Номер 1070, страница 217 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.9. Декартова система координат на плоскости - номер 1070, страница 217.

Условие.

1070. Постройте прямые $AB$ и $CD$, если $A(-1; 1)$, $B(1; 2)$, $C(-3; 0)$, $D(2; 1)$. Найдите координаты точки пересечения прямых $AB$ и $CD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Построение прямых AB и CD

1. Начертим систему координат с осями Ox и Oy.

2. Отметим на координатной плоскости точки с заданными координатами:
A (−1; 1)
B (1; 2)
C (−3; 0)
D (2; 1)

3. С помощью линейки проведем прямую через точки A и B. Это будет прямая AB.

4. Аналогично проведем прямую через точки C и D. Это будет прямая CD.

Нахождение координат точки пересечения

Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно найти уравнения прямых AB и CD, а затем решить систему этих уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

1. Найдем уравнение прямой AB, проходящей через точки A(−1; 1) и B(1; 2):
Подставим координаты точек в формулу:
$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - 1}{2 - 1}$
$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1}$
$x + 1 = 2(y - 1)$
$x + 1 = 2y - 2$
$2y = x + 3$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

2. Найдем уравнение прямой CD, проходящей через точки C(−3; 0) и D(2; 1):
Подставим координаты точек в формулу:
$\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 0}{1 - 0}$
$\frac{x + 3}{5} = \frac{y}{1}$
$y = \frac{x + 3}{5}$
$y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$

3. Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений прямых AB и CD:
$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5):
$10 \cdot (\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}) = 10 \cdot (\frac{1}{5}x + \frac{3}{5})$
$5x + 15 = 2x + 6$
$5x - 2x = 6 - 15$
$3x = -9$
$x = -3$

Теперь найдем координату y, подставив значение x = -3 в любое из уравнений. Например, в уравнение прямой CD:
$y = \frac{1}{5}(-3) + \frac{3}{5}$
$y = -\frac{3}{5} + \frac{3}{5}$
$y = 0$

Координаты точки пересечения прямых AB и CD равны (−3; 0). Это совпадает с координатами точки C.

Ответ: $(-3; 0)$.