Номер 1013, страница 203 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.5. Действительные числа. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 1013, страница 203.

Условие.

1013. Докажите, пользуясь свойствами действительных чисел, что:

а) если $a < b$ и $c$ — отрицательное число, то $a \cdot c > b \cdot c$;

б) если $0 < a < b$, то $a^2 < b^2$;

в) если $a < b < 0$, то $a^2 > b^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) если $a < b$ и $c$ — отрицательное число, то $a \cdot c > b \cdot c$;

По определению, неравенство $a < b$ означает, что разность $b - a$ является положительным числом, то есть $b - a > 0$. По условию, $c$ — отрицательное число, то есть $c < 0$. Согласно свойствам неравенств, если умножить обе части неравенства на отрицательное число (в данном случае на $-1$), то знак неравенства изменится на противоположный. Умножив $c < 0$ на $-1$, получим $-c > 0$. Теперь у нас есть два положительных числа: $(b - a)$ и $(-c)$. Согласно свойству действительных чисел, произведение двух положительных чисел также является положительным числом. Следовательно, $(b - a) \cdot (-c) > 0$. Используя распределительное свойство умножения (раскрывая скобки), получаем: $b \cdot (-c) - a \cdot (-c) > 0$ $-bc + ac > 0$ Прибавим к обеим частям неравенства $bc$: $ac > bc$ Это и есть доказываемое утверждение: $a \cdot c > b \cdot c$.
Ответ: Доказано.

б) если $0 < a < b$, то $a^2 < b^2$;

Требуется доказать, что $a^2 < b^2$. Это неравенство эквивалентно неравенству $b^2 - a^2 > 0$. Воспользуемся формулой разности квадратов для левой части: $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$. Теперь проанализируем знаки каждого из множителей, исходя из условия $0 < a < b$. 1. Из $a < b$ следует, что разность $b - a$ положительна: $b - a > 0$. 2. Из $a > 0$ и $b > 0$ следует, что их сумма также положительна: $a + b > 0$. Поскольку оба множителя, $(b-a)$ и $(b+a)$, положительны, их произведение также будет положительным числом: $(b - a)(b + a) > 0$. Следовательно, $b^2 - a^2 > 0$, что равносильно $a^2 < b^2$.
Ответ: Доказано.

в) если $a < b < 0$, то $a^2 > b^2$;

Требуется доказать, что $a^2 > b^2$. Это неравенство эквивалентно неравенству $a^2 - b^2 > 0$. Воспользуемся формулой разности квадратов для левой части: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Теперь проанализируем знаки каждого из множителей, исходя из условия $a < b < 0$. 1. Из $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна: $a - b < 0$. 2. Из $a < 0$ и $b < 0$ следует, что их сумма (сумма двух отрицательных чисел) также отрицательна: $a + b < 0$. Поскольку оба множителя, $(a-b)$ и $(a+b)$, отрицательны, их произведение будет положительным числом (согласно свойству, произведение двух отрицательных чисел положительно): $(a - b)(a + b) > 0$. Следовательно, $a^2 - b^2 > 0$, что равносильно $a^2 > b^2$.
Ответ: Доказано.