Номер 981, страница 198 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 981, страница 198.

Условие.

981. Докажите, что при делении натурального числа $p$ на натуральное число $q$ ($q > 1$) получается бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом, состоящим не более чем из ($q - 1$) цифр.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Рассмотрим процесс представления рациональной дроби $\frac{p}{q}$ в виде десятичной дроби с помощью алгоритма деления в столбик, где $p$ и $q$ — натуральные числа, и $q > 1$.

На каждом шаге алгоритма деления (после нахождения целой части) мы выполняем деление остатка, умноженного на 10, на делитель $q$. Остаток $r$ от деления на $q$ всегда удовлетворяет неравенству $0 \le r < q$. Таким образом, возможными остатками являются числа из множества $\{0, 1, 2, \dots, q-1\}$.

Возможны два случая:

1. На некотором шаге деления остаток становится равным 0. В этом случае процесс деления завершается, и результатом является конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической дроби с периодом 0. Например, $\frac{1}{4} = 0.25 = 0.25000\dots = 0.25(0)$. Длина периода в этом случае равна 1 (цифра 0). Так как по условию $q > 1$, то $q-1 \ge 1$. Следовательно, длина периода не превышает $q-1$.

2. Остаток никогда не становится равным 0. В этом случае процесс деления продолжается бесконечно, и мы получаем бесконечную десятичную дробь. Все получаемые остатки $r_1, r_2, r_3, \dots$ являются натуральными числами из множества $\{1, 2, \dots, q-1\}$.

Количество возможных различных ненулевых остатков равно $q-1$. Рассмотрим последовательность остатков, получаемых на каждом шаге деления после запятой. По принципу Дирихле, среди первых $q$ остатков этой последовательности ($r_1, r_2, \dots, r_q$) обязательно найдутся хотя бы два одинаковых, так как количество остатков ($q$) больше количества возможных различных значений ($q-1$).

Пусть $r_k$ — это первый остаток, который повторился, и он повторился на шаге $k+L$, то есть $r_k = r_{k+L}$ (где $L>0$). Это означает, что последовательность остатков $r_k, r_{k+1}, \dots, r_{k+L-1}$ состоит из $L$ различных ненулевых чисел. Поскольку алгоритм деления на каждом следующем шаге зависит только от предыдущего остатка (мы сносим 0, делим на $q$, находим следующую цифру и новый остаток), то после повторения остатка $r_k$ вся последовательность цифр частного и остатков начнет повторяться. Таким образом, десятичная дробь будет периодической, а последовательность цифр, полученная на шагах с $k$ по $k+L-1$, образует период.

Длина периода $L$ равна количеству шагов в этом цикле. Она соответствует количеству различных остатков, которые образуют этот цикл. Так как все эти остатки — различные числа из множества $\{1, 2, \dots, q-1\}$, состоящего из $q-1$ элемента, то их количество $L$ не может превышать $q-1$. Следовательно, $L \le q-1$.

Таким образом, в обоих случаях при делении натурального числа $p$ на натуральное число $q > 1$ получается бесконечная периодическая десятичная дробь, длина периода которой не более чем $q-1$.

Ответ: Утверждение доказано.