Страница 199 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1986. Какое число называют:

а) рациональным;

б) иррациональным;

в) действительным?

а) рациональным

Рациональным числом называют любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).
Любое целое число, конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом.
Например, числа $7$, $-3$, $\frac{2}{5}$, $0,8$, $0,(6)$ являются рациональными, так как их можно представить в виде дроби: $7 = \frac{7}{1}$, $-3 = \frac{-3}{1}$, $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$, $0,(6) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Ответ: Число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

б) иррациональным

Иррациональным числом называют число, которое не является рациональным, то есть его невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$ и $n \in \mathbb{N}$.
Иррациональные числа выражаются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.
Примерами иррациональных чисел являются корень из двух $\sqrt{2} \approx 1,41421356...$, число пи $\pi \approx 3,14159265...$, число Эйлера $e \approx 2,71828182...$.
Ответ: Число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

в) действительным

Действительным (или вещественным) числом называют любое рациональное или иррациональное число.
Множество действительных чисел, обозначаемое $\mathbb{R}$, является объединением множества рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и множества иррациональных чисел ($\mathbb{I}$).
Геометрически действительные числа можно представить как точки на бесконечной прямой, которая называется числовой осью. Каждому действительному числу соответствует единственная точка на этой оси, и наоборот.
Ответ: Любое рациональное или иррациональное число.

987. Любое ли иррациональное число является действительным?

Да, любое иррациональное число является действительным. Это утверждение следует непосредственно из определения множества действительных чисел.

Множество действительных чисел (также называемых вещественными), обозначаемое символом $\mathbb{R}$, представляет собой объединение двух непересекающихся подмножеств: множества рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и множества иррациональных чисел ($\mathbb{I}$).

• Рациональные числа ($\mathbb{Q}$) — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Примеры: $5$, $-0.25$, $\frac{2}{7}$.
• Иррациональные числа ($\mathbb{I}$) — это числа, которые нельзя представить в виде такой дроби. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Примеры: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$.

Таким образом, множество иррациональных чисел является неотъемлемой частью множества действительных чисел. Любое число, которое мы можем отметить на числовой прямой, является действительным, и иррациональные числа (как и рациональные) занимают на ней свои места. Математически взаимосвязь этих множеств выражается формулой: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$. Это означает, что множество действительных чисел состоит из всех рациональных и всех иррациональных чисел. Следовательно, каждое иррациональное число по определению входит в множество действительных чисел.

Ответ: Да.

988. Придумайте какие-нибудь пять бесконечных непериодических дробей (иррациональных чисел).

Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Десятичное представление иррационального числа является бесконечной непериодической дробью.

Ниже приведены пять примеров таких чисел.

1. Число $\pi$ (пи)

Это одна из самых известных математических констант. Она определяется как отношение длины окружности к её диаметру. Число $\pi$ является иррациональным и трансцендентным.

$\pi \approx 3,1415926535...$

Ответ: $3,1415926535...$

2. Число $e$ (число Эйлера)

Это основание натурального логарифма, еще одна фундаментальная математическая константа. Оно также иррационально и трансцендентно.

$e \approx 2,7182818284...$

Ответ: $2,7182818284...$

3. Квадратный корень из 2

Корень из любого натурального числа, которое не является полным квадратом, является иррациональным числом. Самый известный пример — $\sqrt{2}$.

$\sqrt{2} \approx 1,4142135623...$

Ответ: $1,4142135623...$

4. Константа Лиувилля

Это число можно сконструировать специально, чтобы оно было иррациональным. Оно строится по определённому правилу: на $n$-ом месте после запятой стоит 1, если $n$ является факториалом ($n=k!$), и 0 в противном случае.

$L = 0,1100010000000000000000010...$ (единицы на позициях 1, 2, 6, 24, ...)

Можно придумать более простой для записи вариант, например, где количество нулей между единицами постоянно увеличивается:

$0,101001000100001...$

Ответ: $0,101001000100001...$

5. Константа Чемперноуна

Это число получается, если выписать подряд все натуральные числа после запятой.

$C_{10} = 0,123456789101112131415...$

Такая последовательность цифр никогда не станет периодической, поэтому число является иррациональным.

Ответ: $0,123456789101112...$

989. Существует ли рациональное число, равное бесконечной непериодической дроби?

Нет, такого рационального числа не существует. Разберем почему.

1. Определение рационального числа. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

2. Десятичное представление рационального числа. Если мы попытаемся представить любую рациональную дробь $m/n$ в виде десятичной дроби (путем деления числителя на знаменатель столбиком), мы получим один из двух результатов:

• Конечная десятичная дробь. Это происходит, когда на каком-то шаге деления остаток становится равным нулю. Например, $3/4 = 0.75$.
• Бесконечная периодическая десятичная дробь. Это происходит, когда остаток от деления никогда не становится равным нулю. Поскольку при делении на число $n$ возможных ненулевых остатков конечное число (а именно $n-1$ вариантов: $1, 2, ..., n-1$), то на каком-то шаге один из остатков обязательно повторится. С этого момента последовательность цифр в частном также начнет повторяться, образуя период. Например, $1/3 = 0.333... = 0.(3)$ или $1/7 = 0.142857142857... = 0.(142857)$.

Таким образом, любое рациональное число представляется либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

3. Определение бесконечной непериодической дроби. Бесконечная непериодическая десятичная дробь — это, по определению, представление иррационального числа. У таких чисел последовательность цифр после запятой никогда не заканчивается и не имеет повторяющегося блока (периода). Примерами являются числа $\pi \approx 3.14159265...$ и $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$.

Вывод: Множества рациональных и иррациональных чисел не пересекаются. Рациональное число по своей природе не может быть равно бесконечной непериодической дроби, так как это является определением иррационального числа.

Ответ: Нет, не существует.

990. Каким числом (рациональным или иррациональным) является число:

а) $0.275$;

б) $0.\overline{2}$;

в) $1.\overline{32}$;

г) $1.15\overline{45}$;

д) $3.101101110...$;

е) $0.12345678...?$

Для определения, является ли число рациональным или иррациональным, необходимо проанализировать его десятичное представление. Рациональные числа имеют конечное или периодическое (повторяющееся) десятичное представление. Иррациональные числа имеют бесконечное непериодическое десятичное представление.

а) 0,275

Это число является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.
$0,275 = \frac{275}{1000} = \frac{11 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{11}{40}$.
Так как число можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа и $n \neq 0$, оно является рациональным.
Ответ: рациональное.

б) 0,(2)

Это число является бесконечной периодической десятичной дробью, где цифра 2 повторяется. Запись 0,(2) означает 0,2222... Любая периодическая дробь является рациональным числом.
Чтобы представить его в виде обыкновенной дроби, пусть $x = 0,(2)$. Тогда $10x = 2,(2)$.
Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 2,(2) - 0,(2)$, что дает $9x = 2$, откуда $x = \frac{2}{9}$.
Ответ: рациональное.

в) 1,323232...

Это число является бесконечной периодической десятичной дробью с периодом 32. Его можно записать как 1,(32).
Пусть $x = 1,323232...$. Тогда $100x = 132,323232...$.
Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 132,323232... - 1,323232...$, что дает $99x = 131$, откуда $x = \frac{131}{99}$.
Так как число можно представить в виде обыкновенной дроби, оно является рациональным.
Ответ: рациональное.

г) 1,15(45)

Это число является смешанной бесконечной периодической десятичной дробью с периодом 45. Запись означает 1,154545...
Пусть $x = 1,15(45)$. Умножим на 100, чтобы выделить часть до периода: $100x = 115,(45)$.
Теперь умножим на 100 еще раз, чтобы сдвинуть один период: $10000x = 11545,(45)$.
Вычтем из второго уравнения первое: $10000x - 100x = 11545,(45) - 115,(45)$, что дает $9900x = 11430$, откуда $x = \frac{11430}{9900} = \frac{1143}{990} = \frac{127}{110}$.
Так как число можно представить в виде обыкновенной дроби, оно является рациональным.
Ответ: рациональное.

д) 3,10110111011110...

Это число является бесконечной десятичной дробью. Проанализируем последовательность цифр после запятой: 10110111011110... Количество единиц между нулями каждый раз увеличивается на одну. Такая последовательность не является периодической, так как нет повторяющегося блока цифр.
Поскольку это бесконечная непериодическая дробь, число является иррациональным.
Ответ: иррациональное.

е) 0,12345678...?

Предполагается, что последовательность цифр продолжается как 0,123456789101112..., то есть состоит из последовательно записанных натуральных чисел. Эта последовательность является бесконечной и непериодической. Невозможно выделить повторяющийся блок цифр, так как в последовательности будут встречаться сколь угодно длинные серии нулей (например, в числах $10^k$) и любые другие комбинации цифр.
Поскольку это бесконечная непериодическая дробь, число является иррациональным.
Ответ: иррациональное.

991. Запишите четыре числа:

а) натуральных;

б) положительных;

в) отрицательных;

г) целых;

д) рациональных;

е) иррациональных;

ж) чётных;

з) нечётных;

и) простых;

к) составных;

л) кратных 3;

м) кратных 2 и 5.

а) натуральных

Натуральные числа — это числа, которые используются при счёте предметов. Это целые положительные числа, начиная с 1. Например: 1, 2, 3, 4, ... . Выберем любые четыре из них.

Ответ: 1, 7, 42, 1000.

б) положительных

Положительные числа — это все числа, которые больше нуля. Это могут быть натуральные числа, дроби, иррациональные числа.

Ответ: 5, 0.25, $\frac{1}{2}$, $\sqrt{3}$.

в) отрицательных

Отрицательные числа — это все числа, которые меньше нуля.

Ответ: -10, -3.14, $-\frac{3}{4}$, -150.

г) целых

Целые числа — это натуральные числа, им противоположные числа и ноль. Множество целых чисел включает ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... .

Ответ: -15, 0, 8, 121.

д) рациональных

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. К ним относятся целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби.

Ответ: 7, -2.5, $\frac{5}{8}$, $0.(3)$.

е) иррациональных

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Они представляются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.

Ответ: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$, $\sqrt{10}$.

ж) чётных

Чётные числа — это целые числа, которые делятся на 2 без остатка. Они могут быть положительными, отрицательными или нулём.

Ответ: 2, 16, -8, 0.

з) нечётных

Нечётные числа — это целые числа, которые не делятся на 2 без остатка.

Ответ: 1, 9, -21, 55.

и) простых

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

Ответ: 2, 5, 11, 23.

к) составных

Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет более двух делителей.

Ответ: 4, 6, 9, 15.

л) кратных 3

Число, кратное 3, — это целое число, которое делится на 3 без остатка.

Ответ: 3, 12, 27, -30.

м) кратных 2 и 5

Число, кратное одновременно 2 и 5, должно делиться на их наименьшее общее кратное, то есть на $2 \cdot 5 = 10$. Таким образом, это все целые числа, которые оканчиваются на 0.

Ответ: 10, 40, 100, -20.