Страница 213 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1053. Укажите на координатной оси точки:

а) 10; 11; 12; 13;

б) -25; -24; -23; -22;

в) 100; 101; 102; 103;

г) -257; -256; -255; -254;

д) 60; 70; 80; 90; 100;

е) -30; -20; -10; 0; 10.

а) Для того чтобы указать точки $10, 11, 12, 13$ на координатной оси, нужно сначала начертить саму ось, выбрать на ней начало отсчета (точку $0$) и единичный отрезок. Все указанные числа являются положительными, поэтому они будут расположены справа от нуля. Так как числа идут подряд ($10, 11, 12, 13$), расстояние между каждой соседней точкой будет равно одному единичному отрезку. Точки располагаются на оси в порядке возрастания слева направо.
Ответ: Точки на координатной оси располагаются справа от нуля в следующем порядке (слева направо): $10, 11, 12, 13$.

б) Точки $-25, -24, -23, -22$ являются отрицательными, поэтому на координатной оси они будут расположены слева от начала отсчета (точки $0$). На координатной оси числа увеличиваются при движении слева направо. Так как $-25 < -24 < -23 < -22$, то точка $-25$ будет лежать левее всех, а точка $-22$ — правее всех из данной группы. Расстояние между соседними точками равно одному единичному отрезку.
Ответ: Точки на координатной оси располагаются слева от нуля в следующем порядке (слева направо): $-25, -24, -23, -22$.

в) Точки $100, 101, 102, 103$ — положительные целые числа. Они располагаются на координатной оси справа от нуля. Эти числа являются последовательными, поэтому расстояние между соседними точками равно одному единичному отрезку. Точки на оси располагаются в порядке возрастания их значений слева направо. Для удобства можно изобразить не всю ось от $0$, а только интересующий нас участок.
Ответ: Точки на координатной оси располагаются справа от нуля в следующем порядке (слева направо): $100, 101, 102, 103$.

г) Точки $-257, -256, -255, -254$ — отрицательные целые числа. Они располагаются на координатной оси слева от нуля. Чем больше модуль отрицательного числа, тем левее оно находится на оси. Поскольку $-257 < -256 < -255 < -254$, точки на оси будут расположены именно в этом порядке слева направо. Расстояние между соседними точками составляет один единичный отрезок.
Ответ: Точки на координатной оси располагаются слева от нуля в следующем порядке (слева направо): $-257, -256, -255, -254$.

д) Точки $60, 70, 80, 90, 100$ — положительные числа, они располагаются справа от нуля. Разница между каждым последующим и предыдущим числом составляет $10$. Поэтому удобно выбрать такой масштаб, где один единичный отрезок будет соответствовать $10$ единицам. Точки располагаются в порядке возрастания слева направо.
Ответ: Точки на координатной оси располагаются справа от нуля в следующем порядке (слева направо): $60, 70, 80, 90, 100$. Расстояние между соседними точками равно $10$ единицам.

е) В наборе точек $-30, -20, -10, 0, 10$ присутствуют отрицательные числа, ноль и положительное число. Точка $0$ совпадает с началом отсчета. Точки $-30, -20, -10$ располагаются слева от нуля, а точка $10$ — справа от нуля. Расстояние между соседними точками в этом ряду равно $10$. Удобно выбрать единичный отрезок, равный $10$. Точки на оси располагаются в порядке их возрастания.
Ответ: Точки на координатной оси располагаются в следующем порядке (слева направо): $-30, -20, -10, 0, 10$. Расстояние между соседними точками равно $10$ единицам.

1054. Укажите на координатной оси точки:

а) $2$; $2.1$; $2.2$; $2.3$; $2.4$;

б) $-3.2$; $-3.1$; $-3$; $-2.9$; $-2.8$;

в) $0.01$; $0.02$; $0.03$;

г) $-0.04$; $-0.05$; $-0.06$;

д) $4.053$; $4.054$; $4.055$;

е) $-10.01$; $-10.02$; $-10.03$.

а)

Даны точки с координатами $2$; $2,1$; $2,2$; $2,3$; $2,4$. Все эти числа являются положительными. На координатной оси они будут расположены правее нуля. Чтобы указать их на оси, сравним их. Числа уже расположены в порядке возрастания: $2 < 2,1 < 2,2 < 2,3 < 2,4$. Это значит, что на координатной оси они будут идти друг за другом слева направо в указанном порядке.

Схематичное изображение на координатной оси:

-----|----------|----------|----------|----------|-----> 2 2,1 2,2 2,3 2,4

Ответ: Точки на координатной оси располагаются в следующем порядке (слева направо): $2$; $2,1$; $2,2$; $2,3$; $2,4$.

б)

Даны точки с координатами $-3,2$; $-3,1$; $-3$; $-2,9$; $-2,8$. Все эти числа являются отрицательными и будут расположены левее нуля. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним данные числа: $-3,2 < -3,1 < -3 < -2,9 < -2,8$. Следовательно, на координатной оси точки будут располагаться в этом порядке слева направо.

Схематичное изображение на координатной оси:

<-----|----------|----------|----------|----------|----- -3,2 -3,1 -3 -2,9 -2,8

Ответ: Точки на координатной оси располагаются в следующем порядке (слева направо): $-3,2$; $-3,1$; $-3$; $-2,9$; $-2,8$.

в)

Даны точки с координатами $0,01$; $0,02$; $0,03$. Эти числа положительные и находятся очень близко к нулю. Сравнивая их, получаем: $0,01 < 0,02 < 0,03$. На координатной оси они будут расположены правее нуля в указанном порядке.

Схематичное изображение на координатной оси:

---_--|----------|----------|----------|-----> 0 0,01 0,02 0,03

Ответ: Точки на координатной оси располагаются в следующем порядке (слева направо): $0,01$; $0,02$; $0,03$.

г)

Даны точки с координатами $-0,04$; $-0,05$; $-0,06$. Эти числа отрицательные. Чтобы их расположить на оси, сравним их. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Сравниваем модули: $|-0,06| = 0,06$, $|-0,05| = 0,05$, $|-0,04| = 0,04$. Так как $0,06 > 0,05 > 0,04$, то $-0,06 < -0,05 < -0,04$.

Схематичное изображение на координатной оси:

<-----|----------|----------|----------|---_-- -0,06 -0,05 -0,04 0

Ответ: Точки на координатной оси располагаются в следующем порядке (слева направо): $-0,06$; $-0,05$; $-0,04$.

д)

Даны точки с координатами $4,053$; $4,054$; $4,055$. Эти числа положительные. Сравнивая их, получаем: $4,053 < 4,054 < 4,055$. На координатной оси они будут расположены в этом порядке слева направо.

Схематичное изображение на координатной оси:

-----|----------|----------|----------|-----> 4,053 4,054 4,055

Ответ: Точки на координатной оси располагаются в следующем порядке (слева направо): $4,053$; $4,054$; $4,055$.

е)

Даны точки с координатами $-10,01$; $-10,02$; $-10,03$. Эти числа отрицательные. Сравним их, используя правило для отрицательных чисел: больше то число, модуль которого меньше. Модули чисел равны: $|-10,01| = 10,01$, $|-10,02| = 10,02$, $|-10,03| = 10,03$. Поскольку $10,01 < 10,02 < 10,03$, то $-10,01 > -10,02 > -10,03$. Таким образом, в порядке возрастания числа располагаются так: $-10,03 < -10,02 < -10,01$.

Схематичное изображение на координатной оси:

<-----|----------|----------|----------|----- -10,03 -10,02 -10,01

Ответ: Точки на координатной оси располагаются в следующем порядке (слева направо): $-10,03$; $-10,02$; $-10,01$.

1055. Покажите на оси $x$ числа, которые:

а) больше 3;

б) меньше $-2$;

в) больше 1,5;

г) меньше 7,2;

д) больше 4;

е) меньше $-3$;

ж) больше $-1$, но меньше 0;

з) больше $-2$, но меньше 5;

и) больше 0, но меньше 2;

к) больше $-3$, но меньше 3.

а) Условие "числа больше 3" означает, что искомые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $x > 3$. На числовой оси это все точки, которые лежат правее точки с координатой 3. Граничная точка 3 не включается в промежуток. Этот числовой промежуток представляет собой открытый луч, который записывается в виде $(3; +\infty)$.
Ответ: $x > 3$, или $x \in (3; +\infty)$.

б) Условие "числа меньше –2" означает, что искомые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $x < -2$. На числовой оси это все точки, которые лежат левее точки с координатой -2. Граничная точка -2 не включается. Этот числовой промежуток представляет собой открытый луч, который записывается в виде $(-\infty; -2)$.
Ответ: $x < -2$, или $x \in (-\infty; -2)$.

в) Условие "числа больше 1,5" означает, что искомые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $x > 1,5$. На числовой оси это все точки, которые лежат правее точки с координатой 1,5. Граничная точка 1,5 не включается. Этот числовой промежуток записывается как $(1,5; +\infty)$.
Ответ: $x > 1,5$, или $x \in (1,5; +\infty)$.

г) Условие "числа меньше 7,2" означает, что искомые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $x < 7,2$. На числовой оси это все точки, которые лежат левее точки с координатой 7,2. Граничная точка 7,2 не включается. Этот числовой промежуток записывается как $(-\infty; 7,2)$.
Ответ: $x < 7,2$, или $x \in (-\infty; 7,2)$.

д) Условие "числа больше 4" означает, что искомые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $x > 4$. На числовой оси это все точки, которые лежат правее точки с координатой 4. Граничная точка 4 не включается. Этот числовой промежуток записывается как $(4; +\infty)$.
Ответ: $x > 4$, или $x \in (4; +\infty)$.

е) Условие "числа меньше –3" означает, что искомые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $x < -3$. На числовой оси это все точки, которые лежат левее точки с координатой -3. Граничная точка -3 не включается. Этот числовой промежуток записывается как $(-\infty; -3)$.
Ответ: $x < -3$, или $x \in (-\infty; -3)$.

ж) Условие "числа больше –1, но меньше 0" означает, что искомые числа $x$ должны одновременно удовлетворять двум условиям: $x > -1$ и $x < 0$. Это можно записать в виде двойного неравенства $-1 < x < 0$. На числовой оси это все точки, которые лежат между точками с координатами -1 и 0. Граничные точки -1 и 0 не включаются. Этот числовой промежуток называется интервалом и записывается как $(-1; 0)$.
Ответ: $-1 < x < 0$, или $x \in (-1; 0)$.

з) Условие "числа больше –2, но меньше 5" означает, что искомые числа $x$ должны удовлетворять двойному неравенству $-2 < x < 5$. На числовой оси это все точки, которые лежат между точками с координатами -2 и 5. Граничные точки -2 и 5 не включаются. Этот числовой промежуток называется интервалом и записывается как $(-2; 5)$.
Ответ: $-2 < x < 5$, или $x \in (-2; 5)$.

и) Условие "числа больше 0, но меньше 2" означает, что искомые числа $x$ должны удовлетворять двойному неравенству $0 < x < 2$. На числовой оси это все точки, которые лежат между точками с координатами 0 и 2. Граничные точки 0 и 2 не включаются. Этот числовой промежуток называется интервалом и записывается как $(0; 2)$.
Ответ: $0 < x < 2$, или $x \in (0; 2)$.

к) Условие "числа больше –3, но меньше 3" означает, что искомые числа $x$ должны удовлетворять двойному неравенству $-3 < x < 3$. На числовой оси это все точки, которые лежат между точками с координатами -3 и 3. Граничные точки -3 и 3 не включаются. Этот числовой промежуток называется интервалом и записывается как $(-3; 3)$.
Ответ: $-3 < x < 3$, или $x \in (-3; 3)$.