Страница 198 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

980. Какие остатки могут получиться при делении натуральных чисел на:

а) $2$;

б) $3$;

в) $4$;

г) $5$;

д) $9$;

е) $11$?

При делении натурального числа на делитель $n$, остаток $r$ всегда является целым неотрицательным числом, которое строго меньше делителя. Это можно выразить с помощью неравенства: $0 \le r < n$. Таким образом, возможными остатками являются все целые числа от 0 до $n-1$.

а)
При делении на 2 (где $n=2$), возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 2$. Это числа 0 и 1.
Ответ: 0, 1.

б)
При делении на 3 (где $n=3$), возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 3$. Это числа 0, 1, 2.
Ответ: 0, 1, 2.

в)
При делении на 4 (где $n=4$), возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 4$. Это числа 0, 1, 2, 3.
Ответ: 0, 1, 2, 3.

г)
При делении на 5 (где $n=5$), возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 5$. Это числа 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

д)
При делении на 9 (где $n=9$), возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 9$. Это числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

е)
При делении на 11 (где $n=11$), возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 11$. Это числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

981. Докажите, что при делении натурального числа $p$ на натуральное число $q$ ($q > 1$) получается бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом, состоящим не более чем из ($q - 1$) цифр.

Рассмотрим процесс представления рациональной дроби $\frac{p}{q}$ в виде десятичной дроби с помощью алгоритма деления в столбик, где $p$ и $q$ — натуральные числа, и $q > 1$.

На каждом шаге алгоритма деления (после нахождения целой части) мы выполняем деление остатка, умноженного на 10, на делитель $q$. Остаток $r$ от деления на $q$ всегда удовлетворяет неравенству $0 \le r < q$. Таким образом, возможными остатками являются числа из множества $\{0, 1, 2, \dots, q-1\}$.

Возможны два случая:

1. На некотором шаге деления остаток становится равным 0. В этом случае процесс деления завершается, и результатом является конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической дроби с периодом 0. Например, $\frac{1}{4} = 0.25 = 0.25000\dots = 0.25(0)$. Длина периода в этом случае равна 1 (цифра 0). Так как по условию $q > 1$, то $q-1 \ge 1$. Следовательно, длина периода не превышает $q-1$.

2. Остаток никогда не становится равным 0. В этом случае процесс деления продолжается бесконечно, и мы получаем бесконечную десятичную дробь. Все получаемые остатки $r_1, r_2, r_3, \dots$ являются натуральными числами из множества $\{1, 2, \dots, q-1\}$.

Количество возможных различных ненулевых остатков равно $q-1$. Рассмотрим последовательность остатков, получаемых на каждом шаге деления после запятой. По принципу Дирихле, среди первых $q$ остатков этой последовательности ($r_1, r_2, \dots, r_q$) обязательно найдутся хотя бы два одинаковых, так как количество остатков ($q$) больше количества возможных различных значений ($q-1$).

Пусть $r_k$ — это первый остаток, который повторился, и он повторился на шаге $k+L$, то есть $r_k = r_{k+L}$ (где $L>0$). Это означает, что последовательность остатков $r_k, r_{k+1}, \dots, r_{k+L-1}$ состоит из $L$ различных ненулевых чисел. Поскольку алгоритм деления на каждом следующем шаге зависит только от предыдущего остатка (мы сносим 0, делим на $q$, находим следующую цифру и новый остаток), то после повторения остатка $r_k$ вся последовательность цифр частного и остатков начнет повторяться. Таким образом, десятичная дробь будет периодической, а последовательность цифр, полученная на шагах с $k$ по $k+L-1$, образует период.

Длина периода $L$ равна количеству шагов в этом цикле. Она соответствует количеству различных остатков, которые образуют этот цикл. Так как все эти остатки — различные числа из множества $\{1, 2, \dots, q-1\}$, состоящего из $q-1$ элемента, то их количество $L$ не может превышать $q-1$. Следовательно, $L \le q-1$.

Таким образом, в обоих случаях при делении натурального числа $p$ на натуральное число $q > 1$ получается бесконечная периодическая десятичная дробь, длина периода которой не более чем $q-1$.

Ответ: Утверждение доказано.

1982. а) Сколько цифр может быть в периоде десятичного разложения обыкновенной несократимой дроби со знаменателем 7?

б) В каком случае разложение обыкновенной дроби в десятичную является: конечным; бесконечным?

в) Почему десятичное разложение дроби $\frac{3}{7}$ периодическое?

а) Длина периода десятичного разложения несократимой дроби $\frac{m}{n}$ (где $n$ не делится на 2 и 5) является наименьшим натуральным числом $k$, таким что $10^k - 1$ делится на $n$. Для знаменателя $n=7$, мы ищем наименьшее $k$, при котором $10^k \equiv 1 \pmod{7}$.
Согласно малой теореме Ферма, $10^{7-1} = 10^6 \equiv 1 \pmod{7}$. Это означает, что длина периода является делителем числа 6. Возможные длины периода: 1, 2, 3, 6.
Проверим степени 10 по модулю 7: $10^1 \equiv 3 \pmod{7}$
$10^2 \equiv 9 \equiv 2 \pmod{7}$
$10^3 \equiv 10 \cdot 2 = 20 \equiv 6 \pmod{7}$
$10^6 \equiv (10^3)^2 \equiv 6^2 = 36 \equiv 1 \pmod{7}$
Наименьшая степень $k$, при которой $10^k \equiv 1 \pmod{7}$, равна 6. Это также можно увидеть из процесса деления в столбик, например, для дроби $\frac{1}{7}$: $\frac{1}{7} = 0.142857142857... = 0.(142857)$.
В периоде 6 цифр. Для любой другой несократимой дроби со знаменателем 7 (например, $\frac{2}{7}$, $\frac{3}{7}$) длина периода также будет равна 6.
Ответ: 6 цифр.

б) Разложение обыкновенной дроби в десятичную является:
конечным, если знаменатель несократимой дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5. То есть знаменатель $n$ может быть представлен в виде $n=2^a \cdot 5^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа.
бесконечным (периодическим), если знаменатель несократимой дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.
Ответ: разложение конечно, если знаменатель несократимой дроби имеет вид $2^a \cdot 5^b$; разложение бесконечно, если знаменатель несократимой дроби имеет хотя бы один простой делитель, отличный от 2 и 5.

в) Десятичное разложение дроби $\frac{3}{7}$ является периодическим, потому что она является несократимой, и ее знаменатель, равный 7, — это простое число, отличное от 2 и 5. Причина периодичности кроется в алгоритме деления в столбик. При делении числителя 3 на знаменатель 7 на каждом шаге получается остаток. Возможные ненулевые остатки при делении на 7 — это 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поскольку число возможных остатков конечно, на каком-то шаге деления один из остатков неизбежно повторится. Как только остаток повторяется, то и последующие цифры в частном начинают повторяться в той же последовательности, образуя период.
Для дроби $\frac{3}{7}$ процесс деления выглядит так: $3 \div 7 = 0.(428571)$
Последовательность остатков: 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, ... Остаток 3 повторяется, и цикл замыкается.
Ответ: потому что знаменатель дроби (7) в своем разложении на простые множители содержит число, отличное от 2 и 5, что при делении в столбик приводит к повторению остатков и, как следствие, к периодичности цифр в частном.

983. Разложите обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель уголком:

а) $\frac{1}{11}$;

б) $\frac{2}{11}$;

в) $\frac{1}{12}$;

г) $\frac{5}{12}$;

д) $\frac{1}{7}$;

е) $\frac{5}{7}$;

ж) $\frac{2}{7}$;

з) $\frac{1}{33}$.

а) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{1}{11}$ в десятичную, разделим числитель 1 на знаменатель 11 уголком.
1 меньше 11, поэтому в целой части частного пишем 0 и ставим запятую. К 1 приписываем 0, получаем 10.
10 меньше 11, поэтому в частном после запятой пишем 0. Приписываем еще один 0, получаем 100.
Делим 100 на 11. Получаем 9, а в остатке 1 ($11 \times 9 = 99$, $100 - 99 = 1$).
К остатку 1 приписываем 0, получаем 10. 10 меньше 11, пишем в частном 0.
Приписываем еще 0, получаем 100. Делим 100 на 11, получаем 9 и 1 в остатке.
Процесс деления стал повторяться. В частном повторяется группа цифр 09.
Следовательно, $\frac{1}{11} = 0.090909... = 0.(09)$.
Ответ: $0.(09)$

б) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{2}{11}$ в десятичную, разделим числитель 2 на знаменатель 11 уголком.
2 меньше 11, поэтому в целой части частного пишем 0 и ставим запятую. К 2 приписываем 0, получаем 20.
Делим 20 на 11. Получаем 1, а в остатке 9 ($11 \times 1 = 11$, $20 - 11 = 9$).
К остатку 9 приписываем 0, получаем 90. Делим 90 на 11. Получаем 8, а в остатке 2 ($11 \times 8 = 88$, $90 - 88 = 2$).
Остаток 2 совпал с исходным делимым, значит, деление будет повторяться. В частном повторяется группа цифр 18.
Следовательно, $\frac{2}{11} = 0.181818... = 0.(18)$.
Ответ: $0.(18)$

в) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{1}{12}$ в десятичную, разделим числитель 1 на знаменатель 12 уголком.
1 меньше 12, поэтому в целой части частного пишем 0 и ставим запятую. К 1 приписываем 0, получаем 10.
10 меньше 12, пишем в частном 0. Приписываем еще 0, получаем 100.
Делим 100 на 12. Получаем 8, а в остатке 4 ($12 \times 8 = 96$, $100 - 96 = 4$).
К остатку 4 приписываем 0, получаем 40. Делим 40 на 12. Получаем 3, а в остатке 4 ($12 \times 3 = 36$, $40 - 36 = 4$).
Остаток 4 начал повторяться, значит, в частном будет повторяться цифра 3.
Следовательно, $\frac{1}{12} = 0.08333... = 0.08(3)$.
Ответ: $0.08(3)$

г) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{5}{12}$ в десятичную, разделим числитель 5 на знаменатель 12 уголком.
5 меньше 12, поэтому в целой части частного пишем 0 и ставим запятую. К 5 приписываем 0, получаем 50.
Делим 50 на 12. Получаем 4, а в остатке 2 ($12 \times 4 = 48$, $50 - 48 = 2$).
К остатку 2 приписываем 0, получаем 20. Делим 20 на 12. Получаем 1, а в остатке 8 ($12 \times 1 = 12$, $20 - 12 = 8$).
К остатку 8 приписываем 0, получаем 80. Делим 80 на 12. Получаем 6, а в остатке 8 ($12 \times 6 = 72$, $80 - 72 = 8$).
Остаток 8 начал повторяться, значит, в частном будет повторяться цифра 6.
Следовательно, $\frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6)$.
Ответ: $0.41(6)$

д) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{1}{7}$ в десятичную, разделим числитель 1 на знаменатель 7 уголком.
$1 \div 7$: целая часть 0.
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3).
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2).
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6).
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4).
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5).
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1).
Остаток 1 совпал с исходным делимым, значит, деление будет повторяться. Период состоит из цифр 142857.
Следовательно, $\frac{1}{7} = 0.14285714... = 0.(142857)$.
Ответ: $0.(142857)$

е) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{5}{7}$ в десятичную, разделим числитель 5 на знаменатель 7 уголком.
$5 \div 7$: целая часть 0.
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1).
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3).
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2).
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6).
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4).
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5).
Остаток 5 совпал с исходным делимым, значит, деление будет повторяться. Период состоит из цифр 714285.
Следовательно, $\frac{5}{7} = 0.71428571... = 0.(714285)$.
Ответ: $0.(714285)$

ж) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{2}{7}$ в десятичную, разделим числитель 2 на знаменатель 7 уголком.
$2 \div 7$: целая часть 0.
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6).
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4).
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5).
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1).
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3).
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2).
Остаток 2 совпал с исходным делимым, значит, деление будет повторяться. Период состоит из цифр 285714.
Следовательно, $\frac{2}{7} = 0.28571428... = 0.(285714)$.
Ответ: $0.(285714)$

з) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{1}{33}$ в десятичную, разделим числитель 1 на знаменатель 33 уголком.
1 меньше 33, поэтому в целой части частного пишем 0 и ставим запятую. К 1 приписываем 0, получаем 10.
10 меньше 33, пишем в частном 0. Приписываем еще 0, получаем 100.
Делим 100 на 33. Получаем 3, а в остатке 1 ($33 \times 3 = 99$, $100 - 99 = 1$).
Остаток 1 совпал с исходным делимым, значит, деление будет повторяться. В частном повторяется группа цифр 03.
Следовательно, $\frac{1}{33} = 0.030303... = 0.(03)$.
Ответ: $0.(03)$

984. Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

а) $1.\overline{8}$;

б) $0.\overline{3}$;

в) $0.\overline{7}$;

г) $3.\overline{5}$;

д) $0.1\overline{2}$;

е) $1.12\overline{3}$;

ж) $7.5\overline{4}$;

з) $0.\overline{35}$;

и) $0.\overline{59}$;

к) $0.\overline{12}$;

л) $1.0\overline{12}$;

м) $8.7\overline{21}$.

Для преобразования периодической дроби в обыкновенную используется следующий алгоритм:

1. Обозначить исходную дробь через $x$.
2. Умножить $x$ на $10^k$, где $k$ — количество цифр после запятой до периода, чтобы получить первое уравнение. Если период начинается сразу после запятой, этот шаг пропускается.
3. Умножить $x$ на $10^{k+m}$, где $m$ — количество цифр в периоде, чтобы получить второе уравнение.
4. Вычесть первое уравнение из второго, чтобы избавиться от периодической части.
5. Решить полученное уравнение относительно $x$ и при необходимости сократить дробь.

а) 1,(8)

Пусть $x = 1,(8) = 1,888...$Для удобства сначала преобразуем дробную часть $y = 0,(8) = 0,888...$В периоде одна цифра, поэтому умножим на 10:$10y = 8,888...$Вычтем из второго уравнения первое ($y = 0,888...$):$10y - y = 8,888... - 0,888...$$9y = 8$$y = \frac{8}{9}$Следовательно, исходное число равно $1 + y = 1 + \frac{8}{9} = 1\frac{8}{9}$.

Ответ: $1\frac{8}{9}$

б) 0,(3)

Пусть $x = 0,(3) = 0,333...$В периоде одна цифра, поэтому умножим на 10:$10x = 3,333...$Вычтем из второго уравнения первое:$10x - x = 3,333... - 0,333...$$9x = 3$$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) 0,(7)

Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$В периоде одна цифра, умножим на 10:$10x = 7,777...$Вычтем исходное уравнение:$10x - x = 7,777... - 0,777...$$9x = 7$$x = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

г) 3,(5)

Пусть $x = 3,(5) = 3,555...$Рассмотрим дробную часть $y = 0,(5) = 0,555...$$10y = 5,555...$$10y - y = 5,555... - 0,555...$$9y = 5 \implies y = \frac{5}{9}$Тогда $x = 3 + y = 3 + \frac{5}{9} = 3\frac{5}{9}$.

Ответ: $3\frac{5}{9}$

д) 0,1(2)

Пусть $x = 0,1(2) = 0,1222...$После запятой до периода стоит одна цифра (1), поэтому умножим уравнение на 10:$10x = 1,222...$В периоде одна цифра (2), поэтому умножим исходное уравнение на 100:$100x = 12,222...$Вычтем из второго уравнения первое:$100x - 10x = 12,222... - 1,222...$$90x = 11$$x = \frac{11}{90}$

Ответ: $\frac{11}{90}$

е) 1,12(3)

Пусть $x = 1,12(3) = 1,12333...$До периода после запятой стоят две цифры (12), умножим на 100:$100x = 112,333...$В периоде одна цифра (3), умножим исходное уравнение на 1000:$1000x = 1123,333...$Вычтем из второго уравнения первое:$1000x - 100x = 1123,333... - 112,333...$$900x = 1011$$x = \frac{1011}{900}$Сократим дробь на 3: $x = \frac{1011 \div 3}{900 \div 3} = \frac{337}{300}$.Переведем в смешанную дробь: $x = 1\frac{37}{300}$.

Ответ: $1\frac{37}{300}$

ж) 7,5(4)

Пусть $x = 7,5(4) = 7,5444...$До периода после запятой одна цифра (5), умножим на 10:$10x = 75,444...$В периоде одна цифра (4), умножим исходное уравнение на 100:$100x = 754,444...$Вычтем из второго уравнения первое:$100x - 10x = 754,444... - 75,444...$$90x = 679$$x = \frac{679}{90}$Переведем в смешанную дробь: $x = 7\frac{49}{90}$.

Ответ: $7\frac{49}{90}$

з) 0,(35)

Пусть $x = 0,(35) = 0,3535...$В периоде две цифры, умножим на 100:$100x = 35,3535...$Вычтем исходное уравнение:$100x - x = 35,3535... - 0,3535...$$99x = 35$$x = \frac{35}{99}$

Ответ: $\frac{35}{99}$

и) 0,(59)

Пусть $x = 0,(59) = 0,5959...$В периоде две цифры, умножим на 100:$100x = 59,5959...$Вычтем исходное уравнение:$100x - x = 59,5959... - 0,5959...$$99x = 59$$x = \frac{59}{99}$

Ответ: $\frac{59}{99}$

к) 0,(12)

Пусть $x = 0,(12) = 0,1212...$В периоде две цифры, умножим на 100:$100x = 12,1212...$Вычтем исходное уравнение:$100x - x = 12,1212... - 0,1212...$$99x = 12$$x = \frac{12}{99}$Сократим дробь на 3: $x = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$.

Ответ: $\frac{4}{33}$

л) 1,0(12)

Пусть $x = 1,0(12) = 1,01212...$До периода после запятой одна цифра (0), умножим на 10:$10x = 10,1212...$В периоде две цифры (12), умножим исходное уравнение на 1000:$1000x = 1012,1212...$Вычтем из второго уравнения первое:$1000x - 10x = 1012,1212... - 10,1212...$$990x = 1002$$x = \frac{1002}{990}$Сократим дробь на 6: $x = \frac{1002 \div 6}{990 \div 6} = \frac{167}{165}$.Переведем в смешанную дробь: $x = 1\frac{2}{165}$.

Ответ: $1\frac{2}{165}$

м) 8,7(21)

Пусть $x = 8,7(21) = 8,72121...$До периода после запятой одна цифра (7), умножим на 10:$10x = 87,2121...$В периоде две цифры (21), умножим исходное уравнение на 1000:$1000x = 8721,2121...$Вычтем из второго уравнения первое:$1000x - 10x = 8721,2121... - 87,2121...$$990x = 8634$$x = \frac{8634}{990}$Сократим дробь на 6 (так как оба числа делятся на 2 и на 3):$x = \frac{8634 \div 6}{990 \div 6} = \frac{1439}{165}$Переведем в смешанную дробь: $1439 = 8 \times 165 + 119$.$x = 8\frac{119}{165}$

Ответ: $8\frac{119}{165}$

985. Покажите, что периодическая дробь с периодом 9 равна конечной десятичной дроби:

а) $0.3(9) = 0.4$;

б) $1.2(9) = 1.3$.

Чтобы показать, что периодическая дробь с периодом 9 равна конечной десятичной дроби, мы преобразуем каждую периодическую дробь в обыкновенную, а затем в конечную десятичную.

Рассмотрим периодическую дробь $0,3(9)$. Обозначим ее как $x$.

$x = 0,3(9) = 0,3999...$

Чтобы избавиться от бесконечного "хвоста" из девяток, воспользуемся следующим методом. Сначала умножим число на 10, чтобы сместить непериодическую часть за запятую:

$10x = 3,999...$

Затем умножим исходное число на 100, чтобы сместить и первую цифру периода за запятую:

$100x = 39,999...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое. Дробные части ($0,999...$) взаимно уничтожатся:

$100x - 10x = 39,999... - 3,999...$

$90x = 36$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{36}{90}$

Сократим полученную обыкновенную дробь. Наибольший общий делитель для 36 и 90 — это 18:

$x = \frac{36 \div 18}{90 \div 18} = \frac{2}{5}$

Преобразуем дробь $\frac{2}{5}$ в десятичную:

$x = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0,4$

Таким образом, мы доказали, что $0,3(9) = 0,4$.

Ответ: Доказано, что $0,3(9) = 0,4$.

Теперь рассмотрим периодическую дробь $1,2(9)$. Обозначим ее как $y$.

$y = 1,2(9) = 1,2999...$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Умножим на 10:

$10y = 12,999...$

Умножим на 100:

$100y = 129,999...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100y - 10y = 129,999... - 12,999...$

$90y = 117$

Найдем значение $y$:

$y = \frac{117}{90}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 9:

$y = \frac{117 \div 9}{90 \div 9} = \frac{13}{10}$

Преобразуем дробь $\frac{13}{10}$ в десятичную:

$y = 1,3$

Таким образом, мы доказали, что $1,2(9) = 1,3$.

Ответ: Доказано, что $1,2(9) = 1,3$.