Номер 1047, страница 212 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.8. Координатная ось. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 1047, страница 212.

Условие.

1047. Как надо понимать утверждение: множество всех точек координатной оси находится во взаимно однозначном соответствии со множеством всех действительных чисел?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Утверждение о взаимно однозначном соответствии между множеством всех точек координатной оси и множеством всех действительных чисел означает, что между этими двумя бесконечными множествами можно установить идеальную "парную" связь. Это можно разложить на два ключевых положения.

Во-первых, каждой точке на координатной оси соответствует одно и только одно действительное число. Если мы возьмем абсолютно любую точку на координатной прямой, для нее всегда можно определить уникальное число — ее координату. Эта координата представляет собой расстояние от начала отсчета (нуля) до этой точки, взятое со знаком «плюс», если точка находится в положительном направлении, и со знаком «минус» — если в отрицательном. Не может существовать двух разных точек с одной и той же координатой.

Во-вторых, каждому действительному числу соответствует одна и только одна точка на координатной оси. Справедливо и обратное: для любого действительного числа, будь то целое (например, $-3$), рациональное (например, $ \frac{1}{2} $) или иррациональное (например, $ \pi $ или $ \sqrt{2} $), всегда существует единственная точка на координатной оси, которая ему соответствует. Невозможно, чтобы одному числу соответствовали две разные точки.

Таким образом, это утверждение устанавливает, что координатная прямая является непрерывной и не имеет "пробелов" или "дыр". Множество действительных чисел полностью и без избытка "заполняет" всю числовую ось, служа идеальной "адресной системой" для всех ее точек.

Ответ: Данное утверждение следует понимать так, что существует идеальная парная связь между точками и числами: каждой точке на координатной оси соответствует ровно одно действительное число (ее координата), и каждому действительному числу соответствует ровно одна точка на координатной оси.