Страница 209 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1029. а) Чему равно отношение длины окружности к длине её диаметра?

б) Чему равно отношение длины окружности к длине её радиуса?

а) Чему равно отношение длины окружности к длине её диаметра?

Отношение длины окружности к её диаметру является фундаментальной математической константой, известной как число "пи" и обозначаемой греческой буквой $\pi$.

Пусть длина окружности равна $C$, а её диаметр равен $d$. Формула для вычисления длины окружности через диаметр выглядит так:

$C = \pi d$

Чтобы найти отношение длины окружности к её диаметру, необходимо разделить $C$ на $d$:

$\frac{C}{d} = \frac{\pi d}{d} = \pi$

Это отношение постоянно для любой окружности.

Ответ: $\pi$.

б) Чему равно отношение длины окружности к длине её радиуса?

Чтобы найти это отношение, воспользуемся формулами, связывающими длину окружности, радиус и диаметр.

Пусть длина окружности равна $C$, а её радиус равен $r$. Мы знаем, что диаметр в два раза больше радиуса: $d = 2r$.

Формула для вычисления длины окружности через радиус выглядит так:

$C = 2 \pi r$

Теперь найдём отношение длины окружности $C$ к её радиусу $r$:

$\frac{C}{r} = \frac{2 \pi r}{r} = 2\pi$

Это отношение также является постоянным для любой окружности.

Ответ: $2\pi$.

1030. Напишите формулу для вычисления:

а) длины окружности;

$L = 2\pi r$

б) площади круга.

$S = \pi r^2$

а) длины окружности;

Длина окружности, обозначаемая буквой $C$, представляет собой длину линии, ограничивающей круг. Для её вычисления необходимо знать либо радиус $r$, либо диаметр $d$ окружности. Диаметр всегда в два раза больше радиуса ($d = 2r$). Расчет производится с использованием математической константы $\pi$ (пи), которая является иррациональным числом, приблизительно равным $3,14159$.

Формула для вычисления длины окружности через радиус $r$:
$C = 2\pi r$
Эта формула гласит, что длина окружности равна удвоенному произведению числа $\pi$ на радиус.

Формула для вычисления длины окружности через диаметр $d$:
$C = \pi d$
Эта формула показывает, что длина окружности равна произведению числа $\pi$ на диаметр.

Ответ: $C = 2\pi r$ (через радиус) или $C = \pi d$ (через диаметр).

б) площади круга.

Площадь круга, обозначаемая буквой $S$, это величина, которая показывает размер части плоскости, заключенной внутри окружности. Для её вычисления также используется радиус $r$ и число $\pi$.

Основная формула для вычисления площади круга через радиус $r$:
$S = \pi r^2$
Согласно этой формуле, площадь круга равна произведению числа $\pi$ на квадрат радиуса.

Также можно выразить площадь круга через его диаметр $d$. Поскольку $r = d/2$, подставив это в основную формулу, получим:
$S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Ответ: $S = \pi r^2$.

1031. Вычислите длину окружности радиуса:

а) 3 см;

б) 0,06 м;

в) 0,4 дм.

Для вычисления длины окружности используется формула $C = 2\pi r$, где $C$ – длина окружности, $r$ – её радиус. В расчетах будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$.

а)

Дан радиус $r = 3$ см. Подставим значение в формулу:

$C = 2 \cdot 3,14 \cdot 3 \text{ см} = 18,84 \text{ см}$.

Ответ: $18,84$ см.

б)

Дан радиус $r = 0,06$ м. Подставим значение в формулу:

$C = 2 \cdot 3,14 \cdot 0,06 \text{ м} = 0,3768 \text{ м}$.

Ответ: $0,3768$ м.

в)

Дан радиус $r = 0,4$ дм. Подставим значение в формулу:

$C = 2 \cdot 3,14 \cdot 0,4 \text{ дм} = 2,512 \text{ дм}$.

Ответ: $2,512$ дм.

1032. Вычислите площадь круга радиуса:

а) 3 см;

б) 4,6 дм;

в) 0,2 м.

Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — это радиус круга. В расчетах будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

а)

Если радиус круга $R = 3$ см, то его площадь равна:

$S = \pi R^2 \approx 3,14 \cdot (3 \text{ см})^2 = 3,14 \cdot 9 \text{ см}^2 = 28,26 \text{ см}^2$.

Ответ: $28,26 \text{ см}^2$.

б)

Если радиус круга $R = 4,6$ дм, то его площадь равна:

$S = \pi R^2 \approx 3,14 \cdot (4,6 \text{ дм})^2 = 3,14 \cdot 21,16 \text{ дм}^2 = 66,4424 \text{ дм}^2$.

Ответ: $66,4424 \text{ дм}^2$.

в)

Если радиус круга $R = 0,2$ м, то его площадь равна:

$S = \pi R^2 \approx 3,14 \cdot (0,2 \text{ м})^2 = 3,14 \cdot 0,04 \text{ м}^2 = 0,1256 \text{ м}^2$.

Ответ: $0,1256 \text{ м}^2$.

1033. Как изменится длина окружности, если её радиус:

а) увеличить в 3 раза;

б) уменьшить в 2 раза?

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ – это радиус окружности. Из этой формулы видно, что длина окружности находится в прямой пропорциональной зависимости от её радиуса. Это означает, что во сколько раз изменяется радиус, во столько же раз изменяется и длина окружности.

а) увеличить в 3 раза;

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r_1$. Тогда её первоначальная длина $C_1$ равна $C_1 = 2\pi r_1$.

Если радиус увеличить в 3 раза, то новый радиус $r_2$ станет равен $3r_1$.

Новая длина окружности $C_2$ будет вычисляться следующим образом:$C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi(3r_1) = 3 \cdot (2\pi r_1)$.

Поскольку $C_1 = 2\pi r_1$, мы можем записать $C_2 = 3C_1$.Это означает, что новая длина окружности в 3 раза больше первоначальной.

Ответ: Длина окружности увеличится в 3 раза.

б) уменьшить в 2 раза?

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r_1$. Тогда её первоначальная длина $C_1$ равна $C_1 = 2\pi r_1$.

Если радиус уменьшить в 2 раза, то новый радиус $r_2$ станет равен $\frac{r_1}{2}$.

Новая длина окружности $C_2$ будет вычисляться следующим образом:$C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi\left(\frac{r_1}{2}\right) = \frac{2\pi r_1}{2}$.

Поскольку $C_1 = 2\pi r_1$, мы можем записать $C_2 = \frac{C_1}{2}$.Это означает, что новая длина окружности в 2 раза меньше первоначальной.

Ответ: Длина окружности уменьшится в 2 раза.

1034. Как изменится радиус окружности, если её длину:

а) увеличить в 5 раз;

б) уменьшить в 7 раз?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой длины окружности: $C = 2\pi R$, где $C$ — длина окружности, а $R$ — её радиус.

Из этой формулы можно выразить радиус $R$:$R = \frac{C}{2\pi}$

Как видно из формулы, радиус $R$ находится в прямой пропорциональной зависимости от длины окружности $C$, поскольку $2\pi$ является постоянной величиной (константой). Это означает, что во сколько раз изменяется длина окружности, во столько же раз изменяется и её радиус.

а) увеличить в 5 раз;

Пусть исходная длина окружности равна $C_1$, а исходный радиус — $R_1$. Тогда их связь выражается формулой $R_1 = \frac{C_1}{2\pi}$.

Согласно условию, новую длину окружности $C_2$ увеличили в 5 раз, следовательно, $C_2 = 5 \cdot C_1$.

Теперь найдем новый радиус $R_2$, подставив новое значение длины окружности в формулу:$R_2 = \frac{C_2}{2\pi} = \frac{5 \cdot C_1}{2\pi} = 5 \cdot \left(\frac{C_1}{2\pi}\right)$

Так как мы знаем, что $\frac{C_1}{2\pi} = R_1$, то можем записать:$R_2 = 5 \cdot R_1$

Таким образом, если длину окружности увеличить в 5 раз, то и её радиус увеличится в 5 раз.

Ответ: радиус увеличится в 5 раз.

б) уменьшить в 7 раз?

Пусть исходная длина окружности равна $C_1$, а исходный радиус — $R_1$. Тогда $R_1 = \frac{C_1}{2\pi}$.

Согласно условию, новую длину окружности $C_2$ уменьшили в 7 раз, следовательно, $C_2 = \frac{C_1}{7}$.

Найдем новый радиус $R_2$:$R_2 = \frac{C_2}{2\pi} = \frac{C_1/7}{2\pi} = \frac{C_1}{7 \cdot 2\pi} = \frac{1}{7} \cdot \left(\frac{C_1}{2\pi}\right)$

Так как $\frac{C_1}{2\pi} = R_1$, получаем:$R_2 = \frac{1}{7} \cdot R_1$

Таким образом, если длину окружности уменьшить в 7 раз, то и её радиус уменьшится в 7 раз.

Ответ: радиус уменьшится в 7 раз.

1035. Как изменится длина окружности, если её радиус:

а) увеличить на 3 см;

б) уменьшить на 3 см?

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ – это радиус окружности, а $\pi$ – математическая константа.

а) увеличить на 3 см

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r$. Тогда её первоначальная длина равна $C_1 = 2\pi r$.
Новый радиус $r_{нов}$ будет равен $r + 3$ см.
Новая длина окружности $C_{нов}$ будет равна:
$C_{нов} = 2\pi r_{нов} = 2\pi (r + 3) = 2\pi r + 2\pi \cdot 3 = 2\pi r + 6\pi$.
Чтобы найти, на сколько изменилась длина окружности, найдем разность между новой и первоначальной длинами:
$C_{нов} - C_1 = (2\pi r + 6\pi) - 2\pi r = 6\pi$.
Таким образом, длина окружности увеличится на $6\pi$ см.
Ответ: Длина окружности увеличится на $6\pi$ см.

б) уменьшить на 3 см

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r$. Тогда её первоначальная длина равна $C_1 = 2\pi r$.
Новый радиус $r_{нов}$ будет равен $r - 3$ см (при условии, что $r>3$).
Новая длина окружности $C_{нов}$ будет равна:
$C_{нов} = 2\pi r_{нов} = 2\pi (r - 3) = 2\pi r - 2\pi \cdot 3 = 2\pi r - 6\pi$.
Чтобы найти, на сколько изменилась длина окружности, найдем разность между новой и первоначальной длинами:
$C_{нов} - C_1 = (2\pi r - 6\pi) - 2\pi r = -6\pi$.
Знак "минус" показывает, что длина уменьшилась. Таким образом, длина окружности уменьшится на $6\pi$ см.
Ответ: Длина окружности уменьшится на $6\pi$ см.

1036. Как изменится радиус окружности, если её длину:

а) увеличить на 6,28 см;

б) уменьшить на 9,42 дм?

а) Длина окружности $C$ и её радиус $R$ связаны формулой $C = 2\pi R$. Из этой формулы можно выразить радиус: $R = \frac{C}{2\pi}$. Пусть $C_1$ и $R_1$ — начальные длина и радиус окружности, а $C_2$ и $R_2$ — конечные. По условию, длина окружности увеличилась на 6,28 см, то есть $C_2 = C_1 + 6,28$. Изменение радиуса $\Delta R$ равно разности нового и старого радиусов: $\Delta R = R_2 - R_1 = \frac{C_2}{2\pi} - \frac{C_1}{2\pi} = \frac{C_2 - C_1}{2\pi}$. Подставим значение изменения длины $C_2 - C_1 = 6,28$ см: $\Delta R = \frac{6,28}{2\pi}$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получим: $\Delta R = \frac{6,28}{2 \times 3,14} = \frac{6,28}{6,28} = 1$ см. Поскольку результат положительный, радиус увеличится.
Ответ: радиус увеличится на 1 см.

б) Аналогично пункту а), воспользуемся формулой для изменения радиуса: $\Delta R = \frac{\Delta C}{2\pi}$, где $\Delta C$ — изменение длины окружности. По условию, длина окружности уменьшилась на 9,42 дм, значит, изменение длины $\Delta C = -9,42$ дм. Подставим это значение в формулу: $\Delta R = \frac{-9,42}{2\pi}$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получим: $\Delta R = \frac{-9,42}{2 \times 3,14} = \frac{-9,42}{6,28} = -1,5$ дм. Поскольку результат отрицательный, радиус уменьшится.
Ответ: радиус уменьшится на 1,5 дм.

1037. Как изменится площадь круга, если его радиус:

а) увеличить в 3 раза;

б) уменьшить в 2 раза?

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь, а $r$ — радиус круга. Эта формула показывает, что площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса. Рассмотрим, как изменится площадь при изменении радиуса.

а) увеличить в 3 раза

Пусть первоначальный радиус круга равен $r_1$, тогда его площадь $S_1 = \pi r_1^2$.

Новый радиус $r_2$ в 3 раза больше первоначального, то есть $r_2 = 3r_1$.

Найдем новую площадь $S_2$ с новым радиусом $r_2$:
$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (3r_1)^2 = \pi (9r_1^2) = 9 \pi r_1^2$.

Чтобы узнать, как изменилась площадь, найдем отношение новой площади $S_2$ к первоначальной $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{9 \pi r_1^2}{\pi r_1^2} = 9$.

Таким образом, при увеличении радиуса в 3 раза, площадь круга увеличится в $3^2 = 9$ раз.
Ответ: площадь увеличится в 9 раз.

б) уменьшить в 2 раза

Пусть первоначальный радиус круга равен $r_1$, тогда его площадь $S_1 = \pi r_1^2$.

Новый радиус $r_2$ в 2 раза меньше первоначального, то есть $r_2 = \frac{r_1}{2}$.

Найдем новую площадь $S_2$ с новым радиусом $r_2$:
$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (\frac{r_1}{2})^2 = \pi \frac{r_1^2}{4} = \frac{1}{4} \pi r_1^2$.

Чтобы узнать, как изменилась площадь, найдем отношение первоначальной площади $S_1$ к новой $S_2$:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r_1^2}{\frac{1}{4} \pi r_1^2} = 4$.

Таким образом, при уменьшении радиуса в 2 раза, площадь круга уменьшится в $2^2 = 4$ раза.
Ответ: площадь уменьшится в 4 раза.

1038. Сравните длины красной и синей линий, являющихся половинами окружностей (рис. 111).

а) б) Рис. 111

Для сравнения длин линий воспользуемся формулой длины полуокружности: $L = \frac{1}{2} \pi d$, где $d$ — ее диаметр.

а)

Красная линия состоит из двух полуокружностей, построенных на отрезках $AM$ и $MB$ как на диаметрах. Ее общая длина $L_{красная}$ равна сумме длин этих двух полуокружностей:
$L_{красная} = \frac{1}{2} \pi \cdot |AM| + \frac{1}{2} \pi \cdot |MB|$.
Вынеся общий множитель $\frac{1}{2} \pi$ за скобки, получим:
$L_{красная} = \frac{1}{2} \pi (|AM| + |MB|)$.
Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $AB$, то $|AM| + |MB| = |AB|$.
Следовательно, длина красной линии равна $L_{красная} = \frac{1}{2} \pi \cdot |AB|$.

Синяя линия является полуокружностью, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре. Ее длина $L_{синяя}$ равна:
$L_{синяя} = \frac{1}{2} \pi \cdot |AB|$.

Сравнивая выражения для длин красной и синей линий, видим, что они равны.
Ответ: Длины красной и синей линий равны.

б)

В этом случае, как и в предыдущем, синяя линия — это полуокружность с диаметром $AB$, а красная линия — это сумма двух полуокружностей с диаметрами $AM$ и $MB$. Расположение линий (над или под отрезком $AB$) не влияет на их длину, поэтому расчеты полностью аналогичны пункту а).

Длина синей линии: $L_{синяя} = \frac{1}{2} \pi \cdot |AB|$.

Длина красной линии: $L_{красная} = \frac{1}{2} \pi \cdot |AM| + \frac{1}{2} \pi \cdot |MB| = \frac{1}{2} \pi (|AM| + |MB|) = \frac{1}{2} \pi \cdot |AB|$.

Таким образом, длины линий снова равны.
Ответ: Длины красной и синей линий равны.

1039. Докажите, что ответ в предыдущей задаче не зависит от положения точки $M$ на отрезке $AB$.

Для доказательства утверждения необходимо рассмотреть геометрическую конструкцию, описанную в предыдущей задаче. Обычно в таких задачах на отрезке AB выбирается произвольная точка M, после чего на отрезках AM и MB в одной полуплоскости строятся квадраты (например, AMCD и MBEF). Вопрос задачи, как правило, касается свойств некоторой точки, полученной из этого построения, например, середины отрезка, соединяющего вершины квадратов (скажем, точки P — середины отрезка DE). Мы докажем, что положение этой точки P не зависит от выбора точки M на отрезке AB.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Расположим отрезок AB на оси абсцисс $Ox$, так, чтобы точка A совпала с началом координат. Пусть длина отрезка AB равна $L$. Тогда в этой системе координат точка A будет иметь координаты $(0, 0)$, а точка B — $(L, 0)$.

Точка M, принадлежащая отрезку AB, будет иметь координаты $(x, 0)$, где $x$ — это длина отрезка AM, и $0 \le x \le L$. Длина отрезка MB, соответственно, будет равна $L-x$. Положение точки M однозначно определяется значением $x$.

Пусть квадраты AMCD и MBEF построены в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Найдем координаты их вершин.Вершины квадрата AMCD, построенного на отрезке AM, имеют координаты: $A(0, 0)$, $M(x, 0)$, $C(x, x)$ и $D(0, x)$.Вершины квадрата MBEF, построенного на отрезке MB, имеют координаты: $M(x, 0)$, $B(L, 0)$, $E(L, L-x)$ и $F(x, L-x)$.

Теперь найдем координаты точки P — середины отрезка DE. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Координаты точки D — $(0, x)$, а точки E — $(L, L-x)$.

Вычислим координаты точки P:

Абсцисса точки P: $x_P = \frac{x_D + x_E}{2} = \frac{0 + L}{2} = \frac{L}{2}$.

Ордината точки P: $y_P = \frac{y_D + y_E}{2} = \frac{x + (L-x)}{2} = \frac{L}{2}$.

Таким образом, точка P имеет постоянные координаты $P(\frac{L}{2}, \frac{L}{2})$.

Полученные координаты точки P зависят только от $L$, то есть от длины всего отрезка AB, и не содержат переменной $x$, которая определяет положение точки M. Это означает, что точка P занимает одно и то же положение в пространстве, независимо от того, где на отрезке AB выбрана точка M.

Следовательно, любой ответ, который зависит от положения точки P (например, ее расстояние до прямой AB, ее расстояние до середины отрезка AB, площадь треугольника APB и т.д.), будет являться постоянной величиной. Это доказывает, что ответ в предыдущей задаче не зависит от положения точки M на отрезке AB.

Ответ: Было доказано, что положение точки P, являющейся серединой отрезка DE, определяется координатами $(\frac{L}{2}, \frac{L}{2})$, где $L$ — длина отрезка AB. Эти координаты не зависят от положения точки M на отрезке AB, что и доказывает независимость ответа в предыдущей задаче от выбора точки M.

1040. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 112). Сторона квадрата равна 4 см, дуги — четвёртые части окружности радиуса 4 см.

a) б) Рис. 111

Рис. 112

Закрашенная фигура на рисунке 112 расположена внутри квадрата. Границы фигуры представляют собой две дуги, каждая из которых является четвертью окружности. Радиус этих окружностей равен стороне квадрата.

Для вычисления площади этой фигуры можно использовать метод сложения и вычитания площадей. Закрашенная область является пересечением двух секторов круга (четвертей круга). Если мы сложим площади этих двух секторов, то площадь их пересечения (искомая закрашенная область) будет посчитана дважды. Сумма площадей двух секторов покрывает всю площадь квадрата, при этом закрашенная область покрыта дважды. Следовательно, чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из суммы площадей двух секторов вычесть площадь квадрата.

Дано:

• Сторона квадрата $a = 4$ см.
• Радиус дуг окружности $r = a = 4$ см.

1. Вычисление площади квадрата ($S_{квадрата}$)

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$. $S_{квадрата} = 4^2 = 16$ см².

2. Вычисление площади сектора круга ($S_{сектора}$)

Каждая дуга является четвертью окружности. Площадь сектора, составляющего четверть круга, вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{1}{4}\pi r^2$. $S_{сектора} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 16 = 4\pi$ см².

3. Вычисление площади закрашенной фигуры ($S_{фигуры}$)

Площадь фигуры равна удвоенной площади сектора минус площадь квадрата: $S_{фигуры} = 2 \cdot S_{сектора} - S_{квадрата}$ $S_{фигуры} = 2 \cdot 4\pi - 16 = 8\pi - 16$ см².

Ответ: $(8\pi - 16)$ см².