Номер 1039, страница 209 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.7. Длина окружности. Площадь круга. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 1039, страница 209.

Условие.

1039. Докажите, что ответ в предыдущей задаче не зависит от положения точки $M$ на отрезке $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для доказательства утверждения необходимо рассмотреть геометрическую конструкцию, описанную в предыдущей задаче. Обычно в таких задачах на отрезке AB выбирается произвольная точка M, после чего на отрезках AM и MB в одной полуплоскости строятся квадраты (например, AMCD и MBEF). Вопрос задачи, как правило, касается свойств некоторой точки, полученной из этого построения, например, середины отрезка, соединяющего вершины квадратов (скажем, точки P — середины отрезка DE). Мы докажем, что положение этой точки P не зависит от выбора точки M на отрезке AB.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Расположим отрезок AB на оси абсцисс $Ox$, так, чтобы точка A совпала с началом координат. Пусть длина отрезка AB равна $L$. Тогда в этой системе координат точка A будет иметь координаты $(0, 0)$, а точка B — $(L, 0)$.

Точка M, принадлежащая отрезку AB, будет иметь координаты $(x, 0)$, где $x$ — это длина отрезка AM, и $0 \le x \le L$. Длина отрезка MB, соответственно, будет равна $L-x$. Положение точки M однозначно определяется значением $x$.

Пусть квадраты AMCD и MBEF построены в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Найдем координаты их вершин.Вершины квадрата AMCD, построенного на отрезке AM, имеют координаты: $A(0, 0)$, $M(x, 0)$, $C(x, x)$ и $D(0, x)$.Вершины квадрата MBEF, построенного на отрезке MB, имеют координаты: $M(x, 0)$, $B(L, 0)$, $E(L, L-x)$ и $F(x, L-x)$.

Теперь найдем координаты точки P — середины отрезка DE. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Координаты точки D — $(0, x)$, а точки E — $(L, L-x)$.

Вычислим координаты точки P:

Абсцисса точки P: $x_P = \frac{x_D + x_E}{2} = \frac{0 + L}{2} = \frac{L}{2}$.

Ордината точки P: $y_P = \frac{y_D + y_E}{2} = \frac{x + (L-x)}{2} = \frac{L}{2}$.

Таким образом, точка P имеет постоянные координаты $P(\frac{L}{2}, \frac{L}{2})$.

Полученные координаты точки P зависят только от $L$, то есть от длины всего отрезка AB, и не содержат переменной $x$, которая определяет положение точки M. Это означает, что точка P занимает одно и то же положение в пространстве, независимо от того, где на отрезке AB выбрана точка M.

Следовательно, любой ответ, который зависит от положения точки P (например, ее расстояние до прямой AB, ее расстояние до середины отрезка AB, площадь треугольника APB и т.д.), будет являться постоянной величиной. Это доказывает, что ответ в предыдущей задаче не зависит от положения точки M на отрезке AB.

Ответ: Было доказано, что положение точки P, являющейся серединой отрезка DE, определяется координатами $(\frac{L}{2}, \frac{L}{2})$, где $L$ — длина отрезка AB. Эти координаты не зависят от положения точки M на отрезке AB, что и доказывает независимость ответа в предыдущей задаче от выбора точки M.