Номер 1042, страница 210 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.7. Длина окружности. Площадь круга - номер 1042, страница 210.

Условие.

1042. На сторонах квадрата как на диаметрах построили полукруги вне квадрата. Получили первую фигуру (рис. 114, а). Потом каждую сторону такого же квадрата разделили на 2 равные части и на каждой из них как на диаметрах построили полукруги вне квадрата. Получили вторую фигуру (рис. 114, б). Потом каждую сторону такого же квадрата разделили на 3 равные части и т. д. Вычислите периметр и площадь каждой из первых четырёх фигур, если сторона квадрата равна 12 см.

a) б) Рис. 114

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Обозначим сторону квадрата как $a$. По условию задачи $a = 12$ см.

Площадь каждой фигуры складывается из площади центрального квадрата ($S_{кв}$) и суммарной площади всех построенных на его сторонах полукругов ($S_{полукр}$). Периметр каждой фигуры равен сумме длин дуг всех полукругов.

Площадь квадрата является постоянной величиной для всех фигур: $S_{кв} = a^2 = 12^2 = 144$ см².

Для первой фигуры:

На каждой из 4 сторон квадрата построен один полукруг. Всего 4 полукруга.

Диаметр каждого полукруга равен стороне квадрата: $d_1 = a = 12$ см.

Радиус каждого полукруга: $r_1 = d_1 / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Периметр фигуры $P_1$ равен сумме длин четырех полуокружностей:

$P_1 = 4 \cdot (\pi r_1) = 4 \cdot \pi \cdot 6 = 24\pi$ см.

Площадь фигуры $S_1$ равна сумме площади квадрата и площадей четырех полукругов:

$S_1 = S_{кв} + 4 \cdot (\frac{1}{2} \pi r_1^2) = 144 + 2 \pi \cdot 6^2 = 144 + 2 \pi \cdot 36 = 144 + 72\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 72\pi)$ см².

Для второй фигуры:

Каждая сторона квадрата разделена на 2 равные части. На каждой стороне построено по 2 полукруга. Всего $4 \cdot 2 = 8$ полукругов.

Диаметр каждого полукруга: $d_2 = a / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Радиус каждого полукруга: $r_2 = d_2 / 2 = 6 / 2 = 3$ см.

Периметр фигуры $P_2$ равен сумме длин восьми полуокружностей:

$P_2 = 8 \cdot (\pi r_2) = 8 \cdot \pi \cdot 3 = 24\pi$ см.

Площадь фигуры $S_2$ равна сумме площади квадрата и площадей восьми полукругов:

$S_2 = S_{кв} + 8 \cdot (\frac{1}{2} \pi r_2^2) = 144 + 4 \pi \cdot 3^2 = 144 + 4 \pi \cdot 9 = 144 + 36\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 36\pi)$ см².

Для третьей фигуры:

Каждая сторона квадрата разделена на 3 равные части. На каждой стороне построено по 3 полукруга. Всего $4 \cdot 3 = 12$ полукругов.

Диаметр каждого полукруга: $d_3 = a / 3 = 12 / 3 = 4$ см.

Радиус каждого полукруга: $r_3 = d_3 / 2 = 4 / 2 = 2$ см.

Периметр фигуры $P_3$ равен сумме длин двенадцати полуокружностей:

$P_3 = 12 \cdot (\pi r_3) = 12 \cdot \pi \cdot 2 = 24\pi$ см.

Площадь фигуры $S_3$ равна сумме площади квадрата и площадей двенадцати полукругов:

$S_3 = S_{кв} + 12 \cdot (\frac{1}{2} \pi r_3^2) = 144 + 6 \pi \cdot 2^2 = 144 + 6 \pi \cdot 4 = 144 + 24\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 24\pi)$ см².

Для четвертой фигуры:

Каждая сторона квадрата разделена на 4 равные части. На каждой стороне построено по 4 полукруга. Всего $4 \cdot 4 = 16$ полукругов.

Диаметр каждого полукруга: $d_4 = a / 4 = 12 / 4 = 3$ см.

Радиус каждого полукруга: $r_4 = d_4 / 2 = 3 / 2 = 1.5$ см.

Периметр фигуры $P_4$ равен сумме длин шестнадцати полуокружностей:

$P_4 = 16 \cdot (\pi r_4) = 16 \cdot \pi \cdot 1.5 = 24\pi$ см.

Площадь фигуры $S_4$ равна сумме площади квадрата и площадей шестнадцати полукругов:

$S_4 = S_{кв} + 16 \cdot (\frac{1}{2} \pi r_4^2) = 144 + 8 \pi \cdot (1.5)^2 = 144 + 8 \pi \cdot 2.25 = 144 + 18\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 18\pi)$ см².