Страница 187 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

948. В школе 20 классов. В ближайшем к школе доме живут 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них обязательно найдутся хотя бы два одноклассника?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле. Этот принцип утверждает, что если у нас есть $N$ объектов, которые нужно разместить в $M$ контейнерах, и количество объектов больше количества контейнеров ($N > M$), то по крайней мере в одном контейнере окажется больше одного объекта.

В данном случае:
- "Объектами" являются ученики, их количество $N = 23$.
- "Контейнерами" являются классы, их количество $M = 20$.

Сравнивая количество учеников и классов, мы видим, что $23 > 20$. Так как учеников больше, чем классов, то согласно принципу Дирихле, обязательно найдется хотя бы один класс, в котором учится более одного ученика из этого дома.

Рассмотрим эту ситуацию с другой стороны, методом "от противного". Предположим, что в доме не живет ни одной пары одноклассников. Это бы означало, что в каждом из 20 классов учится не более одного ученика из этого дома. В таком случае, максимальное количество учеников из этого дома могло бы быть равно количеству классов, то есть 20.

Однако по условию в доме живут 23 ученика, а $23 > 20$. Это создает противоречие с нашим предположением. Следовательно, наше предположение неверно, и среди 23 учеников обязательно найдутся как минимум двое, которые учатся в одном классе.

Ответ: Да, можно утверждать, что среди 23 учеников, живущих в ближайшем к школе доме, обязательно найдутся хотя бы два одноклассника.

949. В школе учится 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся найдутся хотя бы два ученика, празднующие свой день рождения в один и тот же день.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле. Этот принцип гласит, что если необходимо разместить $N$ объектов в $M$ контейнерах, и при этом количество объектов $N$ больше количества контейнеров $M$ ($N > M$), то по крайней мере в одном контейнере окажется более одного объекта.

В данной задаче объектами являются ученики, а контейнерами — дни года, в которые они могли родиться.

1. Количество учеников (объектов): По условию задачи, в школе учится 370 человек. Таким образом, $N = 370$.

2. Количество дней в году (контейнеров): В обычном году 365 дней, а в високосном — 366 дней. Чтобы гарантировать утверждение для любого года, мы должны рассмотреть наихудший случай, то есть максимальное возможное количество дней для дня рождения. Максимальное количество дней в году — 366. Таким образом, $M = 366$.

3. Применение принципа Дирихле: Сравним количество учеников с количеством дней в году: $N = 370$ и $M = 366$.

Мы видим, что $370 > 366$, то есть количество учеников превышает количество возможных дней для рождения в году.

Даже если мы предположим, что первые 366 учеников родились в разные дни года (заняв все "контейнеры"), то для 367-го, 368-го, 369-го и 370-го учеников уже не останется уникального дня рождения. Их дни рождения обязательно совпадут с днями рождения кого-то из первых 366 учеников.

Следовательно, по принципу Дирихле, обязательно найдется хотя бы один день в году, в который празднуют свой день рождения как минимум два ученика.

Ответ: Утверждение доказано, так как число учащихся (370) больше максимального числа дней в году (366).

950. Коля подсчитал, что на завтрак, обед и ужин он съел 10 конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше четырёх конфет.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом «от противного».

Предположим обратное: пусть за каждый приём пищи (завтрак, обед и ужин) Коля съедал меньше четырёх конфет.

Если количество съеденных конфет меньше 4, то максимальное целое число конфет, которое он мог съесть за один раз, равно 3.

Всего было 3 приёма пищи. Найдём максимальное общее количество конфет, которое Коля мог съесть при нашем предположении:
$3 \text{ конфеты (макс. за завтрак)} + 3 \text{ конфеты (макс. за обед)} + 3 \text{ конфеты (макс. за ужин)} = 9 \text{ конфет}$

Таким образом, если бы Коля каждый раз съедал меньше четырёх конфет, то в сумме он съел бы не более 9 конфет.

Однако по условию задачи он съел 10 конфет. Мы получили противоречие, так как $9 < 10$.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, верно исходное утверждение: хотя бы один раз Коля съел не меньше четырёх конфет.
Ответ: Утверждение доказано методом от противного. Если бы каждый раз он съедал не более 3 конфет, то в сумме съел бы не более $3 \times 3 = 9$ конфет, что противоречит условию (10 конфет).

951. В классе 37 человек. Докажите, что из них найдутся хотя бы 4 человека, родившиеся в один месяц.

Для решения этой задачи применяется принцип Дирихле. В данном случае "голубями" являются 37 учеников класса, а "клетками" — 12 месяцев года. Нам нужно доказать, что хотя бы в одной "клетке" окажется не менее 4 "голубей".

Доказательство можно провести методом от противного.

Предположим, что утверждение неверно, то есть не найдется 4 человека, родившихся в один месяц. Это означает, что в каждом месяце родилось не более 3 человек.

В году 12 месяцев. Если в каждом из них родилось не более 3 человек, то максимальное возможное количество учеников в классе составляет:
$12 \times 3 = 36$ человек.

Однако по условию в классе 37 человек, что противоречит нашему предположению, так как:
$37 > 36$

Следовательно, наше предположение было неверным, и обязательно найдется месяц, в котором родились по крайней мере 4 человека.

Ответ: Утверждение доказано. В классе из 37 человек найдется хотя бы 4 человека, родившихся в один месяц.

952. В коллекции имеется 25 монет по 1, 2, 3 и 5 копеек. Есть ли среди них 7 монет одинакового достоинства?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле. В коллекции есть монеты $4$-х различных достоинств (номиналов): $1$, $2$, $3$ и $5$ копеек. Общее количество монет — $25$.

Допустим, что ни одного из номиналов нет $7$ монет. Это значит, что количество монет каждого достоинства не превышает $6$.

В таком случае, посчитаем максимальное возможное количество монет в коллекции при данном предположении. Поскольку у нас $4$ вида монет, и каждого вида не более $6$ штук, то максимальное общее количество монет будет:

$4 \times 6 = 24$ монеты.

Однако по условию задачи в коллекции имеется $25$ монет. Мы получили противоречие, так как $25 > 24$.

Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным, и обязательно найдётся хотя бы один номинал, которому соответствует не менее $7$ монет.

Ответ: Да, среди них обязательно есть 7 монет одинакового достоинства.

953. Учительница объявила результаты диктанта. Больше всего ошибок было у Пети — 13. Докажите, что среди 28 учащихся, допустивших ошибки, найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.

Для решения этой задачи используется принцип Дирихле.

Согласно условию, 28 учащихся допустили ошибки. Максимальное количество ошибок у одного ученика (Пети) — 13. Так как речь идет об учениках, допустивших ошибки, то минимальное количество ошибок у каждого из них — 1.

Следовательно, количество ошибок, которое мог сделать каждый из 28 учеников, является целым числом в диапазоне от 1 до 13 включительно.

Таким образом, у нас есть 13 возможных вариантов количества ошибок: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Будем доказывать утверждение методом от противного. Предположим, что не существует 3 учеников с одинаковым числом ошибок. Это означает, что для каждого из 13 возможных вариантов количества ошибок его сделали не более 2 учеников.

В этом случае, мы можем рассчитать максимальное количество учеников, которые могли допустить ошибки. Если для каждого из 13 вариантов количества ошибок у нас не более 2 учеников, то максимальное общее число учеников будет:$13 \times 2 = 26$ учеников.

Однако по условию задачи ошибки допустили 28 учеников. Мы получили противоречие, так как $28 > 26$.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, как минимум для одного из вариантов количества ошибок должно быть 3 или более ученика.

Ответ: Утверждение доказано. Среди 28 учащихся, допустивших ошибки, обязательно найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.

954. За 3 года Вася стал старше на 25 %. Сколько теперь Васе лет?

Пусть $x$ — это возраст Васи 3 года назад.

За 3 года его возраст увеличился на 3 года. По условию, это увеличение составляет 25% от его возраста $x$.

Выразим 25% в виде десятичной дроби: $25\% = 0.25$.

Составим уравнение, чтобы найти возраст Васи 3 года назад:

$0.25 \cdot x = 3$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{3}{0.25}$

$x = 12$

Значит, 3 года назад Васе было 12 лет.

Чтобы найти, сколько Васе лет сейчас (теперь), нужно к его возрасту 3 года назад прибавить 3 года:

$12 + 3 = 15$ лет.

Ответ: 15 лет.

955. a) Сейчас Ваня на 20 % старше, чем 2 года назад. Сколько теперь Ване лет?

б) Два года назад Маша была на 20 % моложе, чем сейчас. Сколько лет Маше сейчас?

а)

Пусть $x$ — это нынешний возраст Вани. Тогда 2 года назад ему было $x - 2$ лет. По условию, сейчас Ваня на 20% старше, чем 2 года назад. Увеличение на 20% равносильно умножению на 1,2 (так как $100\% + 20\% = 120\% = 1,2$). Составим и решим уравнение:

$x = 1,2 \cdot (x - 2)$

$x = 1,2x - 2,4$

$2,4 = 1,2x - x$

$0,2x = 2,4$

$x = \frac{2,4}{0,2}$

$x = 12$

Проверка: Сейчас Ване 12 лет, два года назад было 10 лет. Разница в возрасте составляет $12 - 10 = 2$ года. Процентное увеличение: $(\frac{2}{10}) \cdot 100\% = 20\%$. Условие выполняется.

Ответ: 12 лет.

б)

Пусть $y$ — это нынешний возраст Маши. Тогда 2 года назад ей было $y - 2$ лет. По условию, два года назад Маша была на 20% моложе, чем сейчас. Это означает, что ее возраст два года назад составлял $100\% - 20\% = 80\%$ от ее нынешнего возраста. 80% в виде десятичной дроби — это 0,8. Составим и решим уравнение:

$y - 2 = 0,8 \cdot y$

$y - 0,8y = 2$

$0,2y = 2$

$y = \frac{2}{0,2}$

$y = 10$

Проверка: Сейчас Маше 10 лет, два года назад было 8 лет. Возраст 8 лет составляет $(\frac{8}{10}) \cdot 100\% = 80\%$ от нынешнего возраста, то есть на $100\% - 80\% = 20\%$ меньше. Условие выполняется.

Ответ: 10 лет.