Номер 1071, страница 217 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.9. Декартова система координат на плоскости - номер 1071, страница 217.

Условие.

1071. Придумайте задачу на построение фигур по точкам, заданным своими координатами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Задача:

На координатной плоскости постройте фигуру по точкам с заданными координатами: A(-3, -2), B(5, -2), C(5, 3), D(-3, 3), E(1, 6). Точки необходимо соединить отрезками в следующей последовательности: A → B → C → E → D → A.

Определите:
а) Вид четырехугольника ABCD.
б) Периметр и площадь всей получившейся фигуры ABСED.

Решение:

Сначала построим фигуру. Для этого отметим заданные точки на координатной плоскости и соединим их отрезками в указанном порядке. В результате получится фигура, похожая на дом, состоящая из четырехугольника ABCD (основание) и треугольника DCE (крыша).

а) Вид четырехугольника ABCD

Для определения вида четырехугольника ABCD найдем длины его сторон и проверим их взаимное расположение.

1. Длина стороны AB. Точки A(-3, -2) и B(5, -2) имеют одинаковую ординату (y = -2), следовательно, сторона AB параллельна оси Ox. Её длина равна модулю разности абсцисс:
$|AB| = |5 - (-3)| = |5 + 3| = 8$.

2. Длина стороны BC. Точки B(5, -2) и C(5, 3) имеют одинаковую абсциссу (x = 5), следовательно, сторона BC параллельна оси Oy. Её длина равна модулю разности ординат:
$|BC| = |3 - (-2)| = |3 + 2| = 5$.

3. Длина стороны CD. Точки C(5, 3) и D(-3, 3) имеют одинаковую ординату (y = 3), следовательно, сторона CD параллельна оси Ox. Её длина равна модулю разности абсцисс:
$|CD| = |-3 - 5| = |-8| = 8$.

4. Длина стороны DA. Точки D(-3, 3) и A(-3, -2) имеют одинаковую абсциссу (x = -3), следовательно, сторона DA параллельна оси Oy. Её длина равна модулю разности ординат:
$|DA| = |-2 - 3| = |-5| = 5$.

Мы видим, что противолежащие стороны попарно равны ($|AB| = |CD| = 8$ и $|BC| = |DA| = 5$). Кроме того, стороны, параллельные оси Ox, перпендикулярны сторонам, параллельным оси Oy. Значит, все углы четырехугольника ABCD прямые. Следовательно, ABCD — прямоугольник.

Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником.

б) Периметр и площадь всей получившейся фигуры ABСED

1. Найдем периметр фигуры.

Периметр фигуры ABСED равен сумме длин ее сторон: $P = |AB| + |BC| + |CE| + |ED| + |DA|$.
Длины сторон AB, BC и DA мы уже нашли: $|AB| = 8$, $|BC| = 5$, $|DA| = 5$.
Найдем длины сторон CE и ED по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Для стороны CE с концами в точках C(5, 3) и E(1, 6):
$|CE| = \sqrt{(1 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Для стороны ED с концами в точках E(1, 6) и D(-3, 3):
$|ED| = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Теперь можем вычислить периметр:
$P = 8 + 5 + 5 + 5 + 5 = 28$.

2. Найдем площадь фигуры.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей прямоугольника ABCD и треугольника DCE.
Площадь прямоугольника ABCD:
$S_{ABCD} = |AB| \cdot |BC| = 8 \cdot 5 = 40$.
Для нахождения площади треугольника DCE воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания возьмем сторону CD. Ее длина $|CD| = 8$. Высотой будет перпендикуляр, опущенный из точки E на прямую CD. Так как сторона CD горизонтальна (лежит на прямой y = 3), высота будет равна разности ординат точки E и этой прямой:
$h = |y_E - y_D| = |6 - 3| = 3$.
Площадь треугольника DCE:
$S_{DCE} = \frac{1}{2} \cdot |CD| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$.
Общая площадь фигуры:
$S_{общая} = S_{ABCD} + S_{DCE} = 40 + 12 = 52$.

Ответ: Периметр фигуры равен 28, а ее площадь равна 52 квадратных единицы.