Номер 1038, страница 209 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.7. Длина окружности. Площадь круга. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 1038, страница 209.

Условие.

1038. Сравните длины красной и синей линий, являющихся половинами окружностей (рис. 111).

а) б) Рис. 111

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для сравнения длин линий воспользуемся формулой длины полуокружности: $L = \frac{1}{2} \pi d$, где $d$ — ее диаметр.

а)

Красная линия состоит из двух полуокружностей, построенных на отрезках $AM$ и $MB$ как на диаметрах. Ее общая длина $L_{красная}$ равна сумме длин этих двух полуокружностей:
$L_{красная} = \frac{1}{2} \pi \cdot |AM| + \frac{1}{2} \pi \cdot |MB|$.
Вынеся общий множитель $\frac{1}{2} \pi$ за скобки, получим:
$L_{красная} = \frac{1}{2} \pi (|AM| + |MB|)$.
Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $AB$, то $|AM| + |MB| = |AB|$.
Следовательно, длина красной линии равна $L_{красная} = \frac{1}{2} \pi \cdot |AB|$.

Синяя линия является полуокружностью, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре. Ее длина $L_{синяя}$ равна:
$L_{синяя} = \frac{1}{2} \pi \cdot |AB|$.

Сравнивая выражения для длин красной и синей линий, видим, что они равны.
Ответ: Длины красной и синей линий равны.

б)

В этом случае, как и в предыдущем, синяя линия — это полуокружность с диаметром $AB$, а красная линия — это сумма двух полуокружностей с диаметрами $AM$ и $MB$. Расположение линий (над или под отрезком $AB$) не влияет на их длину, поэтому расчеты полностью аналогичны пункту а).

Длина синей линии: $L_{синяя} = \frac{1}{2} \pi \cdot |AB|$.

Длина красной линии: $L_{красная} = \frac{1}{2} \pi \cdot |AM| + \frac{1}{2} \pi \cdot |MB| = \frac{1}{2} \pi (|AM| + |MB|) = \frac{1}{2} \pi \cdot |AB|$.

Таким образом, длины линий снова равны.
Ответ: Длины красной и синей линий равны.