Номер 1040, страница 209 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.7. Длина окружности. Площадь круга - номер 1040, страница 209.

Условие.

1040. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 112). Сторона квадрата равна 4 см, дуги — четвёртые части окружности радиуса 4 см.

a) б) Рис. 111

Рис. 112

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Закрашенная фигура на рисунке 112 расположена внутри квадрата. Границы фигуры представляют собой две дуги, каждая из которых является четвертью окружности. Радиус этих окружностей равен стороне квадрата.

Для вычисления площади этой фигуры можно использовать метод сложения и вычитания площадей. Закрашенная область является пересечением двух секторов круга (четвертей круга). Если мы сложим площади этих двух секторов, то площадь их пересечения (искомая закрашенная область) будет посчитана дважды. Сумма площадей двух секторов покрывает всю площадь квадрата, при этом закрашенная область покрыта дважды. Следовательно, чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из суммы площадей двух секторов вычесть площадь квадрата.

Дано:

• Сторона квадрата $a = 4$ см.
• Радиус дуг окружности $r = a = 4$ см.

1. Вычисление площади квадрата ($S_{квадрата}$)

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$. $S_{квадрата} = 4^2 = 16$ см².

2. Вычисление площади сектора круга ($S_{сектора}$)

Каждая дуга является четвертью окружности. Площадь сектора, составляющего четверть круга, вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{1}{4}\pi r^2$. $S_{сектора} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 16 = 4\pi$ см².

3. Вычисление площади закрашенной фигуры ($S_{фигуры}$)

Площадь фигуры равна удвоенной площади сектора минус площадь квадрата: $S_{фигуры} = 2 \cdot S_{сектора} - S_{квадрата}$ $S_{фигуры} = 2 \cdot 4\pi - 16 = 8\pi - 16$ см².

Ответ: $(8\pi - 16)$ см².