Номер 1041, страница 210 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.7. Длина окружности. Площадь круга - номер 1041, страница 210.

Условие.

Рис. 113

a) Рис. 114

б) 1041. На сторонах квадрата как на диаметрах построили полуокружности внутри квадрата. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 113). Сторона квадрата равна 4 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для вычисления площади закрашенной фигуры, которая состоит из четырех одинаковых "лепестков", можно использовать метод, основанный на анализе площадей составляющих ее фигур: квадрата и четырех полукругов.

1. Найдем площадь квадрата.
Сторона квадрата по условию задачи равна $a = 4$ см. Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$. $S_{кв} = 4^2 = 16$ см².

2. Найдем суммарную площадь четырех полукругов.
Стороны квадрата являются диаметрами полукругов, поэтому диаметр каждого полукруга $d = 4$ см. Радиус каждого полукруга ($r$) равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Площадь одного полукруга ($S_{пк}$) вычисляется как половина площади круга с тем же радиусом: $S_{пк} = \frac{1}{2}\pi r^2$. $S_{пк} = \frac{1}{2} \pi \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi$ см². Поскольку на каждой из четырех сторон квадрата построен полукруг, их общая площадь ($S_{4пк}$) составляет: $S_{4пк} = 4 \cdot S_{пк} = 4 \cdot 2\pi = 8\pi$ см².

3. Вычислим площадь закрашенной фигуры.
Если сложить площади четырех полукругов, то вся площадь квадрата будет покрыта. При этом закрашенные области ("лепестки") окажутся посчитаны дважды, так как каждая из них является пересечением двух полукругов. Незакрашенные углы квадрата будут посчитаны один раз. Таким образом, суммарная площадь четырех полукругов равна площади квадрата плюс площади закрашенной фигуры ($S_{фиг}$), так как именно эта часть была учтена повторно. Математически это можно записать так: $S_{4пк} = S_{кв} + S_{фиг}$ Отсюда можно выразить площадь искомой закрашенной фигуры: $S_{фиг} = S_{4пк} - S_{кв}$ Подставим найденные значения в формулу: $S_{фиг} = 8\pi - 16$ см².

Ответ: $8\pi - 16$ см².