

- Таким образом, числитель равен $9,9$.

2. Вычислим значение знаменателя: $49,938 : 24,36 - 0,25$.

- Сначала выполняем деление: $49,938 : 24,36 = 2,05$.

- Затем выполняем вычитание: $2,05 - 0,25 = 1,8$.

- Таким образом, знаменатель равен $1,8$.

3. Теперь разделим числитель на знаменатель:

- $\frac{9,9}{1,8} = 99 : 18 = 5,5$.

Ответ: $5,5$.

б) $\frac{4,58 + 6,275 : 1,25}{49,533 : 16,5 - 2,522}$

Решим это выражение по аналогии с предыдущим, соблюдая порядок действий.

1. Вычислим значение числителя: $4,58 + 6,275 : 1,25$.

- Сначала выполняем деление: $6,275 : 1,25 = 5,02$.

- Затем выполняем сложение: $4,58 + 5,02 = 9,6$.

- Таким образом, числитель равен $9,6$.

2. Вычислим значение знаменателя: $49,533 : 16,5 - 2,522$.

- Сначала выполняем деление: $49,533 : 16,5 = 3,002$.

- Затем выполняем вычитание: $3,002 - 2,522 = 0,48$.

- Таким образом, знаменатель равен $0,48$.

3. Теперь разделим числитель на знаменатель:

- $\frac{9,6}{0,48} = \frac{960}{48} = 20$.

Ответ: $20$.

850. а) $\frac{1}{2} + 0,5;$

б) $\frac{1}{4} + 0,3;$

в) $\frac{2}{5} - 0,4;$

г) $\frac{3}{4} - 0,25;$

д) $\frac{7}{25} + 0,13;$

е) $\frac{6}{25} - 0,02.$

а)

Чтобы сложить обыкновенную и десятичную дроби, необходимо привести их к одному виду. Удобнее всего преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель.

$ \frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0,5 $

Теперь выполним сложение полученных десятичных дробей:

$ 0,5 + 0,5 = 1 $

Ответ: 1

б)

Приведем обыкновенную дробь к десятичному виду, чтобы можно было выполнить сложение.

$ \frac{1}{4} = 1 \div 4 = 0,25 $

Теперь сложим десятичные дроби:

$ 0,25 + 0,3 = 0,55 $

Ответ: 0,55

в)

Для выполнения вычитания преобразуем обыкновенную дробь в десятичную.

$ \frac{2}{5} = 2 \div 5 = 0,4 $

Теперь выполним вычитание:

$ 0,4 - 0,4 = 0 $

Ответ: 0

г)

Переведем обыкновенную дробь в десятичную для удобства вычислений.

$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75 $

Выполним вычитание десятичных дробей:

$ 0,75 - 0,25 = 0,5 $

Ответ: 0,5

д)

Чтобы преобразовать дробь $ \frac{7}{25} $ в десятичную, можно домножить ее числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д. В данном случае домножим на 4.

$ \frac{7}{25} = \frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100} = 0,28 $

Теперь выполним сложение:

$ 0,28 + 0,13 = 0,41 $

Ответ: 0,41

е)

Преобразуем обыкновенную дробь $ \frac{6}{25} $ в десятичную, домножив числитель и знаменатель на 4.

$ \frac{6}{25} = \frac{6 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{24}{100} = 0,24 $

Теперь выполним вычитание десятичных дробей:

$ 0,24 - 0,02 = 0,22 $

Ответ: 0,22

851. а) $1\frac{1}{2} - 3\frac{1}{4} \cdot 0.2$;

б) $1\frac{1}{5} : 1.6 - \frac{4}{5} \cdot 0.125$;

в) $4\frac{1}{2} \cdot 0.4 : 0.15 \cdot 1\frac{2}{3}$;

г) $3\frac{1}{3} \cdot 0.3 + 19 : 0.5 \cdot \frac{1}{4}$.

а) $1\frac{1}{2} - 3\frac{1}{4} \cdot 0,2$

Для решения данного примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняется умножение, а затем вычитание. Для удобства вычислений преобразуем все числа в обыкновенные дроби.

1. Преобразуем смешанные числа и десятичную дробь в неправильные дроби:
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

2. Выполним умножение:
$3\frac{1}{4} \cdot 0,2 = \frac{13}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{13 \cdot 1}{4 \cdot 5} = \frac{13}{20}$

3. Выполним вычитание. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 20:
$1\frac{1}{2} - \frac{13}{20} = \frac{3}{2} - \frac{13}{20} = \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 10} - \frac{13}{20} = \frac{30}{20} - \frac{13}{20} = \frac{30 - 13}{20} = \frac{17}{20}$

Результат можно представить в виде десятичной дроби:
$\frac{17}{20} = \frac{17 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{85}{100} = 0,85$

Ответ: $0,85$.

б) $1\frac{1}{5} : 1,6 - \frac{4}{5} \cdot 0,125$

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление и умножение (слева направо), а затем вычитание. Преобразуем все числа в обыкновенные дроби.

1. Преобразуем числа в дроби:
$1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$
$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

2. Выполним деление:
$1\frac{1}{5} : 1,6 = \frac{6}{5} : \frac{8}{5} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

3. Выполним умножение:
$\frac{4}{5} \cdot 0,125 = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$

4. Выполним вычитание. Общий знаменатель для 4 и 10 равен 20:
$\frac{3}{4} - \frac{1}{10} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{15}{20} - \frac{2}{20} = \frac{13}{20}$

Переведем в десятичную дробь:
$\frac{13}{20} = \frac{13 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{65}{100} = 0,65$

Ответ: $0,65$.

в) $4\frac{1}{2} \cdot 0,4 : 0,15 \cdot 1\frac{2}{3}$

В данном выражении все действия — умножение и деление. Выполняем их последовательно слева направо. Переведем все числа в обыкновенные дроби.

1. Преобразуем числа в дроби:
$4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$0,15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$
$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

2. Выполним первое умножение:
$4\frac{1}{2} \cdot 0,4 = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 5} = \frac{9}{5}$

3. Выполним деление:
$\frac{9}{5} : 0,15 = \frac{9}{5} : \frac{3}{20} = \frac{9}{5} \cdot \frac{20}{3} = \frac{9 \cdot 20}{5 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 12$

4. Выполним второе умножение:
$12 \cdot 1\frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{5}{3} = \frac{12 \cdot 5}{3} = 4 \cdot 5 = 20$

Ответ: $20$.

г) $3\frac{1}{3} \cdot 0,3 + 19 : 0,5 \cdot \frac{1}{4}$

Порядок действий: сначала умножение и деление (слева направо), затем сложение. Преобразуем все числа в обыкновенные дроби.

1. Преобразуем числа в дроби:
$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
$0,3 = \frac{3}{10}$
$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

2. Выполним первое умножение:
$3\frac{1}{3} \cdot 0,3 = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{10} = 1$

3. Выполним деление:
$19 : 0,5 = 19 : \frac{1}{2} = 19 \cdot 2 = 38$

4. Выполним второе умножение:
$38 \cdot \frac{1}{4} = \frac{38}{4} = \frac{19}{2} = 9,5$

5. Выполним сложение:
$1 + 9,5 = 10,5$

Результат можно записать и в виде смешанного числа:
$10,5 = 10\frac{1}{2}$

Ответ: $10,5$.

852. а) $ (1\frac{3}{8} + 1\frac{3}{4} - 0,411) : 0,59; $

б) $ (6\frac{7}{15} - 1,4) : (2\frac{4}{5} + 1,2); $

в) $ 12,8 \cdot \frac{1}{4} : (\frac{3}{4} - 0,125); $

г) $ 1\frac{17}{18} \cdot (3\frac{1}{4} - 2,95) : 3,5. $

а)

Решим пример $(1\frac{3}{8} + 1\frac{3}{4} - 0,411) : 0,59$ по действиям.

Для удобства вычислений преобразуем смешанные дроби в десятичные, так как они переводятся в конечные десятичные дроби.

1. Преобразуем $1\frac{3}{8}$ и $1\frac{3}{4}$ в десятичные дроби:

$1\frac{3}{8} = 1 + 3:8 = 1 + 0,375 = 1,375$

$1\frac{3}{4} = 1 + 3:4 = 1 + 0,75 = 1,75$

2. Выполним действия в скобках:

$1,375 + 1,75 = 3,125$

$3,125 - 0,411 = 2,714$

3. Выполним деление:

$2,714 : 0,59 = 271,4 : 59 = 4,6$

Ответ: $4,6$

б)

Решим пример $(6\frac{7}{15} - 1,4) : (2\frac{4}{5} + 1,2)$ по действиям.

Так как дробь $\frac{7}{15}$ при переводе в десятичную является бесконечной периодической, будем выполнять все вычисления в обыкновенных дробях.

1. Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные и смешанные числа в неправильные дроби:

$6\frac{7}{15} = \frac{6 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{97}{15}$

$1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

$2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$

$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

2. Выполним действие в первой скобке:

$\frac{97}{15} - \frac{7}{5} = \frac{97}{15} - \frac{7 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{97}{15} - \frac{21}{15} = \frac{97-21}{15} = \frac{76}{15}$

3. Выполним действие во второй скобке:

$\frac{14}{5} + \frac{6}{5} = \frac{14+6}{5} = \frac{20}{5} = 4$

4. Выполним деление:

$\frac{76}{15} : 4 = \frac{76}{15} \cdot \frac{1}{4} = \frac{76}{15 \cdot 4} = \frac{19}{15} = 1\frac{4}{15}$

Ответ: $1\frac{4}{15}$

в)

Решим пример $12,8 \cdot \frac{1}{4} : (\frac{3}{4} - 0,125)$ по действиям.

В данном примере удобно перевести все дроби в десятичные.

1. Преобразуем обыкновенные дроби в десятичные:

$\frac{1}{4} = 0,25$

$\frac{3}{4} = 0,75$

2. Выполним действие в скобках:

$0,75 - 0,125 = 0,625$

3. Теперь выражение имеет вид: $12,8 \cdot 0,25 : 0,625$. Выполним действия по порядку.

$12,8 \cdot 0,25 = 12,8 : 4 = 3,2$

$3,2 : 0,625 = 3200 : 625 = 5,12$

Ответ: $5,12$

г)

Решим пример $1\frac{17}{18} \cdot (3\frac{1}{4} - 2,95) : 3,5$ по действиям.

Так как дробь $\frac{17}{18}$ является бесконечной периодической, будем выполнять вычисления в обыкновенных дробях.

1. Преобразуем все числа в обыкновенные дроби:

$1\frac{17}{18} = \frac{1 \cdot 18 + 17}{18} = \frac{35}{18}$

$3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$

$2,95 = 2\frac{95}{100} = 2\frac{19}{20} = \frac{59}{20}$

$3,5 = 3\frac{5}{10} = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

2. Выполним действие в скобках:

$3\frac{1}{4} - 2,95 = \frac{13}{4} - \frac{59}{20} = \frac{13 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{59}{20} = \frac{65}{20} - \frac{59}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

3. Теперь выражение имеет вид: $\frac{35}{18} \cdot \frac{3}{10} : \frac{7}{2}$. Выполним действия по порядку.

$\frac{35}{18} \cdot \frac{3}{10} = \frac{35 \cdot 3}{18 \cdot 10} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 3}{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{7}{12}$

$\frac{7}{12} : \frac{7}{2} = \frac{7}{12} \cdot \frac{2}{7} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 7} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

853. Решите уравнение:

а) $x - 3\frac{1}{2} = 6,1;$

б) $2,5x + 6,3 = 7\frac{1}{3};$

в) $2\frac{2}{3}x - 5,1 = 3,7;$

г) $1,5x + 2\frac{1}{3} = 2,5.$

а) $x - 3\frac{1}{2} = 6,1$

Для решения этого уравнения представим все числа в виде десятичных дробей. Смешанное число $3\frac{1}{2}$ равно $3,5$.

Подставим это значение в уравнение:

$x - 3,5 = 6,1$

Чтобы найти $x$, является уменьшаемым, нужно к разности прибавить вычитаемое. Перенесем $-3,5$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x = 6,1 + 3,5$

$x = 9,6$

Ответ: $9,6$

б) $2,5x + 6,3 = 7\frac{1}{3}$

В этом уравнении есть как десятичные дроби, так и обыкновенная. Поскольку $\frac{1}{3}$ дает бесконечную периодическую десятичную дробь, удобнее перевести все числа в обыкновенные дроби.

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$6,3 = \frac{63}{10}$

$7\frac{1}{3} = \frac{7 \times 3 + 1}{3} = \frac{22}{3}$

Запишем уравнение с обыкновенными дробями:

$\frac{5}{2}x + \frac{63}{10} = \frac{22}{3}$

Перенесем $\frac{63}{10}$ в правую часть, изменив знак:

$\frac{5}{2}x = \frac{22}{3} - \frac{63}{10}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 10 это 30.

$\frac{5}{2}x = \frac{22 \times 10}{3 \times 10} - \frac{63 \times 3}{10 \times 3} = \frac{220}{30} - \frac{189}{30} = \frac{31}{30}$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:

$x = \frac{31}{30} \div \frac{5}{2} = \frac{31}{30} \times \frac{2}{5}$

$x = \frac{31 \times 2}{30 \times 5} = \frac{62}{150}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{31}{75}$

Ответ: $\frac{31}{75}$

в) $2\frac{2}{3}x - 5,1 = 3,7$

Переведем все числа в обыкновенные дроби, так как $2\frac{2}{3}$ в десятичном виде является периодической дробью.

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

$5,1 = \frac{51}{10}$

$3,7 = \frac{37}{10}$

Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{8}{3}x - \frac{51}{10} = \frac{37}{10}$

Перенесем $-\frac{51}{10}$ в правую часть, изменив знак:

$\frac{8}{3}x = \frac{37}{10} + \frac{51}{10}$

$\frac{8}{3}x = \frac{37 + 51}{10} = \frac{88}{10}$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{88}{10} \div \frac{8}{3} = \frac{88}{10} \times \frac{3}{8}$

Сократим 88 и 8 на 8:

$x = \frac{11}{10} \times \frac{3}{1} = \frac{33}{10}$

Запишем ответ в виде десятичной дроби:

$x = 3,3$

Ответ: $3,3$

г) $1,5x + 2\frac{1}{3} = 2,5$

Как и в предыдущих примерах, преобразуем все числа в обыкновенные дроби.

$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

Запишем уравнение в новом виде:

$\frac{3}{2}x + \frac{7}{3} = \frac{5}{2}$

Перенесем $\frac{7}{3}$ в правую часть, изменив знак:

$\frac{3}{2}x = \frac{5}{2} - \frac{7}{3}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$\frac{3}{2}x = \frac{5 \times 3}{2 \times 3} - \frac{7 \times 2}{3 \times 2} = \frac{15}{6} - \frac{14}{6} = \frac{1}{6}$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{1}{6} \div \frac{3}{2} = \frac{1}{6} \times \frac{2}{3}$

$x = \frac{2}{18}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

854. Решите пропорцию:

а) $\frac{x}{4,9} = \frac{1,5}{2,1}$

б) $\frac{1,8}{x} = \frac{0,36}{3,2}$

в) $\frac{2,7}{25} = \frac{x}{1,25}$

г) $x : 4,2 = \frac{3}{2} : 6,3$

д) $x : 3,8 = \frac{4}{5} : 1,9$

е) $2,5 : x = 3\frac{1}{3} : 1,2$

ж) $2\frac{1}{3} : x = 3,5 : 1,5$

з) $2x : 3,5 = 8 : 7$

и) $1,2x : 8 = 0,36 : 5$

а) Дана пропорция: $\frac{x}{4,9} = \frac{1,5}{2,1}$.
Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для данной пропорции это выглядит так:
$x \cdot 2,1 = 4,9 \cdot 1,5$
Вычислим произведение в правой части:
$2,1x = 7,35$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2,1:
$x = \frac{7,35}{2,1}$
$x = 3,5$
Ответ: 3,5

б) Дана пропорция: $\frac{1,8}{x} = \frac{0,36}{3,2}$.
Применяя основное свойство пропорции, получаем:
$1,8 \cdot 3,2 = x \cdot 0,36$
Выразим $x$ из этого уравнения:
$x = \frac{1,8 \cdot 3,2}{0,36}$
Сократим дробь, заметив, что $\frac{1,8}{0,36} = \frac{180}{36} = 5$:
$x = 5 \cdot 3,2$
$x = 16$
Ответ: 16

в) Дана пропорция: $\frac{2,7}{25} = \frac{x}{1,25}$.
По основному свойству пропорции:
$2,7 \cdot 1,25 = 25 \cdot x$
Выразим $x$:
$x = \frac{2,7 \cdot 1,25}{25}$
Сократим дробь, заметив, что $\frac{1,25}{25} = 0,05$:
$x = 2,7 \cdot 0,05$
$x = 0,135$
Ответ: 0,135

г) Дана пропорция: $x : 4,2 = \frac{3}{2} : 6,3$.
Запишем пропорцию в виде дробей и преобразуем $\frac{3}{2}$ в десятичную дробь 1,5:
$\frac{x}{4,2} = \frac{1,5}{6,3}$
Применяя основное свойство пропорции:
$x \cdot 6,3 = 4,2 \cdot 1,5$
$6,3x = 6,3$
$x = \frac{6,3}{6,3}$
$x = 1$
Ответ: 1

д) Дана пропорция: $x : 3,8 = \frac{4}{5} : 1,9$.
Запишем пропорцию в виде дробей и преобразуем $\frac{4}{5}$ в десятичную дробь 0,8:
$\frac{x}{3,8} = \frac{0,8}{1,9}$
По основному свойству пропорции:
$x \cdot 1,9 = 3,8 \cdot 0,8$
Выразим $x$:
$x = \frac{3,8 \cdot 0,8}{1,9}$
Сократим дробь, заметив, что $\frac{3,8}{1,9} = 2$:
$x = 2 \cdot 0,8$
$x = 1,6$
Ответ: 1,6

е) Дана пропорция: $2,5 : x = 3\frac{1}{3} : 1,2$.
Запишем пропорцию в виде дробей:
$\frac{2,5}{x} = \frac{3\frac{1}{3}}{1,2}$
Применяя основное свойство пропорции:
$2,5 \cdot 1,2 = x \cdot 3\frac{1}{3}$
Вычислим левую часть: $2,5 \cdot 1,2 = 3$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
$3 = x \cdot \frac{10}{3}$
Найдем $x$:
$x = 3 : \frac{10}{3} = 3 \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{10}$
$x = 0,9$
Ответ: 0,9

ж) Дана пропорция: $2\frac{1}{3} : x = 3,5 : 1,5$.
Запишем пропорцию в виде дробей:
$\frac{2\frac{1}{3}}{x} = \frac{3,5}{1,5}$
По основному свойству пропорции:
$2\frac{1}{3} \cdot 1,5 = x \cdot 3,5$
Преобразуем числа для удобства вычислений: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, $1,5 = \frac{3}{2}$, $3,5 = \frac{7}{2}$.
$\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{2} = x \cdot \frac{7}{2}$
$\frac{7}{2} = x \cdot \frac{7}{2}$
Отсюда очевидно, что:
$x = 1$
Ответ: 1

з) Дана пропорция: $2x : 3,5 = 8 : 7$.
Запишем пропорцию в виде дробей:
$\frac{2x}{3,5} = \frac{8}{7}$
Применяя основное свойство пропорции:
$2x \cdot 7 = 3,5 \cdot 8$
$14x = 28$
Найдем $x$:
$x = \frac{28}{14}$
$x = 2$
Ответ: 2

и) Дана пропорция: $1,2x : 8 = 0,36 : 5$.
Запишем пропорцию в виде дробей:
$\frac{1,2x}{8} = \frac{0,36}{5}$
По основному свойству пропорции:
$1,2x \cdot 5 = 8 \cdot 0,36$
$6x = 2,88$
Найдем $x$:
$x = \frac{2,88}{6}$
$x = 0,48$
Ответ: 0,48