Страница 210 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 113

a) Рис. 114

б) 1041. На сторонах квадрата как на диаметрах построили полуокружности внутри квадрата. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 113). Сторона квадрата равна 4 см.

Для вычисления площади закрашенной фигуры, которая состоит из четырех одинаковых "лепестков", можно использовать метод, основанный на анализе площадей составляющих ее фигур: квадрата и четырех полукругов.

1. Найдем площадь квадрата.
Сторона квадрата по условию задачи равна $a = 4$ см. Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$. $S_{кв} = 4^2 = 16$ см².

2. Найдем суммарную площадь четырех полукругов.
Стороны квадрата являются диаметрами полукругов, поэтому диаметр каждого полукруга $d = 4$ см. Радиус каждого полукруга ($r$) равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Площадь одного полукруга ($S_{пк}$) вычисляется как половина площади круга с тем же радиусом: $S_{пк} = \frac{1}{2}\pi r^2$. $S_{пк} = \frac{1}{2} \pi \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi$ см². Поскольку на каждой из четырех сторон квадрата построен полукруг, их общая площадь ($S_{4пк}$) составляет: $S_{4пк} = 4 \cdot S_{пк} = 4 \cdot 2\pi = 8\pi$ см².

3. Вычислим площадь закрашенной фигуры.
Если сложить площади четырех полукругов, то вся площадь квадрата будет покрыта. При этом закрашенные области ("лепестки") окажутся посчитаны дважды, так как каждая из них является пересечением двух полукругов. Незакрашенные углы квадрата будут посчитаны один раз. Таким образом, суммарная площадь четырех полукругов равна площади квадрата плюс площади закрашенной фигуры ($S_{фиг}$), так как именно эта часть была учтена повторно. Математически это можно записать так: $S_{4пк} = S_{кв} + S_{фиг}$ Отсюда можно выразить площадь искомой закрашенной фигуры: $S_{фиг} = S_{4пк} - S_{кв}$ Подставим найденные значения в формулу: $S_{фиг} = 8\pi - 16$ см².

Ответ: $8\pi - 16$ см².

1042. На сторонах квадрата как на диаметрах построили полукруги вне квадрата. Получили первую фигуру (рис. 114, а). Потом каждую сторону такого же квадрата разделили на 2 равные части и на каждой из них как на диаметрах построили полукруги вне квадрата. Получили вторую фигуру (рис. 114, б). Потом каждую сторону такого же квадрата разделили на 3 равные части и т. д. Вычислите периметр и площадь каждой из первых четырёх фигур, если сторона квадрата равна 12 см.

a) б) Рис. 114

Обозначим сторону квадрата как $a$. По условию задачи $a = 12$ см.

Площадь каждой фигуры складывается из площади центрального квадрата ($S_{кв}$) и суммарной площади всех построенных на его сторонах полукругов ($S_{полукр}$). Периметр каждой фигуры равен сумме длин дуг всех полукругов.

Площадь квадрата является постоянной величиной для всех фигур: $S_{кв} = a^2 = 12^2 = 144$ см².

Для первой фигуры:

На каждой из 4 сторон квадрата построен один полукруг. Всего 4 полукруга.

Диаметр каждого полукруга равен стороне квадрата: $d_1 = a = 12$ см.

Радиус каждого полукруга: $r_1 = d_1 / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Периметр фигуры $P_1$ равен сумме длин четырех полуокружностей:

$P_1 = 4 \cdot (\pi r_1) = 4 \cdot \pi \cdot 6 = 24\pi$ см.

Площадь фигуры $S_1$ равна сумме площади квадрата и площадей четырех полукругов:

$S_1 = S_{кв} + 4 \cdot (\frac{1}{2} \pi r_1^2) = 144 + 2 \pi \cdot 6^2 = 144 + 2 \pi \cdot 36 = 144 + 72\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 72\pi)$ см².

Для второй фигуры:

Каждая сторона квадрата разделена на 2 равные части. На каждой стороне построено по 2 полукруга. Всего $4 \cdot 2 = 8$ полукругов.

Диаметр каждого полукруга: $d_2 = a / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Радиус каждого полукруга: $r_2 = d_2 / 2 = 6 / 2 = 3$ см.

Периметр фигуры $P_2$ равен сумме длин восьми полуокружностей:

$P_2 = 8 \cdot (\pi r_2) = 8 \cdot \pi \cdot 3 = 24\pi$ см.

Площадь фигуры $S_2$ равна сумме площади квадрата и площадей восьми полукругов:

$S_2 = S_{кв} + 8 \cdot (\frac{1}{2} \pi r_2^2) = 144 + 4 \pi \cdot 3^2 = 144 + 4 \pi \cdot 9 = 144 + 36\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 36\pi)$ см².

Для третьей фигуры:

Каждая сторона квадрата разделена на 3 равные части. На каждой стороне построено по 3 полукруга. Всего $4 \cdot 3 = 12$ полукругов.

Диаметр каждого полукруга: $d_3 = a / 3 = 12 / 3 = 4$ см.

Радиус каждого полукруга: $r_3 = d_3 / 2 = 4 / 2 = 2$ см.

Периметр фигуры $P_3$ равен сумме длин двенадцати полуокружностей:

$P_3 = 12 \cdot (\pi r_3) = 12 \cdot \pi \cdot 2 = 24\pi$ см.

Площадь фигуры $S_3$ равна сумме площади квадрата и площадей двенадцати полукругов:

$S_3 = S_{кв} + 12 \cdot (\frac{1}{2} \pi r_3^2) = 144 + 6 \pi \cdot 2^2 = 144 + 6 \pi \cdot 4 = 144 + 24\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 24\pi)$ см².

Для четвертой фигуры:

Каждая сторона квадрата разделена на 4 равные части. На каждой стороне построено по 4 полукруга. Всего $4 \cdot 4 = 16$ полукругов.

Диаметр каждого полукруга: $d_4 = a / 4 = 12 / 4 = 3$ см.

Радиус каждого полукруга: $r_4 = d_4 / 2 = 3 / 2 = 1.5$ см.

Периметр фигуры $P_4$ равен сумме длин шестнадцати полуокружностей:

$P_4 = 16 \cdot (\pi r_4) = 16 \cdot \pi \cdot 1.5 = 24\pi$ см.

Площадь фигуры $S_4$ равна сумме площади квадрата и площадей шестнадцати полукругов:

$S_4 = S_{кв} + 16 \cdot (\frac{1}{2} \pi r_4^2) = 144 + 8 \pi \cdot (1.5)^2 = 144 + 8 \pi \cdot 2.25 = 144 + 18\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 18\pi)$ см².

1043. Земной шар стянули обручем по экватору. Затем увеличили обруч на 1 м. Пролезет ли кошка в образовавшийся зазор?

Давайте решим эту задачу, используя математические формулы. Нам нужно найти величину зазора, который образуется между поверхностью Земли и увеличенным обручем.

Обозначим радиус Земли как $R$, а начальную длину обруча, равную длине экватора, как $C_1$.

Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$, где $r$ — это радиус.

Таким образом, начальная длина обруча: $C_1 = 2 \pi R$.

Затем длину обруча увеличили на 1 метр. Новая длина обруча, $C_2$, стала:

$C_2 = C_1 + 1$ м.

Увеличенный обруч образовал новую окружность с новым радиусом, который мы обозначим как $R_{new}$. Длина этой новой окружности равна:

$C_2 = 2 \pi R_{new}$.

Теперь мы можем объединить эти формулы. Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в уравнение $C_2 = C_1 + 1$:

$2 \pi R_{new} = 2 \pi R + 1$

Зазор между Землей и обручем — это разница между новым и старым радиусами ($R_{new} - R$). Найдем эту разницу из полученного уравнения:

$2 \pi R_{new} - 2 \pi R = 1$

$2 \pi (R_{new} - R) = 1$

$R_{new} - R = \frac{1}{2 \pi}$

Теперь вычислим величину зазора, используя значение $\pi \approx 3.14$:

Зазор = $\frac{1}{2 \times 3.14} = \frac{1}{6.28} \approx 0.159$ м.

Переведем метры в сантиметры: $0.159 \text{ м} \times 100 = 15.9$ см.

Зазор составит почти 16 см. Этого вполне достаточно, чтобы в него пролезла кошка. Примечательно, что результат не зависит от начального радиуса Земли.

Ответ:
Да, кошка пролезет в образовавшийся зазор, так как его высота составит около 16 см.