Страница 204 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1014. Какими свойствами арифметических действий воспользовались при вычислениях:

a) $125 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 3 = 125 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 3 = 1000 \cdot 21 = 21000;$

б) $4\frac{2}{3} \cdot 7\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3} \cdot 4\frac{2}{3} = 4\frac{2}{3} \cdot \left(7\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3}\right) = 4\frac{2}{3} \cdot 10 = \frac{14 \cdot 10}{3} = 46\frac{2}{3};$

в) $4\frac{2}{5} \cdot 7\frac{13}{19} \cdot \frac{5}{22} = \frac{22}{5} \cdot \frac{5}{22} \cdot 7\frac{13}{19} = 7\frac{13}{19}?$

1015. Известно, что если $a < b$, то $a+c < b+c$ для любого действительного числа c. Проиллюстрируйте это свойство действительных чисел на примере, взяв $a = -4,7$, $b = -5,25$, $c = -2,3$.

В задаче требуется проиллюстрировать свойство: если $a < b$, то $a + c < b + c$ для любого действительного числа $c$. Для этого предложены конкретные значения: $a = -4,7$, $b = -5,25$ и $c = -2,3$.

Первый шаг — проверить, выполняется ли для данных чисел начальное условие $a < b$.

Подставляем значения $a$ и $b$ в неравенство:

$-4,7 < -5,25$

Данное неравенство является неверным. При сравнении отрицательных чисел, большим является то число, модуль которого меньше. Так как $|-4,7| = 4,7$ и $|-5,25| = 5,25$, и $4,7 < 5,25$, то на самом деле $-4,7 > -5,25$.

Поскольку основное условие ($a < b$) для заданных чисел не выполняется, они не могут служить иллюстрацией заявленного свойства. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка.

Однако, мы можем использовать эти числа для иллюстрации другого, связанного с этим, свойства числовых неравенств. Для данных чисел справедливо неравенство $a > b$, то есть:

$-4,7 > -5,25$

Теперь прибавим к обеим частям этого верного неравенства число $c = -2,3$ и посмотрим, сохранится ли знак неравенства.

Вычисляем левую часть: $a + c = -4,7 + (-2,3) = -7,0$.

Вычисляем правую часть: $b + c = -5,25 + (-2,3) = -7,55$.

Сравниваем полученные результаты: $-7,0$ и $-7,55$.

Поскольку $-7,0 > -7,55$, мы получаем верное неравенство:

$a + c > b + c$

Это показывает, что прибавление одного и того же числа к обеим частям верного неравенства сохраняет знак неравенства. Таким образом, данный пример иллюстрирует свойство: если $a > b$, то $a + c > b + c$.

Ответ: Заданные значения $a = -4,7$ и $b = -5,25$ не удовлетворяют начальному условию $a < b$, так как в действительности $-4,7 > -5,25$. Следовательно, данный пример не может проиллюстрировать свойство "если $a < b$, то $a + c < b + c$". Вместо этого он иллюстрирует свойство "если $a > b$, то $a + c > b + c$", так как из верного неравенства $-4,7 > -5,25$ после прибавления $c = -2,3$ к обеим частям получается верное неравенство $-7,0 > -7,55$.

1016. Найдите два числа $x$, удовлетворяющие условию:

а) $|x-5,3|=1$;

б) $|x-5,3|<1$;

в) $|x-5,3|>1$.

Сколько таких чисел можно найти в каждом случае?

a) Решим уравнение $|x - 5,3| = 1$.

Это уравнение означает, что выражение под знаком модуля, $x - 5,3$, равно либо $1$, либо $-1$. Рассмотрим оба случая:

1) $x - 5,3 = 1 \implies x = 1 + 5,3 \implies x = 6,3$.

2) $x - 5,3 = -1 \implies x = -1 + 5,3 \implies x = 4,3$.

Таким образом, этому условию удовлетворяют ровно два числа.

Ответ: $x_1 = 4,3$, $x_2 = 6,3$. Всего можно найти два таких числа.

б) Решим неравенство $|x - 5,3| < 1$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-1 < x - 5,3 < 1$.

Прибавим $5,3$ ко всем трём частям неравенства, чтобы выделить $x$:

$-1 + 5,3 < x < 1 + 5,3$

$4,3 < x < 6,3$.

Решением является любое число из интервала $(4,3; 6,3)$. Например, можно взять числа $5$ и $6$. В этом интервале содержится бесконечно много чисел.

Ответ: например, $x = 5$ и $x = 6$. Всего можно найти бесконечно много таких чисел.

в) Решим неравенство $|x - 5,3| > 1$.

Это неравенство эквивалентно совокупности (объединению) двух неравенств:

1) $x - 5,3 > 1 \implies x > 1 + 5,3 \implies x > 6,3$.

2) $x - 5,3 < -1 \implies x < -1 + 5,3 \implies x < 4,3$.

Решением является любое число, которое меньше $4,3$ или больше $6,3$, то есть $x \in (-\infty; 4,3) \cup (6,3; +\infty)$. Например, можно взять числа $0$ и $10$. В этих двух интервалах содержится бесконечно много чисел.

Ответ: например, $x = 0$ и $x = 10$. Всего можно найти бесконечно много таких чисел.

Вычислите (1017-1020):

1017. а) $68 \cdot 48 + 68 \cdot 52;$

б) $59 \cdot 37 + 59 \cdot 63;$

в) $87 \cdot 29 + 87 \cdot 71;$

г) $17 \cdot 73 - 63 \cdot 17;$

д) $382 \cdot 400 - 500 \cdot 382;$

е) $756 \cdot 350 + 756 \cdot 650.$

а) $68 \cdot 48 + 68 \cdot 52$
Для упрощения вычислений воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Вынесем общий множитель 68 за скобки:
$68 \cdot (48 + 52)$
Выполним действие в скобках:
$48 + 52 = 100$
Теперь умножим результат на общий множитель:
$68 \cdot 100 = 6800$
Ответ: 6800

б) $59 \cdot 37 + 59 \cdot 63$
Вынесем общий множитель 59 за скобки, используя распределительное свойство:
$59 \cdot (37 + 63)$
Сложим числа в скобках:
$37 + 63 = 100$
Выполним умножение:
$59 \cdot 100 = 5900$
Ответ: 5900

в) $87 \cdot 29 + 87 \cdot 71$
Вынесем общий множитель 87 за скобки:
$87 \cdot (29 + 71)$
Выполним сложение в скобках:
$29 + 71 = 100$
Теперь выполним умножение:
$87 \cdot 100 = 8700$
Ответ: 8700

г) $17 \cdot 73 - 63 \cdot 17$
Используя переместительное свойство умножения ($a \cdot b = b \cdot a$), представим выражение как $17 \cdot 73 - 17 \cdot 63$. Теперь вынесем общий множитель 17 за скобки:
$17 \cdot (73 - 63)$
Выполним вычитание в скобках:
$73 - 63 = 10$
Выполним умножение:
$17 \cdot 10 = 170$
Ответ: 170

д) $382 \cdot 400 - 500 \cdot 382$
Применим переместительное свойство ко второму произведению: $500 \cdot 382 = 382 \cdot 500$. Теперь вынесем общий множитель 382 за скобки:
$382 \cdot (400 - 500)$
Выполним вычитание в скобках:
$400 - 500 = -100$
Выполним умножение:
$382 \cdot (-100) = -38200$
Ответ: -38200

е) $756 \cdot 350 + 756 \cdot 650$
Вынесем общий множитель 756 за скобки:
$756 \cdot (350 + 650)$
Выполним сложение в скобках:
$350 + 650 = 1000$
Теперь выполним умножение:
$756 \cdot 1000 = 756000$
Ответ: 756000

1018. a) $352 \cdot 18 : 9;$

б) $748 \cdot 12 : 6;$

в) $126 \cdot 96 : 32;$

г) $172 \cdot 128 : 64.$

а) В выражении $352 \cdot 18 : 9$ действия умножения и деления имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо. Однако для удобства вычислений можно изменить порядок, так как деление произведения на число равно произведению одного из множителей на частное другого множителя и числа. Удобнее сначала разделить 18 на 9.
1) Сначала выполним деление: $18 : 9 = 2$.
2) Затем умножим 352 на результат деления: $352 \cdot 2 = 704$.
Таким образом, $352 \cdot 18 : 9 = 352 \cdot (18 : 9) = 352 \cdot 2 = 704$.
Ответ: 704

б) В выражении $748 \cdot 12 : 6$ можно также упростить вычисления, разделив сначала 12 на 6.
1) Выполним деление: $12 : 6 = 2$.
2) Умножим 748 на полученный результат: $748 \cdot 2 = 1496$.
Полное решение: $748 \cdot 12 : 6 = 748 \cdot (12 : 6) = 748 \cdot 2 = 1496$.
Ответ: 1496

в) В выражении $126 \cdot 96 : 32$ удобно сначала разделить 96 на 32.
1) Выполним деление: $96 : 32 = 3$.
2) Умножим 126 на 3: $126 \cdot 3 = 378$.
Полное решение: $126 \cdot 96 : 32 = 126 \cdot (96 : 32) = 126 \cdot 3 = 378$.
Ответ: 378

г) В выражении $172 \cdot 128 : 64$ также рациональнее сначала выполнить деление.
1) Разделим 128 на 64: $128 : 64 = 2$.
2) Умножим 172 на результат: $172 \cdot 2 = 344$.
Полное решение: $172 \cdot 128 : 64 = 172 \cdot (128 : 64) = 172 \cdot 2 = 344$.
Ответ: 344

1019. а) $25 \cdot 7 \cdot 8$;

б) $13 \cdot 12 \cdot 25$;

в) $2\frac{1}{2} \cdot 3\frac{1}{3}$;

г) $\frac{1}{7} \cdot 8\frac{1}{6} \cdot 6$;

д) $78 : 3 \cdot \left(\frac{1}{8} - 2\frac{1}{8}\right)$;

е) $\left(75 - 100\frac{1}{2}\right) \cdot 0,04.$

а) Чтобы упростить вычисление, воспользуемся переместительным свойством умножения и сгруппируем множители так, чтобы получить круглое число: $25 \cdot 7 \cdot 8 = (25 \cdot 8) \cdot 7$. Сначала умножим $25$ на $8$, что дает $200$. Затем умножим результат на $7$: $200 \cdot 7 = 1400$.
Ответ: 1400

б) Аналогично предыдущему примеру, сгруппируем множители для удобства вычисления: $13 \cdot 12 \cdot 25 = 13 \cdot (12 \cdot 25)$. Сначала вычислим произведение $12 \cdot 25$. Можно разложить $12$ как $3 \cdot 4$, тогда $12 \cdot 25 = 3 \cdot 4 \cdot 25 = 3 \cdot (4 \cdot 25) = 3 \cdot 100 = 300$. Теперь умножим $13$ на $300$: $13 \cdot 300 = 3900$.
Ответ: 3900

в) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби. $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ и $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$. Теперь перемножим полученные дроби: $\frac{5}{2} \cdot \frac{10}{3} = \frac{5 \cdot 10}{2 \cdot 3}$. Можно сократить $10$ и $2$ на $2$: $\frac{5 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{25}{3}$. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$.
Ответ: $8\frac{1}{3}$

г) Преобразуем смешанное число $8\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $8\frac{1}{6} = \frac{8 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{49}{6}$. Теперь выполним умножение: $\frac{1}{7} \cdot \frac{49}{6} \cdot 6$. Можно сократить $6$ в числителе и знаменателе: $\frac{1}{7} \cdot \frac{49}{6} \cdot 6 = \frac{1}{7} \cdot 49$. Далее, $\frac{49}{7} = 7$.
Ответ: 7

д) Сначала выполним действие в скобках: $\frac{1}{8} - 2\frac{1}{8}$. Так как вычитаемое больше уменьшаемого, результат будет отрицательным. Можно вычесть из $2\frac{1}{8}$ дробь $\frac{1}{8}$, получим $2$, и поставить знак минус. $\frac{1}{8} - 2\frac{1}{8} = -(2\frac{1}{8} - \frac{1}{8}) = -2$. Теперь подставим результат в исходное выражение: $78 : 3 \cdot (-2)$. Выполняем действия по порядку слева направо: $78 : 3 = 26$. Затем $26 \cdot (-2) = -52$.
Ответ: -52

е) Выполним вычитание в скобках. Удобно представить смешанное число в виде десятичной дроби: $100\frac{1}{2} = 100,5$. Тогда $75 - 100,5 = -25,5$. Теперь умножим результат на $0,04$: $-25,5 \cdot 0,04$. Чтобы умножить десятичные дроби, можно умножить их как целые числа, а затем в результате отделить справа столько цифр, сколько их было после запятой в обоих множителях вместе. $255 \cdot 4 = 1020$. В множителях $-25,5$ и $0,04$ вместе три цифры после запятой ($5$, $0$, $4$), значит в результате отделяем три цифры: $1,020 = 1,02$. Так как мы умножали отрицательное число на положительное, результат будет отрицательным: $-1,02$.
Ответ: -1,02

1020. a) $12.5(67) - 12.5(67);$

B) $4.51(2) : 1;$

б) $6.7(89) \cdot 0;$

г) $0 : 0.0(654).$

а) В данном выражении $12,5(67) - 12,5(67)$ из числа вычитается оно само. Результат вычитания любого числа из самого себя всегда равен нулю.
$12,5(67) - 12,5(67) = 0$
Ответ: 0

б) В данном выражении $6,7(89) \cdot 0$ число умножается на ноль. Произведение любого числа на ноль всегда равно нулю.
$6,7(89) \cdot 0 = 0$
Ответ: 0

В) В данном выражении $4,51(2) : 1$ число делится на единицу. При делении любого числа на единицу получается то же самое число.
$4,51(2) : 1 = 4,51(2)$
Ответ: 4,51(2)

г) В данном выражении $0 : 0,0(654)$ ноль делится на отличное от нуля число. Деление нуля на любое число, не равное нулю, в результате даёт ноль. Делитель $0,0(654)$ не равен нулю.
$0 : 0,0(654) = 0$
Ответ: 0