Страница 183 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

935. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны:

а) 3 см, 4 см, 5 см;

б) 3 см, 4 см, 4 см;

в) 4 см, 4 см, 4 см.

Сколько плоскостей симметрии у этого прямоугольного параллелепипеда?

Количество плоскостей симметрии у прямоугольного параллелепипеда зависит от соотношения длин его ребер (измерений), выходящих из одной вершины. Пусть эти измерения равны $a$, $b$ и $c$.

а) В этом случае измерения параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. Все три измерения различны: $a \neq b \neq c$. Такой параллелепипед имеет 3 плоскости симметрии. Каждая из этих плоскостей проходит через центр параллелепипеда и параллельна одной из пар его противоположных граней.
Ответ: 3.

б) В этом случае измерения параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 4 см. Два из трех измерений равны, а третье отличается от них. Геометрически это прямая призма, в основании которой лежит квадрат со стороной 4 см, а высота равна 3 см. Такая фигура имеет:

• 3 плоскости симметрии, которые проходят через центр и параллельны граням (как в общем случае).
• 2 диагональные плоскости симметрии, которые проходят через диагонали квадратных оснований.

Всего получается $3 + 2 = 5$ плоскостей симметрии.
Ответ: 5.

в) В этом случае измерения параллелепипеда равны 4 см, 4 см и 4 см. Все три измерения равны: $a = b = c$. Эта фигура является кубом. Куб обладает наибольшим количеством плоскостей симметрии среди всех параллелепипедов. У него есть:

• 3 плоскости симметрии, проходящие через середины противоположных ребер (параллельно граням).
• 6 диагональных плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через два противоположных ребра.

Всего получается $3 + 6 = 9$ плоскостей симметрии.
Ответ: 9.

936. Сколько плоскостей симметрии у цилиндра, конуса, шара?

цилиндр
Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит геометрическое тело на две зеркально равные части. У прямого кругового цилиндра можно выделить два вида плоскостей симметрии:
1. Любая плоскость, которая проходит через ось цилиндра (прямую, соединяющую центры его оснований). Таких плоскостей можно провести бесконечно много, вращая плоскость вокруг оси.
2. Одна плоскость, которая перпендикулярна оси цилиндра и проходит ровно посередине его высоты. Эта плоскость делит цилиндр на две одинаковые части.
Следовательно, общее число плоскостей симметрии у цилиндра является бесконечным.
Ответ: бесконечно много.

конус
У прямого кругового конуса плоскостью симметрии является любая плоскость, которая проходит через его ось (прямую, соединяющую вершину конуса с центром его основания).
Так как через одну прямую в пространстве (ось конуса) можно провести бесконечное множество плоскостей, то конус имеет бесконечное множество плоскостей симметрии. Все они проходят через его вершину.
Ответ: бесконечно много.

шар
Шар обладает центральной симметрией и является наиболее симметричным из этих тел. Любая плоскость, проходящая через центр шара, является его плоскостью симметрии. Такая плоскость рассекает шар на два равных полушария.
Поскольку через одну точку в пространстве (центр шара) можно провести бесконечное множество плоскостей, шар имеет бесконечное количество плоскостей симметрии.
Ответ: бесконечно много.

937. На клетчатой бумаге несложно рисовать кубики. На рисунке 95 изображены две фигуры, которые можно составить из трёх равных кубиков при условии, что каждый из них должен иметь хотя бы одну общую грань с остальными кубиками. Назовём их трикубиками. Убедитесь, что имеется только две фигуры трикубиков. Сколько плоскостей симметрии у каждой из них?

Задача состоит из двух частей: сначала нужно доказать, что из трёх одинаковых кубиков можно составить только две уникальные фигуры (трикубика), а затем найти количество плоскостей симметрии для каждой из них.

Доказательство существования только двух фигур трикубиков

Начнём построение фигуры с двух кубиков. Чтобы они образовывали единую фигуру, их нужно соединить по одной из граней. В результате получится фигура, состоящая из двух кубиков, имеющих общую грань. Все способы такого соединения эквивалентны с точки зрения вращения, поэтому существует только одна фигура из двух кубиков.

Теперь добавим третий кубик. Его можно присоединить к любой свободной грани одного из двух уже соединённых кубиков. Рассмотрим возможные варианты:

1. Присоединение к торцевой грани. Если мы присоединим третий кубик к одной из торцевых граней фигуры из двух кубиков, мы получим прямую линию из трёх кубиков.

2. Присоединение к боковой грани. Если мы присоединим третий кубик к одной из боковых граней (не торцевой) любого из двух кубиков, мы получим фигуру в форме уголка (буквы «Г»). Все варианты присоединения к боковым граням эквивалентны и приводят к одной и той же фигуре при повороте.

Таким образом, любые возможные способы соединения трёх кубиков с соблюдением условия (каждый кубик имеет общую грань хотя бы с одним другим) приводят к одной из двух уникальных форм: прямой линии или уголку.

Плоскости симметрии для каждой фигуры

Теперь определим количество плоскостей симметрии для каждой из двух полученных фигур.

1. Фигура «прямая линия» (три кубика в ряд)

Эта фигура представляет собой прямоугольный параллелепипед с размерами $3 \times 1 \times 1$. У неё есть следующие плоскости симметрии:

- Одна плоскость, перпендикулярная длинной оси фигуры и проходящая через центр среднего кубика. Она делит фигуру на две симметричные части.

- Две плоскости, проходящие через длинную ось фигуры и параллельные граням кубиков. Одна делит фигуру на верхнюю и нижнюю половины, другая — на переднюю и заднюю.

- Две диагональные плоскости, также проходящие через длинную ось фигуры. Они проходят через диагонали квадратного сечения $1 \times 1$.

Всего получается $1 + 2 + 2 = 5$ плоскостей симметрии.

Ответ: 5.

2. Фигура «уголок» (в форме буквы «Г»)

Эта фигура составлена из центрального кубика и двух других, присоединённых к двум его смежным граням. У неё есть следующие плоскости симметрии:

- Одна плоскость, которая проходит через центры всех трёх кубиков. Она делит каждый кубик на две симметричные половины.

- Одна диагональная плоскость, которая проходит через диагональ центрального кубика и является биссектрисой прямого угла, образованного фигурой. Эта плоскость меняет местами два крайних кубика.

Всего получается $1 + 1 = 2$ плоскости симметрии.

Ответ: 2.

938. Нарисуйте все фигуры тетракубиков, полученные из четырёх кубиков по тому же правилу, что и для трикубиков. Убедитесь, что существует только восемь фигур тетракубиков. Сколько плоскостей симметрии имеет каждая из них?

Тетракубики — это фигуры, состоящие из четырёх одинаковых кубиков, соединённых целыми гранями. Правило соединения подразумевает, что кубики должны прилегать друг к другу по целой грани. Существует ровно восемь различных фигур тетракубиков, которые нельзя совместить друг с другом только вращением в трёхмерном пространстве.

Фигуры тетракубиков

Пять из восьми фигур являются «плоскими» (их можно полностью разместить в одной плоскости), а три — «пространственными». Среди пространственных фигур две являются зеркальным отражением друг друга (хиральная пара).

1. I-фигура (прямая): все четыре кубика выстроены в один ряд.

   [][][][]

2. O-фигура (квадрат): кубики образуют квадрат 2×2.

   [][]
   [][]

3. T-фигура: три кубика образуют ряд, а четвёртый присоединён к центральному кубику этого ряда.

   [][][]
   []

4. L-фигура: три кубика образуют ряд, а четвёртый присоединён сбоку к одному из крайних кубиков.

   [][][]
   []

5. S-фигура: плоская фигура, напоминающая букву S.

    [][]
   [][]

6. Z-фигура: является зеркальным отражением S-фигуры.

   [][]
   [][]

7. Правый винт: пространственная (не плоская) фигура. Её можно представить как три кубика в форме буквы «Г», к одному из крайних (не угловому) кубиков которых сверху присоединён четвёртый. Эта фигура хиральна.
8. Левый винт: также пространственная фигура, являющаяся зеркальным отражением «правого винта».

Ответ: Выше перечислены и схематически изображены все 8 фигур тетракубиков.

Плоскости симметрии каждой фигуры

Плоскость симметрии — это воображаемая плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся точными зеркальными отражениями друг друга. Подсчитаем количество таких плоскостей для каждой фигуры:

• I-фигура: имеет 5 плоскостей симметрии (три проходят через центр параллельно граням, две — по диагоналям).
• O-фигура: имеет 5 плоскостей симметрии (одна горизонтальная, две вертикальные и две диагональные).
• T-фигура: имеет 2 плоскости симметрии (одна — плоскость самой фигуры, вторая — перпендикулярна ей и делит фигуру пополам).
• L-фигура: имеет 1 плоскость симметрии (только плоскость, в которой лежит сама фигура).
• S-фигура: имеет 1 плоскость симметрии (только плоскость, в которой лежит сама фигура).
• Z-фигура: имеет 1 плоскость симметрии (только плоскость, в которой лежит сама фигура).
• Правый винт: не имеет плоскостей симметрии (количество — 0), так как является хиральной фигурой.
• Левый винт: не имеет плоскостей симметрии (количество — 0), так как является хиральной фигурой.

Ответ: Количество плоскостей симметрии: I-фигура — 5; O-фигура — 5; T-фигура — 2; L-фигура — 1; S-фигура — 1; Z-фигура — 1; правый винт — 0; левый винт — 0.

939. Имеются ли плоскости симметрии у правильной пирамиды (если да, то сколько?), если она:

а) треугольная (рис. 96);

б) шестиугольная (рис. 97)?

Рис. 96

Рис. 97

Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит геометрическое тело на две зеркально равные части. У правильной $n$-угольной пирамиды все плоскости симметрии проходят через ее высоту (ось симметрии). Количество таких плоскостей равно количеству осей симметрии у ее основания — правильного $n$-угольника.

а) треугольная (рис. 96)

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии. Каждая ось проходит через вершину треугольника и середину противоположной стороны. Следовательно, правильная треугольная пирамида имеет 3 плоскости симметрии. Каждая такая плоскость проходит через вершину пирамиды, вершину основания и середину противолежащей стороны основания (то есть через боковое ребро и апофему противоположной боковой грани).

Ответ: да, 3 плоскости симметрии.

б) шестиугольная (рис. 97)

В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Правильный шестиугольник имеет 6 осей симметрии: 3 оси проходят через противолежащие вершины, и еще 3 оси проходят через середины противолежащих сторон. Следовательно, правильная шестиугольная пирамида имеет 6 плоскостей симметрии. Три из них проходят через вершину пирамиды и пару противолежащих вершин основания, а три другие — через вершину пирамиды и середины противолежащих сторон основания.

Ответ: да, 6 плоскостей симметрии.

вильной пирамиды (если да, то сколько?),

если она:

а) треугольная (рис. 96);

б) шестиугольная (рис. 97)?

940. Петя получил записки с непонятными словами (рис. 98 и 99). Он догадался, как прочитать их с помощью зеркала. Придумайте слова, которые можно зашифровать тем же способом и прочитать с помощью зеркала.

ОРУП D UNL

Рис. 98

Рис. 99

Петя догадался, что слова зашифрованы с помощью осевой симметрии букв. Чтобы прочитать слово, нужно приставить зеркало к написанному фрагменту буквы, и в отражении появится целая буква. Существует два основных способа такого шифрования, основанных на разных типах симметрии.

Способ 1: Горизонтальная симметрия (отражение сверху вниз)

В этом случае записывается только верхняя половина буквы, имеющей горизонтальную ось симметрии. Чтобы прочитать букву, нужно приставить зеркало горизонтально под написанным фрагментом.

Для этого способа подходят заглавные буквы русского алфавита: В, Е, Ж, З, К, Н, О, С, Ф, Х, Э, Ю.

Примеры слов, которые можно так зашифровать:

1. Слово «СНЕЖОК». Оно полностью состоит из букв с горизонтальной симметрией.

2. Слово «ВОСК».

3. Слово «КОФЕ».

4. Слово «ЗОВ».

Способ 2: Вертикальная симметрия (отражение слева направо)

Записывается левая (или правая) половина буквы, имеющей вертикальную ось симметрии. Зеркало нужно приставить вертикально к прямому срезу фрагмента, чтобы увидеть целую букву. Этот способ показан на рисунке 99.

Для этого способа подходят заглавные буквы: А, Д, Ж, Л, М, Н, О, П, Т, Ф, Х, Ш.

Примеры слов, которые можно так зашифровать:

1. Слово-палиндром «ШАЛАШ». Все его буквы имеют вертикальную симметрию.

2. Слово «ПОТОП».

3. Слово «АТОМ».

4. Слово «МОХ».

Некоторые буквы, например Ж, Н, О, Ф, Х, обладают обоими видами симметрии, поэтому их можно зашифровать любым из двух способов.

Ответ: Примеры слов, которые можно зашифровать таким же способом: СНЕЖОК, ВОСК, КОФЕ, ЗОВ (используя горизонтальную симметрию); ШАЛАШ, ПОТОП, АТОМ, МОХ (используя вертикальную симметрию).