Страница 203 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1003. Для каких чисел верно равенство:

а) $|a|=a$;

б) $|a|=-a?$

а) По определению, модуль (абсолютная величина) числа $a$ — это само число $a$, если $a$ является неотрицательным ($a \ge 0$), и число $-a$, если $a$ является отрицательным ($a < 0$).Таким образом, равенство $|a| = a$ верно тогда и только тогда, когда число $a$ неотрицательное.Например, если $a=7$, то $|7|=7$ (верно). Если $a=0$, то $|0|=0$ (верно). Но если $a=-7$, то $|-7|=7$, что не равно $-7$ (неверно).Следовательно, равенство выполняется для всех $a \ge 0$.
Ответ: для всех неотрицательных чисел, то есть при $a \ge 0$.

б) Исходя из определения модуля, равенство $|a| = -a$ верно, когда число $a$ является отрицательным. Необходимо также проверить случай, когда $a=0$.Если $a=0$, то левая часть равенства $|0|=0$, а правая часть $-a=-0=0$. Равенство $0=0$ является верным.Следовательно, равенство $|a| = -a$ выполняется для всех отрицательных чисел и для нуля. Такие числа называются неположительными.Например, если $a=-4$, то $|-4|=4$ и $-a=-(-4)=4$. Равенство $4=4$ верно. Если $a=0$, равенство также верно. Но если $a=4$, то $|4|=4$, а $-a=-4$, и равенство $4=-4$ неверно.Следовательно, равенство выполняется для всех $a \le 0$.
Ответ: для всех неположительных чисел, то есть при $a \le 0$.

1004. Найтите модуль (абсолютную величину) числа:

а) $-2,(3)$;

б) $-0,5777$;

в) $-12,0(12)$;

г) $3,0(13)$.

Модуль (или абсолютная величина) числа — это неотрицательное число, которое показывает расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Модуль числа $x$ обозначается как $|x|$.

Для любого действительного числа $x$ его модуль определяется следующим образом:
- Если число положительное или равно нулю ($x \ge 0$), то его модуль равен самому числу: $|x| = x$.
- Если число отрицательное ($x < 0$), то его модуль равен противоположному ему положительному числу: $|x| = -x$.

Проще говоря, чтобы найти модуль числа, нужно отбросить его знак минус, если он есть.

Требуется найти модуль числа $-2,(3)$.

Так как число $-2,(3)$ является отрицательным, его модуль будет равен противоположному ему положительному числу.

$|-2,(3)| = -(-2,(3)) = 2,(3)$.

Ответ: $2,(3)$.

Требуется найти модуль числа $-0,5777$.

Число $-0,5777$ отрицательное. Согласно определению, модуль отрицательного числа — это само число без знака минус.

$|-0,5777| = -(-0,5777) = 0,5777$.

Ответ: $0,5777$.

Требуется найти модуль числа $-12,0(12)$.

Данное число является отрицательным. Его модуль будет равен ему же, но с положительным знаком.

$|-12,0(12)| = -(-12,0(12)) = 12,0(12)$.

Ответ: $12,0(12)$.

Требуется найти модуль числа $3,0(13)$.

Так как число $3,0(13)$ является положительным, его модуль, по определению, равен самому этому числу.

$|3,0(13)| = 3,0(13)$.

Ответ: $3,0(13)$.

1005. Найдите число, противоположное числу:

а) $2,5\overline{3}$;

б) $-1,\overline{72}$;

в) $3,1\overline{12}$;

г) $3,0\overline{13}$.

Противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Сумма противоположных чисел равна нулю. Например, для числа $a$ противоположным является число $-a$. Чтобы найти число, противоположное данному, нужно просто изменить его знак на противоположный. Для развернутого решения представим данные периодические дроби в виде обыкновенных дробей.

а) Найдем число, противоположное числу $2,5(3)$.

Сначала преобразуем периодическую дробь $2,5(3)$ в обыкновенную.
Пусть $x = 2,5(3) = 2,5333...$
Умножим на 10, чтобы запятая оказалась перед периодом:
$10x = 25,333...$
Умножим на 100, чтобы запятая оказалась после первого периода:
$100x = 253,333...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 253,333... - 25,333...$
$90x = 228$
$x = \frac{228}{90} = \frac{114}{45} = \frac{38}{15}$
Итак, $2,5(3) = \frac{38}{15}$.
Противоположным для числа $\frac{38}{15}$ является число $-\frac{38}{15}$, которое в виде периодической дроби записывается как $-2,5(3)$.

Ответ: $-2,5(3)$ или $-\frac{38}{15}$.

б) Найдем число, противоположное числу $-1,(72)$.

Противоположным для отрицательного числа является соответствующее положительное число.
Следовательно, для числа $-1,(72)$ противоположным будет $1,(72)$.
Преобразуем периодическую дробь $1,(72)$ в обыкновенную.
Пусть $x = 1,(72) = 1,727272...$
Период состоит из двух цифр, поэтому умножим число на 100, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо:
$100x = 172,727272...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 172,7272... - 1,7272...$
$99x = 171$
$x = \frac{171}{99} = \frac{19}{11}$
Таким образом, противоположным для числа $-1,(72)$ является число $1,(72)$ или $\frac{19}{11}$.

Ответ: $1,(72)$ или $\frac{19}{11}$.

в) Найдем число, противоположное числу $3,1(12)$.

Сначала преобразуем периодическую дробь $3,1(12)$ в обыкновенную.
Пусть $x = 3,1(12) = 3,1121212...$
Умножим на 10, чтобы запятая оказалась перед периодом:
$10x = 31,121212...$
Умножим на 1000, чтобы запятая оказалась после первого периода:
$1000x = 3112,1212...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - 10x = 3112,1212... - 31,1212...$
$990x = 3081$
$x = \frac{3081}{990} = \frac{1027}{330}$
Итак, $3,1(12) = \frac{1027}{330}$.
Противоположным для числа $\frac{1027}{330}$ является число $-\frac{1027}{330}$, которое в виде периодической дроби записывается как $-3,1(12)$.

Ответ: $-3,1(12)$ или $-\frac{1027}{330}$.

г) Найдем число, противоположное числу $3,0(13)$.

Сначала преобразуем периодическую дробь $3,0(13)$ в обыкновенную.
Пусть $x = 3,0(13) = 3,0131313...$
Умножим на 10, чтобы запятая оказалась перед периодом:
$10x = 30,131313...$
Умножим на 1000, чтобы запятая оказалась после первого периода:
$1000x = 3013,1313...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - 10x = 3013,1313... - 30,1313...$
$990x = 2983$
$x = \frac{2983}{990}$
Итак, $3,0(13) = \frac{2983}{990}$.
Противоположным для числа $\frac{2983}{990}$ является число $-\frac{2983}{990}$, которое в виде периодической дроби записывается как $-3,0(13)$.

Ответ: $-3,0(13)$ или $-\frac{2983}{990}$.

1006. Сравните числа:

а) $3.5$ и $3.\overline{5};$

б) $-2.14$ и $-2.1\overline{4};$

в) $-3.\overline{2}$ и $4.11;$

г) $-5.\overline{43}$ и $-5.\overline{4}.$

а) Чтобы сравнить числа $3,5$ и $3,(5)$, представим их в виде десятичных дробей и сравним поразрядно.
Число $3,5$ является конечной десятичной дробью, его можно записать как $3,5000...$
Число $3,(5)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая записывается как $3,5555...$
Целые части чисел равны ($3=3$), десятые доли также равны ($5=5$).
Сравним сотые доли: у числа $3,5$ это $0$, а у числа $3,(5)$ это $5$.
Поскольку $0 < 5$, то $3,5 < 3,(5)$.

Ответ: $3,5 < 3,(5)$.

б) Чтобы сравнить отрицательные числа $-2,14$ и $-2,1(4)$, сначала сравним их модули (положительные значения): $2,14$ и $2,1(4)$.
Число $2,14$ можно записать как $2,14000...$
Число $2,1(4)$ — это $2,14444...$
Сравнивая поразрядно, видим, что целые части, десятые и сотые доли у чисел совпадают. Различие начинается в разряде тысячных: у числа $2,14$ это $0$, а у числа $2,1(4)$ это $4$.
Так как $0 < 4$, то $2,14 < 2,1(4)$.
Для отрицательных чисел правило обратное: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Следовательно, $-2,14 > -2,1(4)$.

Ответ: $-2,14 > -2,1(4)$.

в) Сравниваем числа $-3,(2)$ и $4,11$.
Число $-3,(2)$ является отрицательным.
Число $4,11$ является положительным.
Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Поэтому $-3,(2) < 4,11$.

Ответ: $-3,(2) < 4,11$.

г) Чтобы сравнить отрицательные числа $-5,(43)$ и $-5,(4)$, сначала сравним их модули: $5,(43)$ и $5,(4)$.
Число $5,(43)$ — это бесконечная дробь $5,434343...$
Число $5,(4)$ — это бесконечная дробь $5,444444...$
Сравним их поразрядно. Целые части и десятые доли совпадают.
В разряде сотых у числа $5,(43)$ стоит цифра $3$, а у числа $5,(4)$ — цифра $4$.
Так как $3 < 4$, то $5,(43) < 5,(4)$.
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Следовательно, $-5,(43) > -5,(4)$.

Ответ: $-5,(43) > -5,(4)$.

1007. Округлите числа $a$ и $b$ с точностью до $0,1$ и вычислите приближённо разность $a-b$, если:

а) $a = 12,32, b = 0,1;$

б) $a = 0,(2), b = -2,323;$

в) $a = 4,2, b = 1,(1);$

г) $a = 45,6(12), b = 10,(2).$

а) $a = 12,32$, $b = 0,1$

Сначала необходимо округлить каждое число до десятых (с точностью до 0,1).

Для числа $a = 12,32$ смотрим на цифру в разряде сотых. Это цифра 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений, а последующие цифры отбрасываем.

$a \approx 12,3$

Число $b = 0,1$ уже представлено с точностью до десятых, поэтому округление не требуется.

$b \approx 0,1$

Теперь вычислим приближенную разность округленных чисел:

$a - b \approx 12,3 - 0,1 = 12,2$

Ответ: $12,2$

б) $a = 0,(2)$, $b = -2,323$

Сначала округлим каждое число до десятых.

Число $a = 0,(2)$ — это периодическая дробь $0,222...$. Цифра в разряде сотых равна 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону.

$a \approx 0,2$

Для числа $b = -2,323$ смотрим на цифру в разряде сотых. Это цифра 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону (по модулю).

$b \approx -2,3$

Вычислим приближенную разность:

$a - b \approx 0,2 - (-2,3) = 0,2 + 2,3 = 2,5$

Ответ: $2,5$

в) $a = 4,2$, $b = 1,(1)$

Сначала округлим каждое число до десятых.

Число $a = 4,2$ уже представлено с точностью до десятых.

$a \approx 4,2$

Число $b = 1,(1)$ — это периодическая дробь $1,111...$. Цифра в разряде сотых равна 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону.

$b \approx 1,1$

Вычислим приближенную разность:

$a - b \approx 4,2 - 1,1 = 3,1$

Ответ: $3,1$

г) $a = 45,6(12)$, $b = 10,(2)$

Сначала округлим каждое число до десятых.

Число $a = 45,6(12)$ — это периодическая дробь $45,61212...$. Цифра в разряде сотых равна 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону.

$a \approx 45,6$

Число $b = 10,(2)$ — это периодическая дробь $10,222...$. Цифра в разряде сотых равна 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону.

$b \approx 10,2$

Вычислим приближенную разность:

$a - b \approx 45,6 - 10,2 = 35,4$

Ответ: $35,4$

1008. Найдите приближённо сумму чисел, беря слагаемые с точностью до 0,01:

а) $3,5 + 3,(5)$

б) $1,359 + 3,2(6)$

в) $12,351 + 0,(3)$

г) $7,(41) + 5,(36)$

Для нахождения приближенной суммы нужно сначала округлить каждое слагаемое до сотых (с точностью до 0,01), а затем сложить полученные приближенные значения.

а) $3,5 + 3,(5)$

Округлим каждое слагаемое до сотых:

• Первое слагаемое: $3,5 = 3,50$.
• Второе слагаемое: $3,(5) = 3,555...$. Так как третья цифра после запятой равна 5, округляем предыдущую цифру в большую сторону: $3,555... \approx 3,56$.

Найдем сумму приближенных значений: $3,50 + 3,56 = 7,06$.

Ответ: $7,06$.

б) $1,359 + 3,2(6)$

Округлим каждое слагаемое до сотых:

• Первое слагаемое: $1,359$. Так как третья цифра после запятой (9) больше или равна 5, округляем предыдущую цифру в большую сторону: $1,359 \approx 1,36$.
• Второе слагаемое: $3,2(6) = 3,2666...$. Так как третья цифра после запятой (6) больше или равна 5, округляем предыдущую цифру в большую сторону: $3,2666... \approx 3,27$.

Найдем сумму приближенных значений: $1,36 + 3,27 = 4,63$.

Ответ: $4,63$.

в) $12,351 + 0,(3)$

Округлим каждое слагаемое до сотых:

• Первое слагаемое: $12,351$. Так как третья цифра после запятой (1) меньше 5, оставляем предыдущую цифру без изменений: $12,351 \approx 12,35$.
• Второе слагаемое: $0,(3) = 0,333...$. Так как третья цифра после запятой (3) меньше 5, оставляем предыдущую цифру без изменений: $0,333... \approx 0,33$.

Найдем сумму приближенных значений: $12,35 + 0,33 = 12,68$.

Ответ: $12,68$.

г) $7,(41) + 5,(36)$

Округлим каждое слагаемое до сотых:

• Первое слагаемое: $7,(41) = 7,4141...$. Так как третья цифра после запятой (4) меньше 5, оставляем предыдущую цифру без изменений: $7,4141... \approx 7,41$.
• Второе слагаемое: $5,(36) = 5,3636...$. Так как третья цифра после запятой (3) меньше 5, оставляем предыдущую цифру без изменений: $5,3636... \approx 5,36$.

Найдем сумму приближенных значений: $7,41 + 5,36 = 12,77$.

Ответ: $12,77$.

1009. Найдите приближённо разность чисел, беря уменьшаемое и вычитаемое с точностью до 0,001:

а) $11,(4) - 7,3;$

б) $12,(15) - 3,7236;$

в) $7,(93) - 2,(39);$

г) $3,3297 - 6,(8).$

Для нахождения приближенной разности необходимо сначала округлить уменьшаемое и вычитаемое до тысячных (с точностью до 0,001), а затем выполнить вычитание.

а) $11,(4) - 7,3$

1. Округлим уменьшаемое $11,(4) = 11,4444...$. Четвертая цифра после запятой равна 4, значит, округляем в меньшую сторону: $11,4444... \approx 11,444$.

2. Округлим вычитаемое $7,3$. Его можно представить как $7,3000...$. Четвертая цифра после запятой равна 0, значит, округляем в меньшую сторону: $7,3 \approx 7,300$.

3. Найдем разность округленных значений: $11,444 - 7,300 = 4,144$.

Ответ: $4,144$.

б) $12,(15) - 3,7236$

1. Округлим уменьшаемое $12,(15) = 12,1515...$. Четвертая цифра после запятой равна 5, значит, округляем в большую сторону: $12,1515... \approx 12,152$.

2. Округлим вычитаемое $3,7236$. Четвертая цифра после запятой равна 6, значит, округляем в большую сторону: $3,7236 \approx 3,724$.

3. Найдем разность округленных значений: $12,152 - 3,724 = 8,428$.

Ответ: $8,428$.

в) $7,(93) - 2,(39)$

1. Округлим уменьшаемое $7,(93) = 7,9393...$. Четвертая цифра после запятой равна 3, значит, округляем в меньшую сторону: $7,9393... \approx 7,939$.

2. Округлим вычитаемое $2,(39) = 2,3939...$. Четвертая цифра после запятой равна 9, значит, округляем в большую сторону: $2,3939... \approx 2,394$.

3. Найдем разность округленных значений: $7,939 - 2,394 = 5,545$.

Ответ: $5,545$.

г) $3,3297 - 6,(8)$

1. Округлим уменьшаемое $3,3297$. Четвертая цифра после запятой равна 7, значит, округляем в большую сторону: $3,3297 \approx 3,330$.

2. Округлим вычитаемое $6,(8) = 6,8888...$. Четвертая цифра после запятой равна 8, значит, округляем в большую сторону: $6,8888... \approx 6,889$.

3. Найдем разность округленных значений: $3,330 - 6,889 = -3,559$.

Ответ: $-3,559$.

1010. Найдите приближённо произведение чисел, беря множители с точностью до второй значащей цифры:

а) $1,3 \cdot 12,\overline{1}$;

б) $0,56 \cdot 0,\overline{3}$;

в) $9,\overline{1} \cdot 6,\overline{2}$;

г) $12,\overline{45} \cdot 1,\overline{1}$.

а) Возьмем множители с точностью до второй значащей цифры. Первый множитель $1,3$ уже представлен с двумя значащими цифрами. Второй множитель $12,(1) = 12,111...$ округляем до второй значащей цифры. Первые две значащие цифры — 1 и 2. Третья значащая цифра — 1. Так как $1 < 5$, округляем до $12$. Теперь найдем произведение приближенных значений: $1,3 \cdot 12 = 15,6$.
Ответ: 15,6

б) Возьмем множители с точностью до второй значащей цифры. Первый множитель $0,56$ уже представлен с двумя значащими цифрами (5 и 6). Второй множитель $0,(3) = 0,333...$ округляем до второй значащей цифры. Первые две значащие цифры — 3 и 3. Третья значащая цифра — 3. Так как $3 < 5$, округляем до $0,33$. Теперь найдем произведение приближенных значений: $0,56 \cdot 0,33 = 0,1848$.
Ответ: 0,1848

в) Возьмем множители с точностью до второй значащей цифры. Первый множитель $9,(1) = 9,111...$ округляем до второй значащей цифры. Первые две значащие цифры — 9 и 1. Третья значащая цифра — 1. Так как $1 < 5$, округляем до $9,1$. Второй множитель $6,(2) = 6,222...$ округляем до второй значащей цифры. Первые две значащие цифры — 6 и 2. Третья значащая цифра — 2. Так как $2 < 5$, округляем до $6,2$. Теперь найдем произведение приближенных значений: $9,1 \cdot 6,2 = 56,42$.
Ответ: 56,42

г) Возьмем множители с точностью до второй значащей цифры. Первый множитель $12,(45) = 12,4545...$ округляем до второй значащей цифры. Первые две значащие цифры — 1 и 2. Третья значащая цифра — 4. Так как $4 < 5$, округляем до $12$. Второй множитель $1,(1) = 1,111...$ округляем до второй значащей цифры. Первые две значащие цифры — 1 и 1. Третья значащая цифра — 1. Так как $1 < 5$, округляем до $1,1$. Теперь найдем произведение приближенных значений: $12 \cdot 1,1 = 13,2$.
Ответ: 13,2

1011. Найдите приближённо частное чисел, беря делимое и делитель с точностью до третьей значащей цифры:

а) $3.2 : 0.\overline{2}$;

б) $0.\overline{5} : 2$;

в) $3.\overline{82} : 2.\overline{3}$;

г) $35.0\overline{8} : 4.\overline{02}$.

а)

Сначала необходимо округлить делимое и делитель до трёх значащих цифр. Делимое 3,2 имеет две значащие цифры. Чтобы получить три значащие цифры, запишем его как 3,20. Делитель 0,(2) — это бесконечная периодическая дробь 0,2222... Для округления до трёх значащих цифр, смотрим на четвёртую значащую цифру. Она равна 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону (оставляем третью цифру без изменений). Получаем 0,222.

Далее выполним деление полученных приближённых значений: $3,20 : 0,222 \approx 14,4144...$ Результат следует округлить до трёх значащих цифр, так как это наименьшее количество значащих цифр, использованное в вычислениях. Четвёртая значащая цифра результата (1) меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону. $14,4144... \approx 14,4$.

Ответ: 14,4.

б)

Округлим делимое и делитель до трёх значащих цифр. Делимое 0,(5) = 0,5555... Четвёртая значащая цифра равна 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону. Получаем 0,556. Делитель 2 имеет одну значащую цифру. Для точности до трёх значащих цифр запишем его как 2,00.

Теперь выполним деление: $0,556 : 2,00 = 0,278$. Полученный результат уже содержит три значащие цифры, поэтому дополнительное округление не требуется.

Ответ: 0,278.

в)

Округлим делимое и делитель до трёх значащих цифр. Делимое 3,(82) = 3,828282... Четвёртая значащая цифра равна 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону. Получаем 3,83. Делитель 2,(3) = 2,3333... Четвёртая значащая цифра равна 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем 2,33.

Выполним деление и округлим результат до трёх значащих цифр: $3,83 : 2,33 = \frac{383}{233} \approx 1,64377...$ Четвёртая значащая цифра результата (3) меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону. $1,64377... \approx 1,64$.

Ответ: 1,64.

г)

Округлим делимое и делитель до трёх значащих цифр. Делимое 35,0(8) = 35,0888... Четвёртая значащая цифра равна 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону. Получаем 35,1. Делитель 4,(02) = 4,020202... Четвёртая значащая цифра равна 0. Так как $0 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем 4,02.

Выполним деление и округлим результат до трёх значащих цифр: $35,1 : 4,02 = \frac{3510}{402} \approx 8,73134...$ Четвёртая значащая цифра результата (1) меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону. $8,73134... \approx 8,73$.

Ответ: 8,73.

1012. а) Что получится, если к числу прибавить 0?

б) Чему равна сумма противоположных чисел?

в) Можно ли разность $a - b$ записать в виде суммы?

г) Что получится, если число умножить на 1?

д) Что получится, если число умножить на 0?

а) Прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. Это основное свойство нуля как нейтрального элемента для операции сложения. Если обозначить произвольное число буквой $a$, то это свойство можно записать в виде формулы: $a + 0 = a$.
Ответ: получится то же самое число.

б) Противоположные числа — это числа, которые имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но разные знаки. Например, 5 и -5. Сумма любого числа $a$ и противоположного ему числа $-a$ всегда равна нулю. Это можно записать в виде формулы: $a + (-a) = 0$.
Ответ: сумма противоположных чисел равна нулю.

в) Да, любую разность можно представить в виде суммы. Вычитание числа $b$ из числа $a$ — это операция, обратная сложению. Она эквивалентна прибавлению к числу $a$ числа, противоположного $b$ (то есть числа $-b$). Таким образом, разность $a - b$ можно записать как сумму: $a + (-b)$.
Ответ: да, можно, в виде $a + (-b)$.

г) Умножение любого числа на единицу (1) не изменяет это число. Единица является нейтральным элементом для операции умножения. Если обозначить произвольное число буквой $a$, то это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot 1 = a$.
Ответ: получится то же самое число.

д) Умножение любого числа на нуль (0) всегда дает в результате нуль. Это называется свойством нуля при умножении. Если обозначить произвольное число буквой $a$, то это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot 0 = 0$.
Ответ: получится нуль.

1013. Докажите, пользуясь свойствами действительных чисел, что:

а) если $a < b$ и $c$ — отрицательное число, то $a \cdot c > b \cdot c$;

б) если $0 < a < b$, то $a^2 < b^2$;

в) если $a < b < 0$, то $a^2 > b^2$.

а) если $a < b$ и $c$ — отрицательное число, то $a \cdot c > b \cdot c$;

По определению, неравенство $a < b$ означает, что разность $b - a$ является положительным числом, то есть $b - a > 0$. По условию, $c$ — отрицательное число, то есть $c < 0$. Согласно свойствам неравенств, если умножить обе части неравенства на отрицательное число (в данном случае на $-1$), то знак неравенства изменится на противоположный. Умножив $c < 0$ на $-1$, получим $-c > 0$. Теперь у нас есть два положительных числа: $(b - a)$ и $(-c)$. Согласно свойству действительных чисел, произведение двух положительных чисел также является положительным числом. Следовательно, $(b - a) \cdot (-c) > 0$. Используя распределительное свойство умножения (раскрывая скобки), получаем: $b \cdot (-c) - a \cdot (-c) > 0$ $-bc + ac > 0$ Прибавим к обеим частям неравенства $bc$: $ac > bc$ Это и есть доказываемое утверждение: $a \cdot c > b \cdot c$.
Ответ: Доказано.

б) если $0 < a < b$, то $a^2 < b^2$;

Требуется доказать, что $a^2 < b^2$. Это неравенство эквивалентно неравенству $b^2 - a^2 > 0$. Воспользуемся формулой разности квадратов для левой части: $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$. Теперь проанализируем знаки каждого из множителей, исходя из условия $0 < a < b$. 1. Из $a < b$ следует, что разность $b - a$ положительна: $b - a > 0$. 2. Из $a > 0$ и $b > 0$ следует, что их сумма также положительна: $a + b > 0$. Поскольку оба множителя, $(b-a)$ и $(b+a)$, положительны, их произведение также будет положительным числом: $(b - a)(b + a) > 0$. Следовательно, $b^2 - a^2 > 0$, что равносильно $a^2 < b^2$.
Ответ: Доказано.

в) если $a < b < 0$, то $a^2 > b^2$;

Требуется доказать, что $a^2 > b^2$. Это неравенство эквивалентно неравенству $a^2 - b^2 > 0$. Воспользуемся формулой разности квадратов для левой части: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Теперь проанализируем знаки каждого из множителей, исходя из условия $a < b < 0$. 1. Из $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна: $a - b < 0$. 2. Из $a < 0$ и $b < 0$ следует, что их сумма (сумма двух отрицательных чисел) также отрицательна: $a + b < 0$. Поскольку оба множителя, $(a-b)$ и $(a+b)$, отрицательны, их произведение будет положительным числом (согласно свойству, произведение двух отрицательных чисел положительно): $(a - b)(a + b) > 0$. Следовательно, $a^2 - b^2 > 0$, что равносильно $a^2 > b^2$.
Ответ: Доказано.