Номер 937, страница 183 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 4. Фигуры в пространстве, симметричные относительно плоскости. Глава 4. Десятичные дроби - номер 937, страница 183.

Условие.

937. На клетчатой бумаге несложно рисовать кубики. На рисунке 95 изображены две фигуры, которые можно составить из трёх равных кубиков при условии, что каждый из них должен иметь хотя бы одну общую грань с остальными кубиками. Назовём их трикубиками. Убедитесь, что имеется только две фигуры трикубиков. Сколько плоскостей симметрии у каждой из них?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно доказать, что из трёх одинаковых кубиков можно составить только две уникальные фигуры (трикубика), а затем найти количество плоскостей симметрии для каждой из них.

Доказательство существования только двух фигур трикубиков

Начнём построение фигуры с двух кубиков. Чтобы они образовывали единую фигуру, их нужно соединить по одной из граней. В результате получится фигура, состоящая из двух кубиков, имеющих общую грань. Все способы такого соединения эквивалентны с точки зрения вращения, поэтому существует только одна фигура из двух кубиков.

Теперь добавим третий кубик. Его можно присоединить к любой свободной грани одного из двух уже соединённых кубиков. Рассмотрим возможные варианты:

1. Присоединение к торцевой грани. Если мы присоединим третий кубик к одной из торцевых граней фигуры из двух кубиков, мы получим прямую линию из трёх кубиков.

2. Присоединение к боковой грани. Если мы присоединим третий кубик к одной из боковых граней (не торцевой) любого из двух кубиков, мы получим фигуру в форме уголка (буквы «Г»). Все варианты присоединения к боковым граням эквивалентны и приводят к одной и той же фигуре при повороте.

Таким образом, любые возможные способы соединения трёх кубиков с соблюдением условия (каждый кубик имеет общую грань хотя бы с одним другим) приводят к одной из двух уникальных форм: прямой линии или уголку.

Плоскости симметрии для каждой фигуры

Теперь определим количество плоскостей симметрии для каждой из двух полученных фигур.

1. Фигура «прямая линия» (три кубика в ряд)

Эта фигура представляет собой прямоугольный параллелепипед с размерами $3 \times 1 \times 1$. У неё есть следующие плоскости симметрии:

- Одна плоскость, перпендикулярная длинной оси фигуры и проходящая через центр среднего кубика. Она делит фигуру на две симметричные части.

- Две плоскости, проходящие через длинную ось фигуры и параллельные граням кубиков. Одна делит фигуру на верхнюю и нижнюю половины, другая — на переднюю и заднюю.

- Две диагональные плоскости, также проходящие через длинную ось фигуры. Они проходят через диагонали квадратного сечения $1 \times 1$.

Всего получается $1 + 2 + 2 = 5$ плоскостей симметрии.

Ответ: 5.

2. Фигура «уголок» (в форме буквы «Г»)

Эта фигура составлена из центрального кубика и двух других, присоединённых к двум его смежным граням. У неё есть следующие плоскости симметрии:

- Одна плоскость, которая проходит через центры всех трёх кубиков. Она делит каждый кубик на две симметричные половины.

- Одна диагональная плоскость, которая проходит через диагональ центрального кубика и является биссектрисой прямого угла, образованного фигурой. Эта плоскость меняет местами два крайних кубика.

Всего получается $1 + 1 = 2$ плоскости симметрии.

Ответ: 2.