Страница 216 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1056. На рисунке 121 изображены точки $A (2; 3)$, $B (0; 4)$, $C (3; 0)$, $D (-4; -2)$. Назовите абсциссу и ординату каждой точки. Запишите координаты точек $M, N, K, L$. В каких координатных углах расположены точки $A, D, L, K$?

Абсциссы и ординаты заданных точек:

Для точки $A (2; 3)$: абсцисса $x = 2$, ордината $y = 3$.

Для точки $B (0; 4)$: абсцисса $x = 0$, ордината $y = 4$.

Для точки $C (3; 0)$: абсцисса $x = 3$, ордината $y = 0$.

Для точки $D (-4; -2)$: абсцисса $x = -4$, ордината $y = -2$.

Координаты точек $M, N, K, L$ с рисунка:

Координаты точки $M$: $M (-2; 0)$

Координаты точки $N$: $N (-1; -2)$

Координаты точки $K$: $K (2; 2)$

Координаты точки $L$: $L (-3; 3)$

Расположение точек $A, D, L, K$ в координатных углах:

Точка $A (2; 3)$ расположена в I координатном углу.

Точка $D (-4; -2)$ расположена в III координатном углу.

Точка $L (-3; 3)$ расположена во II координатном углу.

Точка $K (2; 2)$ расположена в I координатном углу.

Рис. 121

Назовите абсциссу и ординату каждой точки.

Абсцисса – это первая координата точки (координата по оси $x$), а ордината – это вторая координата (координата по оси $y$).

• Для точки $A(2; 3)$: абсцисса равна 2, ордината равна 3.
• Для точки $B(0; 4)$: абсцисса равна 0, ордината равна 4.
• Для точки $C(3; 0)$: абсцисса равна 3, ордината равна 0.
• Для точки $D(-4; -2)$: абсцисса равна -4, ордината равна -2.

Ответ: A: абсцисса 2, ордината 3; B: абсцисса 0, ордината 4; C: абсцисса 3, ордината 0; D: абсцисса -4, ордината -2.

Запишите координаты точек M, N, K, L.

Определим координаты точек по их положению на рисунке:

• Точка M лежит на оси абсцисс (оси $x$) в значении -2. Ее ордината (координата $y$) равна 0. Таким образом, координаты точки M: $(-2; 0)$.
• Для точки N найдем проекции на оси. Проекция на ось $x$ равна -1, на ось $y$ равна -2. Таким образом, координаты точки N: $(-1; -2)$.
• Для точки K проекция на ось $x$ равна 1, на ось $y$ равна 2. Таким образом, координаты точки K: $(1; 2)$.
• Для точки L проекция на ось $x$ равна -3, на ось $y$ равна 3. Таким образом, координаты точки L: $(-3; 3)$.

Ответ: $M(-2; 0)$, $N(-1; -2)$, $K(1; 2)$, $L(-3; 3)$.

В каких координатных углах расположены точки A, D, L, K?

Координатная плоскость разделена на четыре координатных угла (четверти), нумерация которых идет против часовой стрелки:

• I координатный угол (четверть): $x > 0, y > 0$
• II координатный угол (четверть): $x < 0, y > 0$
• III координатный угол (четверть): $x < 0, y < 0$
• IV координатный угол (четверть): $x > 0, y < 0$

Определим положение заданных точек:

• Точка $A(2; 3)$: так как $x = 2 > 0$ и $y = 3 > 0$, точка A расположена в I координатном углу.
• Точка $D(-4; -2)$: так как $x = -4 < 0$ и $y = -2 < 0$, точка D расположена в III координатном углу.
• Точка $L(-3; 3)$: так как $x = -3 < 0$ и $y = 3 > 0$, точка L расположена во II координатном углу.
• Точка $K(1; 2)$: так как $x = 1 > 0$ и $y = 2 > 0$, точка K расположена в I координатном углу.

Ответ: Точки A и K расположены в I координатном углу, точка L – во II координатном углу, точка D – в III координатном углу.

1057. а) Где находятся точки, абсциссы которых равны нулю?

б) Где находятся точки, ординаты которых равны нулю?

а) В прямоугольной системе координат положение каждой точки задается парой чисел $(x, y)$, где $x$ – это абсцисса (горизонтальная координата), а $y$ – ордината (вертикальная координата). Если абсцисса точки равна нулю, это означает, что $x=0$. При этом ордината $y$ может принимать любое действительное значение. Координаты таких точек будут иметь вид $(0, y)$, например, $(0, 1)$, $(0, -5)$, $(0, 3.5)$. Множество всех точек, у которых абсцисса равна нулю, образует вертикальную прямую, которая является осью ординат (осью $Oy$).
Ответ: на оси ординат (оси $Oy$).

б) Если ордината точки равна нулю, это означает, что $y=0$. При этом абсцисса $x$ может принимать любое действительное значение. Координаты таких точек будут иметь вид $(x, 0)$, например, $(2, 0)$, $(-4, 0)$, $(1.8, 0)$. Множество всех точек, у которых ордината равна нулю, образует горизонтальную прямую, которая является осью абсцисс (осью $Ox$).
Ответ: на оси абсцисс (оси $Ox$).

1053. Каким свойством обладают координаты точек I, II, III, IV четвертей?

Координатная плоскость делится осями координат (осью абсцисс $Ox$ и осью ординат $Oy$) на четыре части, называемые координатными четвертями или квадрантами. Свойство координат точек, расположенных в этих четвертях, заключается в знаках их абсциссы ($x$) и ординаты ($y$). Нумерация четвертей традиционно производится против часовой стрелки, начиная с верхней правой.

Точки, расположенные в первой координатной четверти (верхняя правая), имеют положительную абсциссу и положительную ординату. То есть, для любой точки $(x, y)$ в этой четверти выполняются условия $x > 0$ и $y > 0$.
Ответ: $x > 0$, $y > 0$.

Точки, расположенные во второй координатной четверти (верхняя левая), имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату. То есть, для любой точки $(x, y)$ в этой четверти выполняются условия $x < 0$ и $y > 0$.
Ответ: $x < 0$, $y > 0$.

Точки, расположенные в третьей координатной четверти (нижняя левая), имеют отрицательную абсциссу и отрицательную ординату. То есть, для любой точки $(x, y)$ в этой четверти выполняются условия $x < 0$ и $y < 0$.
Ответ: $x < 0$, $y < 0$.

Точки, расположенные в четвертой координатной четверти (нижняя правая), имеют положительную абсциссу и отрицательную ординату. То есть, для любой точки $(x, y)$ в этой четверти выполняются условия $x > 0$ и $y < 0$.
Ответ: $x > 0$, $y < 0$.

Важно отметить, что точки, лежащие непосредственно на осях координат, не принадлежат ни одной из четвертей. У точек на оси абсцисс ($Ox$) ордината равна нулю ($y=0$), а у точек на оси ординат ($Oy$) абсцисса равна нулю ($x=0$).

1059. В каких координатных углах находятся точки, абсциссы которых $x > 0$?

Координатная плоскость делится двумя перпендикулярными осями, осью абсцисс ($Ox$) и осью ординат ($Oy$), на четыре части, которые называются координатными углами или четвертями. Положение любой точки на плоскости определяется парой координат $(x; y)$, где $x$ – это абсцисса, а $y$ – ордината.

Вопрос заключается в том, чтобы найти координатные углы, для всех точек которых абсцисса является положительным числом. Математически это условие можно записать как $x > 0$.

Рассмотрим знаки координат в каждой из четырех координатных четвертей:

I координатный угол (первая четверть): В этом углу располагаются точки, у которых и абсцисса, и ордината положительны. То есть, $x > 0$ и $y > 0$. Это соответствует условию задачи.

II координатный угол (вторая четверть): Здесь находятся точки с отрицательной абсциссой и положительной ординатой. То есть, $x < 0$ и $y > 0$. Это не соответствует условию задачи.

III координатный угол (третья четверть): В этом углу располагаются точки, у которых и абсцисса, и ордината отрицательны. То есть, $x < 0$ и $y < 0$. Это не соответствует условию задачи.

IV координатный угол (четвертая четверть): Здесь находятся точки с положительной абсциссой и отрицательной ординатой. То есть, $x > 0$ и $y < 0$. Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, точки, абсциссы которых положительны, находятся в I и IV координатных углах. Это вся правая полуплоскость относительно оси $Oy$.

Ответ: в I и IV координатных углах.

1060. В каких координатных углах находятся точки, ординаты которых положительны?

Координатная плоскость разделена двумя перпендикулярными осями: горизонтальной осью абсцисс ($Ox$) и вертикальной осью ординат ($Oy$). Эти оси делят плоскость на четыре области, называемые координатными углами, квадрантами или четвертями. Их нумерация идет против часовой стрелки, начиная с правого верхнего угла.

Каждая точка на плоскости характеризуется парой координат $(x; y)$, где $x$ — это абсцисса, а $y$ — это ордината. В задаче требуется определить, в каких координатных углах находятся точки, у которых ордината положительна, то есть выполняется условие $y > 0$.

Рассмотрим знаки координат в каждом из четырех координатных углов:

• I координатный угол: точки имеют положительную абсциссу и положительную ординату ($x > 0$, $y > 0$).
• II координатный угол: точки имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату ($x < 0$, $y > 0$).
• III координатный угол: точки имеют отрицательную абсциссу и отрицательную ординату ($x < 0$, $y < 0$).
• IV координатный угол: точки имеют положительную абсциссу и отрицательную ординату ($x > 0$, $y < 0$).

Исходя из этого, условие, что ордината точки положительна ($y > 0$), выполняется для I и II координатных углов. Эти углы расположены в верхней полуплоскости, то есть выше оси абсцисс $Ox$.

Ответ: в I и II координатных углах.

1061. Как надо понимать утверждение: между точками координатной плоскости и упорядоченными парами чисел имеет место взаимно однозначное соответствие?

Утверждение о взаимно однозначном соответствии между точками координатной плоскости и упорядоченными парами чисел означает, что между этими двумя множествами (множеством всех точек и множеством всех пар чисел) установлена идеальная связь, состоящая из двух ключевых условий:

1. Каждой точке на плоскости соответствует одна и только одна упорядоченная пара чисел (её координаты). Если мы возьмем любую точку $A$, то, опустив перпендикуляры на оси координат $Ox$ и $Oy$, мы получим единственную пару чисел $(x_A, y_A)$, которые являются ее координатами. Невозможно, чтобы у одной и той же точки было две разные пары координат.

2. Каждой упорядоченной паре чисел соответствует одна и только одна точка на плоскости. Если мы возьмем любую пару чисел $(a, b)$, то, найдя эти значения на осях и проведя через них перпендикулярные прямые, мы найдем их единственную точку пересечения. Невозможно, чтобы одна и та же пара координат соответствовала двум разным точкам в пространстве.

Таким образом, это утверждение нужно понимать так: создана система, в которой любая точка на плоскости может быть однозначно представлена парой чисел, и любая пара чисел однозначно определяет положение точки на плоскости. Эта связь является фундаментальным принципом аналитической геометрии, который позволяет использовать алгебраические методы для решения геометрических задач и наоборот.

Ответ: Утверждение означает, что каждой точке на координатной плоскости соответствует ровно одна упорядоченная пара чисел (её координаты), и наоборот, каждой упорядоченной паре чисел соответствует ровно одна точка на плоскости.

1062. Определите координаты точек, изображённых на рисунке 122.

Точка A: $A(3; 0)$

Точка B: $B(-2; 0)$

Точка C: $C(-2; 2)$

Точка D: $D(0; -3)$

Точка E: $E(2; -1)$

Точка F: $F(2; 3)$

Точка H: $H(-3; -2)$

Точка K: $K(3; -2)$

Точка M: $M(1; 1)$

Точка N: $N(-3; 3)$

Точка O: $O(0; 0)$

Рис. 122

Координаты точки на плоскости — это пара чисел $(x; y)$, где $x$ (абсцисса) — это положение точки вдоль горизонтальной оси (оси $Ox$), а $y$ (ордината) — положение вдоль вертикальной оси (оси $Oy$). Чтобы найти координаты точки, нужно из неё опустить перпендикуляры на оси $Ox$ и $Oy$ и посмотреть, на какие числовые значения они указывают. Если точка лежит на одной из осей, то одна из её координат равна нулю.

A

Точка A лежит на оси абсцисс (оси $x$) в точке со значением 3. Координата по оси ординат (оси $y$) для любой точки на оси $x$ равна 0.

Ответ: $A(3; 0)$

B

Точка B лежит на оси абсцисс (оси $x$) в точке со значением -2. Координата по оси ординат (оси $y$) для любой точки на оси $x$ равна 0.

Ответ: $B(-2; 0)$

C

Чтобы найти координаты точки C, опустим из нее перпендикуляры на оси координат. Перпендикуляр к оси $x$ попадает в точку -1. Это абсцисса точки C. Перпендикуляр к оси $y$ попадает в точку 2. Это ордината точки C.

Ответ: $C(-1; 2)$

D

Точка D лежит на оси ординат (оси $y$) в точке со значением -3. Координата по оси абсцисс (оси $x$) для любой точки на оси $y$ равна 0.

Ответ: $D(0; -3)$

E

Опустим перпендикуляры из точки E на оси. Проекция на ось $x$ — точка 2. Проекция на ось $y$ — точка -2.

Ответ: $E(2; -2)$

F

Проекция точки F на ось $x$ находится в точке 2. Проекция на ось $y$ находится в точке 3.

Ответ: $F(2; 3)$

H

Проекция точки H на ось $x$ — это -2. Проекция на ось $y$ — это -2.

Ответ: $H(-2; -2)$

K

Проекция точки K на ось $x$ — это 3. Проекция на ось $y$ — это -3.

Ответ: $K(3; -3)$

M

Точка M лежит на оси ординат (оси $y$) в точке со значением 1. Координата по оси абсцисс (оси $x$) для любой точки на оси $y$ равна 0.

Ответ: $M(0; 1)$

N

Проекция точки N на ось $x$ — это -2. Проекция на ось $y$ — это 4.

Ответ: $N(-2; 4)$

O

Точка O является началом координат, поэтому обе ее координаты равны нулю.

Ответ: $O(0; 0)$

1063. $A (4; 3)$, $B (2; 4)$, $C (-5; 2)$, $D (4; -3)$,

$E (-5; -1)$, $M (1; 3)$, $N (3; 0)$, $K (0; 4)$.

1) Какие из этих точек лежат на оси абсцисс?

Точка лежит на оси абсцисс (оси $Ox$), если ее ордината (координата $y$) равна нулю. Проверим координаты данных точек:

A(4; 3), $y=3 \neq 0$
B(2; 4), $y=4 \neq 0$
C(–5; 2), $y=2 \neq 0$
D(4; –3), $y=-3 \neq 0$
E(–5; –1), $y=-1 \neq 0$
M(1; 3), $y=3 \neq 0$
N(3; 0), $y=0$
K(0; 4), $y=4 \neq 0$

Условию удовлетворяет только точка N(3; 0).

Ответ: N(3; 0).

2) Какие из этих точек лежат на оси ординат?

Точка лежит на оси ординат (оси $Oy$), если ее абсцисса (координата $x$) равна нулю. Проверим координаты данных точек:

A(4; 3), $x=4 \neq 0$
B(2; 4), $x=2 \neq 0$
C(–5; 2), $x=-5 \neq 0$
D(4; –3), $x=4 \neq 0$
E(–5; –1), $x=-5 \neq 0$
M(1; 3), $x=1 \neq 0$
N(3; 0), $x=3 \neq 0$
K(0; 4), $x=0$

Условию удовлетворяет только точка K(0; 4).

Ответ: K(0; 4).

3) Какие из этих точек лежат на биссектрисе I координатного угла?

Биссектриса I координатного угла (первой четверти) задается уравнением $y=x$. Точка лежит на этой прямой, если ее координаты равны. Проверим все точки:

A(4; 3), так как $3 \neq 4$
B(2; 4), так как $4 \neq 2$
C(–5; 2), так как $2 \neq -5$
D(4; –3), так как $-3 \neq 4$
E(–5; –1), так как $-1 \neq -5$
M(1; 3), так как $3 \neq 1$
N(3; 0), так как $0 \neq 3$
K(0; 4), так как $4 \neq 0$

Ни одна из точек не лежит на биссектрисе I координатного угла.

Ответ: таких точек нет.

4) Какие из этих точек лежат на биссектрисе II координатного угла?

Биссектриса II координатного угла (второй четверти) задается уравнением $y=-x$. Точка лежит на этой прямой, если ее координаты являются противоположными числами. Проверим все точки:

A(4; 3), так как $3 \neq -4$
B(2; 4), так как $4 \neq -2$
C(–5; 2), так как $2 \neq -(-5)=5$
D(4; –3), так как $-3 \neq -4$
E(–5; –1), так как $-1 \neq -(-5)=5$
M(1; 3), так как $3 \neq -1$
N(3; 0), так как $0 \neq -3$
K(0; 4), так как $4 \neq -0=0$

Ни одна из точек не лежит на биссектрисе II координатного угла.

Ответ: таких точек нет.

5) Какие из данных точек имеют одинаковые абсциссы? Укажите прямую, на которой они лежат.

Абсцисса – это первая координата точки ($x$). Найдем точки с одинаковыми абсциссами:

- Точки A(4; 3) и D(4; –3) имеют одинаковую абсциссу $x=4$. Они лежат на вертикальной прямой, заданной уравнением $x=4$.
- Точки C(–5; 2) и E(–5; –1) имеют одинаковую абсциссу $x=-5$. Они лежат на вертикальной прямой, заданной уравнением $x=-5$.

Ответ: точки A(4; 3) и D(4; –3) лежат на прямой $x=4$; точки C(–5; 2) и E(–5; –1) лежат на прямой $x=-5$.

6) Какие из данных точек имеют одинаковые ординаты? Укажите прямую, на которой они лежат.

Ордината – это вторая координата точки ($y$). Найдем точки с одинаковыми ординатами:

- Точки A(4; 3) и M(1; 3) имеют одинаковую ординату $y=3$. Они лежат на горизонтальной прямой, заданной уравнением $y=3$.
- Точки B(2; 4) и K(0; 4) имеют одинаковую ординату $y=4$. Они лежат на горизонтальной прямой, заданной уравнением $y=4$.

Ответ: точки A(4; 3) и M(1; 3) лежат на прямой $y=3$; точки B(2; 4) и K(0; 4) лежат на прямой $y=4$.

1064. A $(5; 1)$, B $(-4; 2)$, S $(-3; -2)$, Q $(1; -4)$,

C $(-5; -4)$, D $(4; -2)$, Z $(-3; 0)$, P $(0; 4)$.

Поскольку в задании не указан конкретный вопрос, а только перечислены координаты точек, приведем решения для наиболее типичных задач по координатной геометрии, которые могут быть связаны с этими данными.

а) Найдите длины сторон четырехугольника ABCD.

Чтобы найти длины сторон четырехугольника ABCD с вершинами A(5; 1), B(-4; 2), C(-5; -4), D(4; -2), воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина стороны AB:
$|AB| = \sqrt{(-4 - 5)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 1^2} = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}$.

Длина стороны BC:
$|BC| = \sqrt{(-5 - (-4))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$.

Длина стороны CD:
$|CD| = \sqrt{(4 - (-5))^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{9^2 + 2^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}$.

Длина стороны DA:
$|DA| = \sqrt{(5 - 4)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Ответ: $|AB| = \sqrt{82}$, $|BC| = \sqrt{37}$, $|CD| = \sqrt{85}$, $|DA| = \sqrt{10}$.

б) Является ли четырехугольник ABCD параллелограммом?

Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это равносильно тому, что середины его диагоналей совпадают. Найдем координаты середин диагоналей AC и BD, используя формулу середины отрезка: $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Середина диагонали AC (точки A(5; 1) и C(-5; -4)):
$x_{AC} = \frac{5 + (-5)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_{AC} = \frac{1 + (-4)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$
Координаты середины AC: $(0; -1.5)$.

Середина диагонали BD (точки B(-4; 2) и D(4; -2)):
$x_{BD} = \frac{-4 + 4}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_{BD} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Координаты середины BD: $(0; 0)$.

Так как координаты середин диагоналей AC $(0; -1.5)$ и BD $(0; 0)$ не совпадают, четырехугольник ABCD не является параллелограммом.

Ответ: Нет, четырехугольник ABCD не является параллелограммом.

в) Какая пара из данных точек симметрична относительно начала координат?

Две точки $M(x; y)$ и $N(x'; y')$ называются симметричными относительно начала координат O(0; 0), если их координаты являются противоположными числами, то есть $x' = -x$ и $y' = -y$.

Проверим данные точки:

• Для точки A(5; 1) симметричной будет точка (-5; -1), которой нет в списке.
• Для точки B(-4; 2) симметричной будет точка (4; -2). Эта точка есть в списке — это точка D(4; -2).
• Для точки C(-5; -4) симметричной будет точка (5; 4), которой нет в списке.
• Для точки S(-3; -2) симметричной будет точка (3; 2), которой нет в списке.
• Для точки Q(1; -4) симметричной будет точка (-1; 4), которой нет в списке.
• Для точки Z(-3; 0) симметричной будет точка (3; 0), которой нет в списке.
• Для точки P(0; 4) симметричной будет точка (0; -4), которой нет в списке.

Следовательно, единственная пара точек, симметричных относительно начала координат, — это B и D.

Ответ: Точки B(-4; 2) и D(4; -2).

г) Напишите уравнение прямой, проходящей через точки Z и P.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки Z(-3; 0) и P(0; 4), используем каноническое уравнение прямой: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Подставим координаты точек Z($x_1$; $y_1$) и P($x_2$; $y_2$):
$\frac{x - (-3)}{0 - (-3)} = \frac{y - 0}{4 - 0}$

$\frac{x + 3}{3} = \frac{y}{4}$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом ($y = kx + b$):
$4(x + 3) = 3y$
$4x + 12 = 3y$
$y = \frac{4}{3}x + 4$

Ответ: $y = \frac{4}{3}x + 4$.