Страница 202 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

293. Что называют целой частью положительной бесконечной десятичной дроби?

Положительная бесконечная десятичная дробь — это представление действительного числа в виде $a_0,a_1a_2a_3...$, где $a_0$ — целое неотрицательное число, а $a_1, a_2, a_3, ...$ — бесконечная последовательность цифр (от 0 до 9). В этой записи запятая разделяет число на две части: целую и дробную.

Целой частью положительной бесконечной десятичной дроби называют целое неотрицательное число $a_0$, которое стоит в записи дроби слева от запятой.

Иначе говоря, если мы рассмотрим число $x = 12,34567...$, то его целая часть — это $12$. Если число меньше единицы, например $y = 0,98765...$, то его целая часть равна $0$.

В математике для нахождения целой части от положительного числа $x$ используется функция «антье» (или «пол»), которая обозначается как $[x]$ или $\lfloor x \rfloor$. Она находит наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Для любой положительной бесконечной десятичной дроби $a_0,a_1a_2a_3...$ её целая часть, то есть $a_0$, равна значению функции $\lfloor a_0,a_1a_2a_3... \rfloor$.

Например:

• Целая часть числа $\pi = 3,14159...$ равна $3$.
• Целая часть числа $\frac{4}{3} = 1,333...$ равна $1$.
• Целая часть числа $\sqrt{2} = 1,41421...$ равна $1$.

Ответ: Целой частью положительной бесконечной десятичной дроби называют целое неотрицательное число, образованное цифрами, стоящими в записи этой дроби слева от запятой.

994. Назовите цифры пятого, шестого, седьмого разрядов после запятой у дроби:

а) $13,(27)$;

б) $17,12345678...$;

в) $0,000(12)$.

а) В периодической дроби $13,(27)$ группа цифр $(27)$ бесконечно повторяется после запятой. Запишем число в развернутом виде: $13,27272727...$.
Цифра 1-го разряда после запятой: 2
Цифра 2-го разряда после запятой: 7
Цифра 3-го разряда после запятой: 2
Цифра 4-го разряда после запятой: 7
Таким образом, на нечетных позициях стоит цифра 2, а на четных — 7.
Пятый разряд (нечетный) — это цифра 2.
Шестой разряд (четный) — это цифра 7.
Седьмой разряд (нечетный) — это цифра 2.
Ответ: 2, 7, 2.

б) В дроби $17,12345678...$ после запятой последовательно записаны цифры, образующие натуральный ряд чисел.
Цифра 1-го разряда после запятой: 1
Цифра 2-го разряда после запятой: 2
Цифра 3-го разряда после запятой: 3
Цифра 4-го разряда после запятой: 4
Следовательно, цифра $n$-го разряда после запятой равна $n$ (пока $n$ однозначное число).
Пятый разряд — это цифра 5.
Шестой разряд — это цифра 6.
Седьмой разряд — это цифра 7.
Ответ: 5, 6, 7.

в) В периодической дроби $0,000(12)$ после трех нулей бесконечно повторяется группа цифр $(12)$. Запишем число в развернутом виде: $0,000121212...$.
Цифра 1-го разряда после запятой: 0
Цифра 2-го разряда после запятой: 0
Цифра 3-го разряда после запятой: 0
Цифра 4-го разряда после запятой: 1
Пятый разряд — это цифра 2.
Шестой разряд — это цифра 1.
Седьмой разряд — это цифра 2.
Ответ: 2, 1, 2.

995. Какие числа называют противоположными? Приведите примеры.

Противоположными числами называют два числа, которые отличаются друг от друга только знаком.

Основные свойства противоположных чисел:

1. На координатной прямой точки, соответствующие противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета (точки $0$), но в разных направлениях от него.

2. Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю. Для любого числа $a$ верно равенство: $a + (-a) = 0$.

3. Число, противоположное числу $a$, обозначается как $-a$. Например, число, противоположное $-5$, это $-(-5)$, что равно $5$.

4. Число $0$ является противоположным самому себе, так как $-0 = 0$.

Примеры:

- Для числа $7$ противоположным является число $-7$.
- Для числа $-25$ противоположным является число $25$.
- Для десятичной дроби $1.5$ противоположным является $-1.5$.
- Для обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$ противоположным является $-\frac{3}{4}$.
- Для иррационального числа $\sqrt{2}$ противоположным является $-\sqrt{2}$.

Ответ: Противоположные числа — это два числа, которые равны по модулю (абсолютной величине), но имеют разные знаки. Например, $10$ и $-10$, $-3.14$ и $3.14$.

Как обозначают число, противоположное числу $a$?

Противоположные числа — это числа, которые имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но разные знаки. На координатной прямой они расположены на одинаковом расстоянии от нуля, но в противоположных направлениях. Главным свойством противоположных чисел является то, что их сумма равна нулю.

Если дано число, обозначенное переменной $a$, то число, противоположное ему, будет таким, которое при сложении с $a$ даст в результате ноль. Для обозначения такого числа перед переменной $a$ ставится знак минус.

Таким образом, число, противоположное числу $a$, обозначается как $-a$.

Это соответствует свойству: $a + (-a) = 0$.

Например:

• Для числа 5 противоположным будет число -5.
• Для числа -12 противоположным будет число $-(-12) = 12$.
• Для числа 0 противоположным будет само число 0, так как $-0 = 0$.

Ответ: $-a$.

397. Если число обозначено через $-a$, значит ли это, что оно отрицательное? Приведите примеры.

Нет, обозначение числа в виде $ -a $ не означает, что это число обязательно является отрицательным. Выражение $ -a $ представляет собой число, противоположное числу $ a $. Знак этого выражения полностью зависит от знака самого числа $ a $.

Рассмотрим все возможные случаи на примерах:

1. Если $ a $ — положительное число.
Например, пусть $ a = 7 $. В этом случае число $ -a $ будет равно $ -7 $. Это отрицательное число.

2. Если $ a $ — отрицательное число.
Например, пусть $ a = -4 $. Тогда число $ -a $ будет равно $ -(-4) $. Число, противоположное отрицательному числу $ -4 $, является положительным числом $ 4 $. Таким образом, $ -a = 4 $. В этом случае выражение $ -a $ является положительным.

3. Если $ a $ равно нулю.
Пусть $ a = 0 $. Тогда число $ -a $ будет равно $ -0 $, что равно $ 0 $. Число $ 0 $ не является ни положительным, ни отрицательным.

Ответ: Нет, не значит. Знак числа $ -a $ зависит от знака $ a $. Если $ a $ — отрицательное число, то $ -a $ будет положительным числом. Например, если $ a = -10 $, то $ -a = -(-10) = 10 $.

1998. Что называют модулем (абсолютной величиной) действительного числа? Приведите примеры.

Определение

Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа a называют неотрицательное число, которое обозначается $|a|$ и определяется следующим образом:

1. Модуль положительного числа равен самому этому числу.
2. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
3. Модуль нуля равен нулю.

Это можно записать в виде формулы:
$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

С геометрической точки зрения, модуль числа — это расстояние от начала отсчета (точки 0) до точки на координатной прямой, которая соответствует этому числу. Так как расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа всегда является неотрицательной величиной.

Примеры

- Модуль числа 5 равен 5, так как 5 — положительное число. Запись: $|5| = 5$.

- Модуль числа -12 равен 12, так как -12 — отрицательное число, а противоположное ему — 12. Запись: $|-12| = -(-12) = 12$.

- Модуль числа 0 равен 0. Запись: $|0| = 0$.

- Модуль дробного числа 3.14 равен 3.14. Запись: $|3.14| = 3.14$.

- Модуль отрицательной дроби $-\frac{1}{2}$ равен $\frac{1}{2}$. Запись: $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Ответ: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа a называют само это число, если оно неотрицательное ($a \ge 0$), и противоположное ему число ($-a$), если оно отрицательное ($a < 0$). Например: $|7| = 7$, $|-7| = 7$, $|0| = 0$.

?999. Как сравнить два действительных числа? Приведите примеры.

Чтобы сравнить два действительных числа a и b, нужно определить, какое из трех соотношений для них выполняется: $a > b$ (a больше b), $a < b$ (a меньше b) или $a = b$ (a равно b). Это можно сделать несколькими способами.

1. Нахождение знака разности

Это основной алгебраический метод. Находят разность чисел $a - b$ и сравнивают ее с нулем.

• Если разность $a - b$ положительна, то $a > b$.
• Если разность $a - b$ отрицательна, то $a < b$.
• Если разность $a - b$ равна нулю, то $a = b$.

Пример. Сравнить $0.7$ и $\frac{2}{3}$.
Вычислим разность: $0.7 - \frac{2}{3} = \frac{7}{10} - \frac{2}{3} = \frac{21 - 20}{30} = \frac{1}{30}$.
Разность положительна, значит, $0.7 > \frac{2}{3}$.
Ответ: $0.7 > \frac{2}{3}$.

2. Использование числовой прямой

Геометрически, любое действительное число соответствует точке на числовой прямой. Большим из двух чисел является то, которое на прямой расположено правее.

Пример. Сравнить $-4$ и $-2$.
На числовой прямой точка $-2$ находится правее точки $-4$.
Следовательно, $-2$ больше, чем $-4$.
Ответ: $-2 > -4$.

3. Поразрядное сравнение

Этот метод удобен для чисел, записанных в виде десятичных дробей. Сравнение производится поразрядно слева направо.

1. Сравниваются целые части.
2. Если целые части равны, сравниваются цифры в разряде десятых.
3. Если и они равны, сравниваются цифры в разряде сотых, и так далее, пока не найдется различие.

Пример. Сравнить $\pi$ и $3.14159$.
Напомним, что $\pi \approx 3.14159265...$
Сравниваем $3.14159265...$ и $3.14159$.
Целые части, а также первые пять знаков после запятой ($14159$) совпадают. В шестом знаке после запятой (в разряде миллионных) у числа $\pi$ стоит цифра 2, а у числа $3.14159$ можно дописать 0 ($3.14159 = 3.141590$). Так как $2 > 0$, то $\pi$ больше.
Ответ: $\pi > 3.14159$.

4. Сравнение через возведение в степень

Если оба числа положительны, их можно возвести в одну и ту же натуральную степень (чаще всего в квадрат). Соотношение между результатами будет таким же, как и между исходными числами. То есть, для $a > 0$ и $b > 0$: $a > b \iff a^2 > b^2$.

Пример. Сравнить $4\sqrt{5}$ и $3\sqrt{10}$.
Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты:
$(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$.
$(3\sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90$.
Поскольку $80 < 90$, то и $4\sqrt{5} < 3\sqrt{10}$.
Ответ: $4\sqrt{5} < 3\sqrt{10}$.

2100. Если $|a| < |b|$, то всегда ли верно неравенство $a<b$?

Нет, это неравенство верно не всегда. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы один случай (контрпример), когда условие $|a| < |b|$ выполняется, а неравенство $a < b$ — нет.

Рассмотрим случай, когда число $b$ является отрицательным, а число $a$ — положительным. Например, возьмем $a = 3$ и $b = -4$.

1. Проверим, выполняется ли для этих чисел исходное условие $|a| < |b|$:
$|a| = |3| = 3$
$|b| = |-4| = 4$
Сравниваем модули: $3 < 4$. Условие $|a| < |b|$ выполняется.

2. Теперь проверим, выполняется ли для этих же чисел неравенство $a < b$:
$3 < -4$
Это неравенство является ложным, так как любое положительное число всегда больше любого отрицательного.

Таким образом, мы нашли пример, в котором условие $|a| < |b|$ истинно, а заключение $a < b$ ложно. Следовательно, утверждение "Если $|a| < |b|$, то $a < b$" не всегда верно.

Ответ: Не всегда.

1001. Пусть $|a| = |b|$. В каких случаях $a = b$ и в каких $a = -b$?

По определению, модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Условие $|a| = |b|$ означает, что числа $a$ и $b$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Это возможно в двух случаях: либо числа равны ($a=b$), либо они противоположны ($a=-b$). Разберем каждый случай подробнее.

В каких случаях $a=b$

Равенство $a=b$ при условии $|a|=|b|$ выполняется тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак.

1. Если оба числа неотрицательные ($a \ge 0$ и $b \ge 0$), то по определению модуля $|a|=a$ и $|b|=b$. В этом случае условие $|a|=|b|$ принимает вид $a=b$.

2. Если оба числа неположительные ($a \le 0$ и $b \le 0$), то по определению модуля $|a|=-a$ и $|b|=-b$. В этом случае условие $|a|=|b|$ принимает вид $-a=-b$, что после умножения на $-1$ дает $a=b$.

Случай, когда $a=0$ и $b=0$, подходит под оба этих пункта. Таким образом, $a$ и $b$ должны быть одного знака (или оба равны нулю).

Ответ: Равенство $a=b$ выполняется, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак или оба равны нулю.

В каких случаях $a=-b$

Равенство $a=-b$ при условии $|a|=|b|$ выполняется тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки или оба равны нулю.

1. Если одно число неотрицательное, а другое неположительное (например, $a \ge 0$ и $b \le 0$), то по определению модуля $|a|=a$ и $|b|=-b$. В этом случае условие $|a|=|b|$ принимает вид $a=-b$.

2. Аналогично, если $a \le 0$ и $b \ge 0$, то $|a|=-a$ и $|b|=b$. Условие $|a|=|b|$ принимает вид $-a=b$, что равносильно $a=-b$.

Отдельно стоит отметить случай, когда $a=0$. Из $|a|=|b|$ следует, что $b=0$. Равенство $a=-b$ в этом случае выполняется, так как $0 = -0$. Этот случай также покрывается пунктами выше, поскольку ноль является одновременно и неотрицательным, и неположительным числом.

Ответ: Равенство $a=-b$ выполняется, когда числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки или оба равны нулю.

1002. Поясните, как надо понимать записи:

а) $a \leq b;$

б) $a < b < c;$

в) $a \leq b < c;$

г) $a < b \leq c;$

д) $a \leq b \leq c.$

а) Запись $a \le b$ называется нестрогим неравенством. Она означает, что число $a$ меньше или равно числу $b$. То есть, должно выполняться одно из двух условий: либо $a$ строго меньше $b$ ($a < b$), либо $a$ равно $b$ ($a = b$).
Ответ: Число $a$ меньше или равно числу $b$.

б) Запись $a < b < c$ называется двойным строгим неравенством. Она является сокращённой формой записи системы двух строгих неравенств, которые должны выполняться одновременно: $a < b$ и $b < c$. Это означает, что число $a$ строго меньше числа $b$, а число $b$, в свою очередь, строго меньше числа $c$. Из этого по свойству транзитивности следует, что $a < c$.
Ответ: Число $a$ меньше числа $b$, и число $b$ меньше числа $c$.

в) Запись $a \le b < c$ — это двойное неравенство, которое является сокращённой формой записи системы двух неравенств: $a \le b$ и $b < c$. Это означает, что число $a$ меньше или равно числу $b$ (то есть $a < b$ или $a=b$), и одновременно число $b$ строго меньше числа $c$.
Ответ: Число $a$ меньше или равно числу $b$, и число $b$ меньше числа $c$.

г) Запись $a < b \le c$ — это двойное неравенство, которое является сокращённой формой записи системы двух неравенств: $a < b$ и $b \le c$. Это означает, что число $a$ строго меньше числа $b$, и одновременно число $b$ меньше или равно числу $c$ (то есть $b < c$ или $b=c$).
Ответ: Число $a$ меньше числа $b$, и число $b$ меньше или равно числу $c$.

д) Запись $a \le b \le c$ называется двойным нестрогим неравенством. Она является сокращённой формой записи системы двух нестрогих неравенств, которые должны выполняться одновременно: $a \le b$ и $b \le c$. Это означает, что число $a$ не больше числа $b$, а число $b$, в свою очередь, не больше числа $c$.
Ответ: Число $a$ меньше или равно числу $b$, и число $b$ меньше или равно числу $c$.