Номер 983, страница 198 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби - номер 983, страница 198.

Условие.

983. Разложите обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель уголком:

а) $\frac{1}{11}$;

б) $\frac{2}{11}$;

в) $\frac{1}{12}$;

г) $\frac{5}{12}$;

д) $\frac{1}{7}$;

е) $\frac{5}{7}$;

ж) $\frac{2}{7}$;

з) $\frac{1}{33}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{1}{11}$ в десятичную, разделим числитель 1 на знаменатель 11 уголком.
1 меньше 11, поэтому в целой части частного пишем 0 и ставим запятую. К 1 приписываем 0, получаем 10.
10 меньше 11, поэтому в частном после запятой пишем 0. Приписываем еще один 0, получаем 100.
Делим 100 на 11. Получаем 9, а в остатке 1 ($11 \times 9 = 99$, $100 - 99 = 1$).
К остатку 1 приписываем 0, получаем 10. 10 меньше 11, пишем в частном 0.
Приписываем еще 0, получаем 100. Делим 100 на 11, получаем 9 и 1 в остатке.
Процесс деления стал повторяться. В частном повторяется группа цифр 09.
Следовательно, $\frac{1}{11} = 0.090909... = 0.(09)$.
Ответ: $0.(09)$

б) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{2}{11}$ в десятичную, разделим числитель 2 на знаменатель 11 уголком.
2 меньше 11, поэтому в целой части частного пишем 0 и ставим запятую. К 2 приписываем 0, получаем 20.
Делим 20 на 11. Получаем 1, а в остатке 9 ($11 \times 1 = 11$, $20 - 11 = 9$).
К остатку 9 приписываем 0, получаем 90. Делим 90 на 11. Получаем 8, а в остатке 2 ($11 \times 8 = 88$, $90 - 88 = 2$).
Остаток 2 совпал с исходным делимым, значит, деление будет повторяться. В частном повторяется группа цифр 18.
Следовательно, $\frac{2}{11} = 0.181818... = 0.(18)$.
Ответ: $0.(18)$

в) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{1}{12}$ в десятичную, разделим числитель 1 на знаменатель 12 уголком.
1 меньше 12, поэтому в целой части частного пишем 0 и ставим запятую. К 1 приписываем 0, получаем 10.
10 меньше 12, пишем в частном 0. Приписываем еще 0, получаем 100.
Делим 100 на 12. Получаем 8, а в остатке 4 ($12 \times 8 = 96$, $100 - 96 = 4$).
К остатку 4 приписываем 0, получаем 40. Делим 40 на 12. Получаем 3, а в остатке 4 ($12 \times 3 = 36$, $40 - 36 = 4$).
Остаток 4 начал повторяться, значит, в частном будет повторяться цифра 3.
Следовательно, $\frac{1}{12} = 0.08333... = 0.08(3)$.
Ответ: $0.08(3)$

г) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{5}{12}$ в десятичную, разделим числитель 5 на знаменатель 12 уголком.
5 меньше 12, поэтому в целой части частного пишем 0 и ставим запятую. К 5 приписываем 0, получаем 50.
Делим 50 на 12. Получаем 4, а в остатке 2 ($12 \times 4 = 48$, $50 - 48 = 2$).
К остатку 2 приписываем 0, получаем 20. Делим 20 на 12. Получаем 1, а в остатке 8 ($12 \times 1 = 12$, $20 - 12 = 8$).
К остатку 8 приписываем 0, получаем 80. Делим 80 на 12. Получаем 6, а в остатке 8 ($12 \times 6 = 72$, $80 - 72 = 8$).
Остаток 8 начал повторяться, значит, в частном будет повторяться цифра 6.
Следовательно, $\frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6)$.
Ответ: $0.41(6)$

д) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{1}{7}$ в десятичную, разделим числитель 1 на знаменатель 7 уголком.
$1 \div 7$: целая часть 0.
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3).
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2).
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6).
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4).
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5).
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1).
Остаток 1 совпал с исходным делимым, значит, деление будет повторяться. Период состоит из цифр 142857.
Следовательно, $\frac{1}{7} = 0.14285714... = 0.(142857)$.
Ответ: $0.(142857)$

е) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{5}{7}$ в десятичную, разделим числитель 5 на знаменатель 7 уголком.
$5 \div 7$: целая часть 0.
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1).
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3).
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2).
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6).
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4).
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5).
Остаток 5 совпал с исходным делимым, значит, деление будет повторяться. Период состоит из цифр 714285.
Следовательно, $\frac{5}{7} = 0.71428571... = 0.(714285)$.
Ответ: $0.(714285)$

ж) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{2}{7}$ в десятичную, разделим числитель 2 на знаменатель 7 уголком.
$2 \div 7$: целая часть 0.
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6).
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4).
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5).
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1).
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3).
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2).
Остаток 2 совпал с исходным делимым, значит, деление будет повторяться. Период состоит из цифр 285714.
Следовательно, $\frac{2}{7} = 0.28571428... = 0.(285714)$.
Ответ: $0.(285714)$

з) Чтобы разложить обыкновенную дробь $\frac{1}{33}$ в десятичную, разделим числитель 1 на знаменатель 33 уголком.
1 меньше 33, поэтому в целой части частного пишем 0 и ставим запятую. К 1 приписываем 0, получаем 10.
10 меньше 33, пишем в частном 0. Приписываем еще 0, получаем 100.
Делим 100 на 33. Получаем 3, а в остатке 1 ($33 \times 3 = 99$, $100 - 99 = 1$).
Остаток 1 совпал с исходным делимым, значит, деление будет повторяться. В частном повторяется группа цифр 03.
Следовательно, $\frac{1}{33} = 0.030303... = 0.(03)$.
Ответ: $0.(03)$