Номер 1069, страница 217 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.9. Декартова система координат на плоскости - номер 1069, страница 217.

Условие.

1069. Постройте отрезки $AB$ и $CD$, если $A (-3; 4)$, $B (2; -1)$, $C (-2; 0)$, $D (4; 3)$. Найдите координаты точки пересечения отрезков $AB$ и $CD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для нахождения координат точки пересечения отрезков AB и CD необходимо сначала найти уравнения прямых, содержащих эти отрезки, а затем решить систему этих уравнений, чтобы найти координаты их общей точки.

1. Составление уравнения прямой AB

Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, можно записать в виде:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек A(-3; 4) и B(2; -1):

$\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 4}{-1 - 4}$

$\frac{x + 3}{5} = \frac{y - 4}{-5}$

Из этого уравнения выразим $y$:

$x + 3 = -(y - 4)$

$x + 3 = -y + 4$

$y = -x + 4 - 3$

$y = -x + 1$

2. Составление уравнения прямой CD

Аналогично, подставим координаты точек C(-2; 0) и D(4; 3) в формулу уравнения прямой:

$\frac{x - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{y - 0}{3 - 0}$

$\frac{x + 2}{6} = \frac{y}{3}$

Выразим $y$:

$3(x + 2) = 6y$

$x + 2 = 2y$

$y = \frac{1}{2}x + 1$

3. Нахождение координат точки пересечения

Теперь найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x + 1 \\ y = \frac{1}{2}x + 1 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:

$-x + 1 = \frac{1}{2}x + 1$

$-x = \frac{1}{2}x$

$0 = \frac{1}{2}x + x$

$0 = \frac{3}{2}x$

$x = 0$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = -0 + 1$

$y = 1$

Координаты точки пересечения прямых — (0; 1).

4. Проверка принадлежности точки отрезкам

Необходимо убедиться, что найденная точка лежит на обоих отрезках, а не только на прямых. Для этого ее координаты должны находиться между координатами концов каждого отрезка.

Для отрезка AB [A(-3; 4), B(2; -1)] и точки (0; 1):

Координата $x=0$ находится в диапазоне $[-3; 2]$.

Координата $y=1$ находится в диапазоне $[-1; 4]$.

Следовательно, точка (0; 1) принадлежит отрезку AB.

Для отрезка CD [C(-2; 0), D(4; 3)] и точки (0; 1):

Координата $x=0$ находится в диапазоне $[-2; 4]$.

Координата $y=1$ находится в диапазоне $[0; 3]$.

Следовательно, точка (0; 1) принадлежит отрезку CD.

Так как точка (0; 1) принадлежит обоим отрезкам, она является их точкой пересечения.

Ответ: (0; 1).