Страница 217 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1065. Назовите абсциссы и ординаты точек, постройте точки в системе координат:

а) $A (-3; 4)$, $B (4; -2)$, $C (-2; -4)$, $D (5; 2);$

б) $E (0; 4)$, $F (0; -4)$, $M (3; 0)$, $N (-3; 0).$

a)

Координаты точки записываются в формате $(x; y)$, где $x$ — это абсцисса (горизонтальная координата), а $y$ — это ордината (вертикальная координата).

Для точки $A(-3; 4)$: абсцисса $x = -3$, ордината $y = 4$.

Для точки $B(4; -2)$: абсцисса $x = 4$, ордината $y = -2$.

Для точки $C(-2; -4)$: абсцисса $x = -2$, ордината $y = -4$.

Для точки $D(5; 2)$: абсцисса $x = 5$, ордината $y = 2$.

Построение точек в декартовой системе координат:

Ответ: Для точки A абсцисса $-3$, ордината $4$; для точки B абсцисса $4$, ордината $-2$; для точки C абсцисса $-2$, ордината $-4$; для точки D абсцисса $5$, ордината $2$. Точки построены на графике.

б)

Для точки $E(0; 4)$: абсцисса $x = 0$, ордината $y = 4$. Так как абсцисса равна нулю, точка лежит на оси ординат ($Oy$).

Для точки $F(0; -4)$: абсцисса $x = 0$, ордината $y = -4$. Точка также лежит на оси ординат ($Oy$).

Для точки $M(3; 0)$: абсцисса $x = 3$, ордината $y = 0$. Так как ордината равна нулю, точка лежит на оси абсцисс ($Ox$).

Для точки $N(-3; 0)$: абсцисса $x = -3$, ордината $y = 0$. Точка также лежит на оси абсцисс ($Ox$).

Построение точек в декартовой системе координат:

Ответ: Для точки E абсцисса $0$, ордината $4$; для точки F абсцисса $0$, ордината $-4$; для точки M абсцисса $3$, ордината $0$; для точки N абсцисса $-3$, ордината $0$. Точки построены на графике.

1066. Постройте в системе координат точки $(2; 1)$, $(2; 5)$, $(6; 5)$, $(5; 4)$, $(6; 3)$, $(2; 3)$. Соедините отрезками первую точку со второй, вторую с третьей и т. д. Какая фигура получилась?

Для решения задачи необходимо выполнить построение на координатной плоскости и проанализировать полученный результат.

1. Построение точек и их соединение отрезками

Сначала построим прямоугольную систему координат с осями $Ox$ (ось абсцисс) и $Oy$ (ось ординат). Затем отметим на этой плоскости заданные точки, используя их координаты в формате $(x; y)$:

• Точка 1: $(2; 1)$
• Точка 2: $(2; 5)$
• Точка 3: $(6; 5)$
• Точка 4: $(5; 4)$
• Точка 5: $(6; 3)$
• Точка 6: $(2; 3)$

Далее, согласно условию, последовательно соединим эти точки отрезками: первую со второй, вторую с третьей, и так далее. В задачах такого типа обычно предполагается, что фигура должна быть замкнутой, поэтому мы соединим и последнюю (шестую) точку с первой.

Результат построения показан на графике ниже:

Какая фигура получилась?

В результате соединения точек получился замкнутый многоугольник. Если посчитать количество его вершин (заданных точек), их окажется шесть. Геометрическая фигура с шестью вершинами и шестью сторонами называется шестиугольником.

Также можно заметить, что этот шестиугольник является невыпуклым (или вогнутым), так как его внутренний угол при вершине $(5; 4)$ больше $180^\circ$.

Ответ: получилась фигура - невыпуклый шестиугольник.

1067. Постройте по данным точкам в системе координат фигуры, соединяя точки, как в предыдущем задании:

a) $(0; 4)$, $(-2; -2)$, $(3; 2)$, $(-3; 2)$, $(2; -2)$, $(0; 4);$

б) $(2; 3)$, $(-2; 3)$, $(-2; 5)$, $(3; 5)$, $(5; 3)$, $(2; 3)$, $(2; -5)$, $(0; -5)$, $(0; 3);$

в) $(0; -4)$, $(0; 0)$, $(3; 3)$, $(6; 0)$, $(6; -4)$, $(0; -4)$, $(6; 0)$, $(0; 0)$, $(6; -4).$

а) Чтобы построить фигуру по заданным точкам, выполним следующие действия:

1. Начертим прямоугольную систему координат.
2. Отметим на ней точки в указанном порядке: $(0; 4)$, $(-2; -2)$, $(3; 2)$, $(-3; 2)$, $(2; -2)$, $(0; 4)$.
3. Последовательно соединим точки отрезками. Первую точку $(0; 4)$ соединяем со второй $(-2; -2)$, вторую с третьей $(3; 2)$, третью с четвертой $(-3; 2)$, четвертую с пятой $(2; -2)$ и пятую с последней точкой $(0; 4)$.

Поскольку последняя точка совпадает с первой, фигура является замкнутой. В результате построения получается самопересекающийся многоугольник.

Ответ: Полученная фигура – пятиконечная звезда.

б) Для построения фигуры по заданным точкам выполним следующие действия:

1. Начертим прямоугольную систему координат.
2. Отметим на ней все заданные точки: $(2; 3)$, $(-2; 3)$, $(-2; 5)$, $(3; 5)$, $(5; 3)$, $(2; 3)$, $(2; -5)$, $(0; -5)$, $(0; 3)$.
3. Будем последовательно соединять точки отрезками. Точка $(2; 3)$ повторяется, что указывает на то, что сначала строится замкнутая фигура, а затем от нее продолжается линия.
   • Сначала соединяем точки $(2; 3) \rightarrow (-2; 3) \rightarrow (-2; 5) \rightarrow (3; 5) \rightarrow (5; 3) \rightarrow (2; 3)$. Эта часть образует замкнутый пятиугольник, похожий на крышу дома.
   • Затем от точки $(2; 3)$ продолжаем линию, соединяя ее с точкой $(2; -5)$, далее точку $(2; -5)$ с $(0; -5)$, и точку $(0; -5)$ с $(0; 3)$. Эта часть дорисовывает правую стену, часть пола и внутреннюю стену дома.

В результате построения получается незамкнутая фигура, которая является схематичным рисунком дома.

Ответ: Полученная фигура – рисунок дома.

в) Для построения фигуры по заданным точкам выполним следующие действия:

1. Начертим прямоугольную систему координат.
2. Отметим на ней все заданные точки: $(0; -4)$, $(0; 0)$, $(3; 3)$, $(6; 0)$, $(6; -4)$, $(0; -4)$, $(6; 0)$, $(0; 0)$, $(6; -4)$.
3. Будем последовательно соединять точки отрезками. Точка $(0; -4)$ повторяется, что указывает на разделение построения на две части.
   • Сначала соединяем точки $(0; -4) \rightarrow (0; 0) \rightarrow (3; 3) \rightarrow (6; 0) \rightarrow (6; -4) \rightarrow (0; -4)$. В результате получается замкнутый пятиугольник, который является внешним контуром конверта (прямоугольная часть и треугольный клапан).
   • Затем строим дополнительную ломаную линию по оставшимся точкам. Соединяем точку $(6; 0)$ с точкой $(0; 0)$, а затем точку $(0; 0)$ с точкой $(6; -4)$. Эти отрезки являются внутренними линиями конверта, обозначающими край клапана и сгиб.

В результате построения получается фигура, которая является схематичным рисунком почтового конверта.

Ответ: Полученная фигура – рисунок конверта.

1068. Постройте фигуру животного по точкам: $(4; -3)$, $(2; -3)$, $(2; -2)$, $(4; -2)$, $(4; -1)$, $(3; 1)$, $(2; 1)$, $(1; 2)$, $(0; 0)$, $(-3; 2)$, $(-4; 5)$, $(0; 8)$, $(2; 7)$, $(6; 7)$, $(8; 8)$, $(10; 6)$, $(10; 2)$, $(7; 0)$, $(6; 2)$, $(6; -2)$, $(5; -3)$, $(4; -3)$, $(4; -5)$, $(3; -9)$, $(0; -8)$, $(1; -5)$, $(1; -4)$, $(0; -4)$, $(0; -9)$, $(-3; -9)$, $(-3; -3)$, $(-7; -3)$, $(-7; -7)$, $(-8; -7)$, $(-8; -8)$, $(-11; -8)$, $(-10; -4)$, $(-11; -1)$, $(-14; -3)$, $(-12; -1)$, $(-11; 2)$, $(-8; 4)$, $(-4; 5)$.

Постройте отдельно две точки: $(2; 4)$, $(6; 4)$ — это глаза животного.

Для того чтобы построить фигуру, необходимо начертить прямоугольную (декартову) систему координат с осями $Ox$ и $Oy$ и началом в точке $(0; 0)$. Затем нужно последовательно отметить на координатной плоскости все заданные точки и соединить их отрезками в том порядке, в котором они перечислены.

Построение фигуры животного по точкам

Выполним построение, последовательно соединяя отрезками следующие точки:

Соединение этих точек формирует основной контур животного.

Постройте отдельно две точки: (2; 4), (6; 4) — это глаза животного

Далее необходимо отметить две точки, не соединяя их с основной фигурой. Эти точки будут изображать глаза:

$(2; 4)$ и $(6; 4)$.

В результате выполнения всех построений на координатной плоскости появится изображение, похожее на динозавра. Ниже представлен итоговый рисунок.

Ответ: В результате построения по заданным координатам получается фигура динозавра.

1069. Постройте отрезки $AB$ и $CD$, если $A (-3; 4)$, $B (2; -1)$, $C (-2; 0)$, $D (4; 3)$. Найдите координаты точки пересечения отрезков $AB$ и $CD$.

Для нахождения координат точки пересечения отрезков AB и CD необходимо сначала найти уравнения прямых, содержащих эти отрезки, а затем решить систему этих уравнений, чтобы найти координаты их общей точки.

1. Составление уравнения прямой AB

Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, можно записать в виде:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек A(-3; 4) и B(2; -1):

$\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 4}{-1 - 4}$

$\frac{x + 3}{5} = \frac{y - 4}{-5}$

Из этого уравнения выразим $y$:

$x + 3 = -(y - 4)$

$x + 3 = -y + 4$

$y = -x + 4 - 3$

$y = -x + 1$

2. Составление уравнения прямой CD

Аналогично, подставим координаты точек C(-2; 0) и D(4; 3) в формулу уравнения прямой:

$\frac{x - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{y - 0}{3 - 0}$

$\frac{x + 2}{6} = \frac{y}{3}$

Выразим $y$:

$3(x + 2) = 6y$

$x + 2 = 2y$

$y = \frac{1}{2}x + 1$

3. Нахождение координат точки пересечения

Теперь найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x + 1 \\ y = \frac{1}{2}x + 1 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:

$-x + 1 = \frac{1}{2}x + 1$

$-x = \frac{1}{2}x$

$0 = \frac{1}{2}x + x$

$0 = \frac{3}{2}x$

$x = 0$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = -0 + 1$

$y = 1$

Координаты точки пересечения прямых — (0; 1).

4. Проверка принадлежности точки отрезкам

Необходимо убедиться, что найденная точка лежит на обоих отрезках, а не только на прямых. Для этого ее координаты должны находиться между координатами концов каждого отрезка.

Для отрезка AB [A(-3; 4), B(2; -1)] и точки (0; 1):

Координата $x=0$ находится в диапазоне $[-3; 2]$.

Координата $y=1$ находится в диапазоне $[-1; 4]$.

Следовательно, точка (0; 1) принадлежит отрезку AB.

Для отрезка CD [C(-2; 0), D(4; 3)] и точки (0; 1):

Координата $x=0$ находится в диапазоне $[-2; 4]$.

Координата $y=1$ находится в диапазоне $[0; 3]$.

Следовательно, точка (0; 1) принадлежит отрезку CD.

Так как точка (0; 1) принадлежит обоим отрезкам, она является их точкой пересечения.

Ответ: (0; 1).

1070. Постройте прямые $AB$ и $CD$, если $A(-1; 1)$, $B(1; 2)$, $C(-3; 0)$, $D(2; 1)$. Найдите координаты точки пересечения прямых $AB$ и $CD$.

Построение прямых AB и CD

1. Начертим систему координат с осями Ox и Oy.

2. Отметим на координатной плоскости точки с заданными координатами:
A (−1; 1)
B (1; 2)
C (−3; 0)
D (2; 1)

3. С помощью линейки проведем прямую через точки A и B. Это будет прямая AB.

4. Аналогично проведем прямую через точки C и D. Это будет прямая CD.

Нахождение координат точки пересечения

Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно найти уравнения прямых AB и CD, а затем решить систему этих уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

1. Найдем уравнение прямой AB, проходящей через точки A(−1; 1) и B(1; 2):
Подставим координаты точек в формулу:
$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - 1}{2 - 1}$
$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1}$
$x + 1 = 2(y - 1)$
$x + 1 = 2y - 2$
$2y = x + 3$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

2. Найдем уравнение прямой CD, проходящей через точки C(−3; 0) и D(2; 1):
Подставим координаты точек в формулу:
$\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 0}{1 - 0}$
$\frac{x + 3}{5} = \frac{y}{1}$
$y = \frac{x + 3}{5}$
$y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$

3. Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений прямых AB и CD:
$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5):
$10 \cdot (\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}) = 10 \cdot (\frac{1}{5}x + \frac{3}{5})$
$5x + 15 = 2x + 6$
$5x - 2x = 6 - 15$
$3x = -9$
$x = -3$

Теперь найдем координату y, подставив значение x = -3 в любое из уравнений. Например, в уравнение прямой CD:
$y = \frac{1}{5}(-3) + \frac{3}{5}$
$y = -\frac{3}{5} + \frac{3}{5}$
$y = 0$

Координаты точки пересечения прямых AB и CD равны (−3; 0). Это совпадает с координатами точки C.

Ответ: $(-3; 0)$.

1071. Придумайте задачу на построение фигур по точкам, заданным своими координатами.

Задача:

На координатной плоскости постройте фигуру по точкам с заданными координатами: A(-3, -2), B(5, -2), C(5, 3), D(-3, 3), E(1, 6). Точки необходимо соединить отрезками в следующей последовательности: A → B → C → E → D → A.

Определите:
а) Вид четырехугольника ABCD.
б) Периметр и площадь всей получившейся фигуры ABСED.

Решение:

Сначала построим фигуру. Для этого отметим заданные точки на координатной плоскости и соединим их отрезками в указанном порядке. В результате получится фигура, похожая на дом, состоящая из четырехугольника ABCD (основание) и треугольника DCE (крыша).

а) Вид четырехугольника ABCD

Для определения вида четырехугольника ABCD найдем длины его сторон и проверим их взаимное расположение.

1. Длина стороны AB. Точки A(-3, -2) и B(5, -2) имеют одинаковую ординату (y = -2), следовательно, сторона AB параллельна оси Ox. Её длина равна модулю разности абсцисс:
$|AB| = |5 - (-3)| = |5 + 3| = 8$.

2. Длина стороны BC. Точки B(5, -2) и C(5, 3) имеют одинаковую абсциссу (x = 5), следовательно, сторона BC параллельна оси Oy. Её длина равна модулю разности ординат:
$|BC| = |3 - (-2)| = |3 + 2| = 5$.

3. Длина стороны CD. Точки C(5, 3) и D(-3, 3) имеют одинаковую ординату (y = 3), следовательно, сторона CD параллельна оси Ox. Её длина равна модулю разности абсцисс:
$|CD| = |-3 - 5| = |-8| = 8$.

4. Длина стороны DA. Точки D(-3, 3) и A(-3, -2) имеют одинаковую абсциссу (x = -3), следовательно, сторона DA параллельна оси Oy. Её длина равна модулю разности ординат:
$|DA| = |-2 - 3| = |-5| = 5$.

Мы видим, что противолежащие стороны попарно равны ($|AB| = |CD| = 8$ и $|BC| = |DA| = 5$). Кроме того, стороны, параллельные оси Ox, перпендикулярны сторонам, параллельным оси Oy. Значит, все углы четырехугольника ABCD прямые. Следовательно, ABCD — прямоугольник.

Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником.

б) Периметр и площадь всей получившейся фигуры ABСED

1. Найдем периметр фигуры.

Периметр фигуры ABСED равен сумме длин ее сторон: $P = |AB| + |BC| + |CE| + |ED| + |DA|$.
Длины сторон AB, BC и DA мы уже нашли: $|AB| = 8$, $|BC| = 5$, $|DA| = 5$.
Найдем длины сторон CE и ED по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Для стороны CE с концами в точках C(5, 3) и E(1, 6):
$|CE| = \sqrt{(1 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Для стороны ED с концами в точках E(1, 6) и D(-3, 3):
$|ED| = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Теперь можем вычислить периметр:
$P = 8 + 5 + 5 + 5 + 5 = 28$.

2. Найдем площадь фигуры.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей прямоугольника ABCD и треугольника DCE.
Площадь прямоугольника ABCD:
$S_{ABCD} = |AB| \cdot |BC| = 8 \cdot 5 = 40$.
Для нахождения площади треугольника DCE воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания возьмем сторону CD. Ее длина $|CD| = 8$. Высотой будет перпендикуляр, опущенный из точки E на прямую CD. Так как сторона CD горизонтальна (лежит на прямой y = 3), высота будет равна разности ординат точки E и этой прямой:
$h = |y_E - y_D| = |6 - 3| = 3$.
Площадь треугольника DCE:
$S_{DCE} = \frac{1}{2} \cdot |CD| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$.
Общая площадь фигуры:
$S_{общая} = S_{ABCD} + S_{DCE} = 40 + 12 = 52$.

Ответ: Периметр фигуры равен 28, а ее площадь равна 52 квадратных единицы.