Страница 194 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

972. Как можно записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде бесконечной периодической десятичной дроби? Приведите примеры.

Как можно записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде бесконечной периодической десятичной дроби?

Любое натуральное число или конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби двумя основными способами.

Способ 1: с периодом 0.
К записи числа (справа после десятичной запятой) нужно дописать бесконечное количество нулей. Периодом в этом случае будет 0.

Способ 2: с периодом 9.
Нужно уменьшить последнюю значащую цифру числа на единицу, а после нее дописать бесконечное количество девяток. Периодом в этом случае будет 9.

Ответ: Чтобы записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде бесконечной периодической десятичной дроби, можно либо дописать в конце числа бесконечную последовательность нулей (получив период 0), либо уменьшить последнюю значащую цифру числа на 1 и дописать после неё бесконечную последовательность девяток (получив период 9).

Приведите примеры.

1. Натуральное число 8:
Первый способ: $8 = 8.000... = 8.(0)$
Второй способ: $8 = 7.999... = 7.(9)$
Ответ: $8 = 8.(0)$ или $8 = 7.(9)$.

2. Конечная десятичная дробь 3,5:
Первый способ: $3.5 = 3.5000... = 3.5(0)$
Второй способ: $3.5 = 3.4999... = 3.4(9)$
Ответ: $3.5 = 3.5(0)$ или $3.4(9)$.

3. Конечная десятичная дробь 0,42:
Первый способ: $0.42 = 0.42000... = 0.42(0)$
Второй способ: $0.42 = 0.41999... = 0.41(9)$
Ответ: $0.42 = 0.42(0)$ или $0.41(9)$.

973. Запишите число в виде периодической дроби, назовите её пе-риод:

а) $\frac{1}{3}$;

б) $\frac{2}{9}$;

в) $\frac{12}{5}$;

г) $12$;

д) $\frac{24}{30}$;

е) $\frac{36}{48}$;

ж) $\frac{4}{7}$;

з) $\frac{45}{63}$;

и) $\frac{1}{6}$;

к) $\frac{2}{6}$;

л) $\frac{3}{6}$;

м) $\frac{4}{6}$;

н) $\frac{20}{41}$;

о) $\frac{15}{37}$;

п) $\frac{5}{21}$.

а) Чтобы записать дробь $\frac{1}{3}$ в виде периодической, разделим числитель на знаменатель: $1 \div 3 = 0,333...$. Повторяющаяся цифра 3 является периодом.
Ответ: $0,(3)$, период: 3.

б) Разделим числитель на знаменатель: $2 \div 9 = 0,222...$. Повторяющаяся цифра 2 является периодом.
Ответ: $0,(2)$, период: 2.

в) Разделим числитель на знаменатель: $12 \div 5 = 2,4$. Это конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде периодической с периодом 0. $2,4 = 2,4000... = 2,4(0)$.
Ответ: $2,4(0)$, период: 0.

г) Целое число 12 можно представить в виде десятичной дроби как 12,0. Запишем ее как периодическую дробь с периодом 0. $12 = 12,000... = 12,(0)$.
Ответ: $12,(0)$, период: 0.

д) Сначала сократим дробь: $\frac{24}{30} = \frac{4}{5}$. Теперь преобразуем ее в десятичную: $4 \div 5 = 0,8$. Это конечная десятичная дробь, которую можно записать с периодом 0. $0,8 = 0,8000... = 0,8(0)$.
Ответ: $0,8(0)$, период: 0.

е) Сначала сократим дробь: $\frac{36}{48} = \frac{3}{4}$. Теперь преобразуем ее в десятичную: $3 \div 4 = 0,75$. Это конечная десятичная дробь, которую можно записать с периодом 0. $0,75 = 0,75000... = 0,75(0)$.
Ответ: $0,75(0)$, период: 0.

ж) Разделим числитель на знаменатель: $4 \div 7 = 0,571428571428...$. Группа цифр 571428 повторяется, это и есть период.
Ответ: $0,(571428)$, период: 571428.

з) Сначала сократим дробь: $\frac{45}{63} = \frac{5}{7}$. Разделим числитель на знаменатель: $5 \div 7 = 0,714285714285...$. Группа цифр 714285 является периодом.
Ответ: $0,(714285)$, период: 714285.

и) Разделим числитель на знаменатель: $1 \div 6 = 0,1666...$. Цифра 1 не повторяется, а цифра 6 повторяется бесконечно. Это смешанная периодическая дробь.
Ответ: $0,1(6)$, период: 6.

к) Сначала сократим дробь: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Эта дробь совпадает с пунктом а). $1 \div 3 = 0,333...$
Ответ: $0,(3)$, период: 3.

л) Сначала сократим дробь: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Преобразуем в десятичную дробь: $1 \div 2 = 0,5$. Это конечная десятичная дробь, которую можно записать с периодом 0. $0,5 = 0,5000... = 0,5(0)$.
Ответ: $0,5(0)$, период: 0.

м) Сначала сократим дробь: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Разделим числитель на знаменатель: $2 \div 3 = 0,666...$.
Ответ: $0,(6)$, период: 6.

н) Разделим числитель на знаменатель: $20 \div 41 = 0,4878048780...$. Группа цифр 48780 является периодом.
Ответ: $0,(48780)$, период: 48780.

о) Разделим числитель на знаменатель: $15 \div 37 = 0,405405...$. Группа цифр 405 является периодом.
Ответ: $0,(405)$, период: 405.

п) Разделим числитель на знаменатель: $5 \div 21 = 0,238095238095...$. Группа цифр 238095 является периодом.
Ответ: $0,(238095)$, период: 238095.

974. Разложите обыкновенную дробь в периодическую делением числителя на знаменатель уголком:

а) $\frac{1}{9}$;

б) $\frac{2}{9}$;

в) $\frac{3}{9}$;

г) $\frac{4}{9}$.

а) Чтобы разложить дробь $ \frac{1}{9} $ в периодическую, выполним деление числителя 1 на знаменатель 9 уголком.

Так как 1 меньше 9, то целая часть частного будет равна 0. Ставим запятую после нуля. Далее к 1 приписываем 0 и делим 10 на 9. Получаем 1 в частном и 1 в остатке. Снова приписываем к остатку 0 и делим 10 на 9. Опять получаем 1 в частном и 1 в остатке. Этот процесс будет продолжаться бесконечно, и мы будем постоянно получать в частном цифру 1. Таким образом, мы получаем периодическую десятичную дробь.

$ \frac{1}{9} = 1 \div 9 = 0,111... = 0,(1) $

Ответ: $0,(1)$

б) Выполним деление числителя 2 на знаменатель 9 уголком.

Целая часть частного равна 0. Ставим запятую. Приписываем к 2 ноль, получаем 20. Делим 20 на 9, получаем 2 в частном и 2 в остатке ($ 9 \cdot 2 = 18; 20 - 18 = 2 $). Снова к остатку 2 приписываем 0, получаем 20, и деление повторяется. Следовательно, в частном будет бесконечно повторяться цифра 2.

$ \frac{2}{9} = 2 \div 9 = 0,222... = 0,(2) $

Ответ: $0,(2)$

в) Выполним деление числителя 3 на знаменатель 9 уголком.

Целая часть частного равна 0. Ставим запятую. Приписываем к 3 ноль, получаем 30. Делим 30 на 9, получаем 3 в частном и 3 в остатке ($ 9 \cdot 3 = 27; 30 - 27 = 3 $). Снова к остатку 3 приписываем 0, получаем 30, и деление повторяется. Следовательно, в частном будет бесконечно повторяться цифра 3.

$ \frac{3}{9} = 3 \div 9 = 0,333... = 0,(3) $

Ответ: $0,(3)$

г) Выполним деление числителя 4 на знаменатель 9 уголком.

Целая часть частного равна 0. Ставим запятую. Приписываем к 4 ноль, получаем 40. Делим 40 на 9, получаем 4 в частном и 4 в остатке ($ 9 \cdot 4 = 36; 40 - 36 = 4 $). Снова к остатку 4 приписываем 0, получаем 40, и деление повторяется. Следовательно, в частном будет бесконечно повторяться цифра 4.

$ \frac{4}{9} = 4 \div 9 = 0,444... = 0,(4) $

Ответ: $0,(4)$

975. Разложите обыкновенную дробь в периодическую:

а) $\frac{5}{9}$;

б) $\frac{6}{9}$;

в) $\frac{7}{9}$;

г) $\frac{8}{9}$.

а) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{5}{9}$ в периодическую, необходимо разделить числитель 5 на знаменатель 9.
Выполним деление столбиком:
$5 \div 9 = 0$ (целая часть) и 5 в остатке.
Добавляем ноль, получаем 50. Делим 50 на 9, получаем 5 и 5 в остатке ($9 \times 5 = 45$, $50 - 45 = 5$).
Снова добавляем ноль, получаем 50. Делим 50 на 9, снова получаем 5 и 5 в остатке.
Этот процесс будет продолжаться бесконечно, и в частном мы будем получать повторяющуюся цифру 5.
Следовательно, дробь $\frac{5}{9}$ в виде периодической дроби записывается как $0,555...$ или $0,(5)$.
Ответ: $0,(5)$.

б) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{6}{9}$ в периодическую, разделим числитель 6 на знаменатель 9.
Предварительно можно сократить дробь: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Теперь выполним деление 2 на 3 столбиком:
$2 \div 3 = 0$ (целая часть) и 2 в остатке.
Добавляем ноль, получаем 20. Делим 20 на 3, получаем 6 и 2 в остатке ($3 \times 6 = 18$, $20 - 18 = 2$).
Снова добавляем ноль, получаем 20. Делим 20 на 3, снова получаем 6 и 2 в остатке.
Процесс деления приводит к бесконечному повторению цифры 6 в частном.
Следовательно, дробь $\frac{6}{9}$ в виде периодической дроби записывается как $0,666...$ или $0,(6)$.
Ответ: $0,(6)$.

в) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{7}{9}$ в периодическую, необходимо разделить числитель 7 на знаменатель 9.
Выполним деление столбиком:
$7 \div 9 = 0$ (целая часть) и 7 в остатке.
Добавляем ноль, получаем 70. Делим 70 на 9, получаем 7 и 7 в остатке ($9 \times 7 = 63$, $70 - 63 = 7$).
Снова добавляем ноль, получаем 70. Делим 70 на 9, снова получаем 7 и 7 в остатке.
Этот процесс будет продолжаться бесконечно, и в частном мы будем получать повторяющуюся цифру 7.
Следовательно, дробь $\frac{7}{9}$ в виде периодической дроби записывается как $0,777...$ или $0,(7)$.
Ответ: $0,(7)$.

г) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{8}{9}$ в периодическую, необходимо разделить числитель 8 на знаменатель 9.
Выполним деление столбиком:
$8 \div 9 = 0$ (целая часть) и 8 в остатке.
Добавляем ноль, получаем 80. Делим 80 на 9, получаем 8 и 8 в остатке ($9 \times 8 = 72$, $80 - 72 = 8$).
Снова добавляем ноль, получаем 80. Делим 80 на 9, снова получаем 8 и 8 в остатке.
Этот процесс будет продолжаться бесконечно, и в частном мы будем получать повторяющуюся цифру 8.
Следовательно, дробь $\frac{8}{9}$ в виде периодической дроби записывается как $0,888...$ или $0,(8)$.
Ответ: $0,(8)$.

976. Разложите обыкновенную дробь в десятичную и назовите её период:

а) $\frac{12}{99}$;

б) $\frac{23}{99}$;

в) $\frac{34}{99}$;

г) $\frac{45}{99}$.

Для преобразования обыкновенной дроби в десятичную необходимо разделить ее числитель на знаменатель. В случае, когда знаменатель равен 99, результатом деления будет чистая периодическая десятичная дробь, периодом которой является двузначное число, стоящее в числителе.

а) Чтобы разложить дробь $\frac{12}{99}$ в десятичную, разделим числитель $12$ на знаменатель $99$.
$12 \div 99 = 0,121212...$
Получили чистую периодическую десятичную дробь. Повторяющаяся группа цифр после запятой называется периодом. В данном случае это $12$.
Запись в виде периодической дроби: $0,(12)$.
Ответ: $0,(12)$, период $12$.

б) Разложим дробь $\frac{23}{99}$ в десятичную, разделив $23$ на $99$.
$23 \div 99 = 0,232323...$
Это чистая периодическая десятичная дробь. Период дроби — $23$.
Запись в виде периодической дроби: $0,(23)$.
Ответ: $0,(23)$, период $23$.

в) Разложим дробь $\frac{34}{99}$ в десятичную, разделив $34$ на $99$.
$34 \div 99 = 0,343434...$
Это чистая периодическая десятичная дробь. Период дроби — $34$.
Запись в виде периодической дроби: $0,(34)$.
Ответ: $0,(34)$, период $34$.

г) Разложим дробь $\frac{45}{99}$ в десятичную, разделив $45$ на $99$.
$45 \div 99 = 0,454545...$
Это чистая периодическая десятичная дробь. Период дроби — $45$.
Запись в виде периодической дроби: $0,(45)$.
Примечание: эту дробь можно сократить на $9$: $\frac{45}{99} = \frac{5}{11}$. Деление $5$ на $11$ дает тот же результат.
Ответ: $0,(45)$, период $45$.

977. Разложите обыкновенную дробь в периодическую:

а) $\frac{56}{99}$;

б) $\frac{67}{99}$;

в) $\frac{78}{99}$;

г) $\frac{89}{99}$.

Для преобразования обыкновенной дроби в периодическую десятичную, когда знаменатель представляет собой число, состоящее только из девяток (например, 9, 99, 999 и т.д.), существует простое правило. Если дробь имеет вид $\frac{A}{\underbrace{99...9}_{n}}$ и числитель $A$ является целым числом, меньшим знаменателя, то такая дробь преобразуется в чистую периодическую десятичную дробь $0,(A')$. Здесь $A'$ — это запись числа $A$ с помощью $n$ цифр (при необходимости с добавлением нулей в начале). В данном задании во всех случаях знаменатель равен 99, то есть состоит из двух девяток ($n=2$), поэтому период десятичной дроби будет состоять из двух цифр, равных соответствующему числителю.

а) Для дроби $\frac{56}{99}$ знаменатель состоит из двух девяток, а числитель — двузначное число 56. Применяя указанное правило, получаем, что период дроби будет равен 56.

$\frac{56}{99} = 0,565656... = 0,(56)$

Ответ: $0,(56)$

б) Для дроби $\frac{67}{99}$ знаменатель — 99, а числитель — 67. Период дроби будет состоять из двух цифр и будет равен 67.

$\frac{67}{99} = 0,676767... = 0,(67)$

Ответ: $0,(67)$

в) Для дроби $\frac{78}{99}$ знаменатель — 99, а числитель — 78. Аналогично предыдущим пунктам, период дроби будет равен 78.

$\frac{78}{99} = 0,787878... = 0,(78)$

Ответ: $0,(78)$

г) Для дроби $\frac{89}{99}$ знаменатель — 99, а числитель — 89. Период дроби будет равен 89.

$\frac{89}{99} = 0,898989... = 0,(89)$

Ответ: $0,(89)$

978. Используя предыдущие задания, запишите периодическую дробь в виде обыкновенной:

а) $0.\overline{1}$;

б) $0.\overline{3}$;

в) $0.\overline{5}$;

г) $0.\overline{7}$;

д) $0.\overline{25}$;

е) $0.\overline{37}$;

ж) $0.\overline{10}$;

з) $0.\overline{05}$.

Для того чтобы преобразовать чистую периодическую десятичную дробь в обыкновенную, необходимо воспользоваться следующим правилом, которое, вероятно, было выведено в предыдущих заданиях: в числитель обыкновенной дроби нужно поставить число, стоящее в периоде, а в знаменатель — число, состоящее из такого количества девяток, сколько цифр в периоде.

а) В дроби $0,(1)$ в периоде одна цифра — 1. Следовательно, в числителе будет 1, а в знаменателе одна девятка.
$0,(1) = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

б) В дроби $0,(3)$ в периоде одна цифра — 3. Следовательно, в числителе будет 3, а в знаменателе одна девятка. Полученную дробь можно сократить.
$0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) В дроби $0,(5)$ в периоде одна цифра — 5. Следовательно, в числителе будет 5, а в знаменателе одна девятка.
$0,(5) = \frac{5}{9}$
Ответ: $\frac{5}{9}$

г) В дроби $0,(7)$ в периоде одна цифра — 7. Следовательно, в числителе будет 7, а в знаменателе одна девятка.
$0,(7) = \frac{7}{9}$
Ответ: $\frac{7}{9}$

д) В дроби $0,(25)$ в периоде две цифры — 25. Следовательно, в числителе будет 25, а в знаменателе две девятки, то есть 99.
$0,(25) = \frac{25}{99}$
Ответ: $\frac{25}{99}$

е) В дроби $0,(37)$ в периоде две цифры — 37. Следовательно, в числителе будет 37, а в знаменателе две девятки, то есть 99.
$0,(37) = \frac{37}{99}$
Ответ: $\frac{37}{99}$

ж) В дроби $0,(10)$ в периоде две цифры — 10. Следовательно, в числителе будет 10, а в знаменателе две девятки, то есть 99.
$0,(10) = \frac{10}{99}$
Ответ: $\frac{10}{99}$

з) В дроби $0,(05)$ в периоде две цифры — 05, то есть 5. Следовательно, в числителе будет 5, а в знаменателе две девятки, то есть 99.
$0,(05) = \frac{5}{99}$
Ответ: $\frac{5}{99}$

979. a) Запишите три любые обыкновенные дроби со знаменателем 999 в виде периодических десятичных дробей.

б) Запишите три любые периодические десятичные дроби с периодом, состоящим из трёх цифр, в виде обыкновенных дробей.

а) Чтобы записать обыкновенную дробь со знаменателем 999 в виде периодической десятичной дроби, нужно числитель этой дроби записать в виде трёхзначного числа (добавив при необходимости нули впереди) и сделать это число периодом десятичной дроби. Возьмем три произвольные дроби со знаменателем 999.

1. Дробь $\frac{123}{999}$. Числитель 123 становится периодом.
$\frac{123}{999} = 0.123123... = 0.(123)$

2. Дробь $\frac{45}{999}$. Числитель 45 записываем как 045, и это будет период.
$\frac{45}{999} = 0.045045... = 0.(045)$

3. Дробь $\frac{7}{999}$. Числитель 7 записываем как 007, и это будет период.
$\frac{7}{999} = 0.007007... = 0.(007)$

Ответ: $\frac{123}{999} = 0.(123)$; $\frac{45}{999} = 0.(045)$; $\frac{7}{999} = 0.(007)$.

б) Чтобы записать периодическую десятичную дробь с периодом из трёх цифр в виде обыкновенной дроби, нужно число из периода записать в числитель, а в знаменатель записать число 999. Затем, если возможно, сократить полученную дробь. Возьмем три произвольные периодические дроби с трехзначным периодом.

1. Дробь $0.(246)$. Период равен 246.
$0.(246) = \frac{246}{999}$. Сумма цифр числителя ($2+4+6=12$) и знаменателя ($9+9+9=27$) делится на 3, значит дробь можно сократить на 3.
$\frac{246 : 3}{999 : 3} = \frac{82}{333}$

2. Дробь $0.(013)$. Период равен 13.
$0.(013) = \frac{13}{999}$. Эта дробь несократимая.

3. Дробь $0.(500)$. Период равен 500.
$0.(500) = \frac{500}{999}$. Эта дробь несократимая.

Ответ: $0.(246) = \frac{82}{333}$; $0.(013) = \frac{13}{999}$; $0.(500) = \frac{500}{999}$.