Номер 1064, страница 216 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.9. Декартова система координат на плоскости - номер 1064, страница 216.

Условие.

1064. A $(5; 1)$, B $(-4; 2)$, S $(-3; -2)$, Q $(1; -4)$,

C $(-5; -4)$, D $(4; -2)$, Z $(-3; 0)$, P $(0; 4)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Поскольку в задании не указан конкретный вопрос, а только перечислены координаты точек, приведем решения для наиболее типичных задач по координатной геометрии, которые могут быть связаны с этими данными.

а) Найдите длины сторон четырехугольника ABCD.

Чтобы найти длины сторон четырехугольника ABCD с вершинами A(5; 1), B(-4; 2), C(-5; -4), D(4; -2), воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина стороны AB:
$|AB| = \sqrt{(-4 - 5)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 1^2} = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}$.

Длина стороны BC:
$|BC| = \sqrt{(-5 - (-4))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$.

Длина стороны CD:
$|CD| = \sqrt{(4 - (-5))^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{9^2 + 2^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}$.

Длина стороны DA:
$|DA| = \sqrt{(5 - 4)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Ответ: $|AB| = \sqrt{82}$, $|BC| = \sqrt{37}$, $|CD| = \sqrt{85}$, $|DA| = \sqrt{10}$.

б) Является ли четырехугольник ABCD параллелограммом?

Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это равносильно тому, что середины его диагоналей совпадают. Найдем координаты середин диагоналей AC и BD, используя формулу середины отрезка: $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Середина диагонали AC (точки A(5; 1) и C(-5; -4)):
$x_{AC} = \frac{5 + (-5)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_{AC} = \frac{1 + (-4)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$
Координаты середины AC: $(0; -1.5)$.

Середина диагонали BD (точки B(-4; 2) и D(4; -2)):
$x_{BD} = \frac{-4 + 4}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_{BD} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Координаты середины BD: $(0; 0)$.

Так как координаты середин диагоналей AC $(0; -1.5)$ и BD $(0; 0)$ не совпадают, четырехугольник ABCD не является параллелограммом.

Ответ: Нет, четырехугольник ABCD не является параллелограммом.

в) Какая пара из данных точек симметрична относительно начала координат?

Две точки $M(x; y)$ и $N(x'; y')$ называются симметричными относительно начала координат O(0; 0), если их координаты являются противоположными числами, то есть $x' = -x$ и $y' = -y$.

Проверим данные точки:

• Для точки A(5; 1) симметричной будет точка (-5; -1), которой нет в списке.
• Для точки B(-4; 2) симметричной будет точка (4; -2). Эта точка есть в списке — это точка D(4; -2).
• Для точки C(-5; -4) симметричной будет точка (5; 4), которой нет в списке.
• Для точки S(-3; -2) симметричной будет точка (3; 2), которой нет в списке.
• Для точки Q(1; -4) симметричной будет точка (-1; 4), которой нет в списке.
• Для точки Z(-3; 0) симметричной будет точка (3; 0), которой нет в списке.
• Для точки P(0; 4) симметричной будет точка (0; -4), которой нет в списке.

Следовательно, единственная пара точек, симметричных относительно начала координат, — это B и D.

Ответ: Точки B(-4; 2) и D(4; -2).

г) Напишите уравнение прямой, проходящей через точки Z и P.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки Z(-3; 0) и P(0; 4), используем каноническое уравнение прямой: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Подставим координаты точек Z($x_1$; $y_1$) и P($x_2$; $y_2$):
$\frac{x - (-3)}{0 - (-3)} = \frac{y - 0}{4 - 0}$

$\frac{x + 3}{3} = \frac{y}{4}$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом ($y = kx + b$):
$4(x + 3) = 3y$
$4x + 12 = 3y$
$y = \frac{4}{3}x + 4$

Ответ: $y = \frac{4}{3}x + 4$.