Номер 984, страница 198 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 984, страница 198.

Условие.

984. Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

а) $1.\overline{8}$;

б) $0.\overline{3}$;

в) $0.\overline{7}$;

г) $3.\overline{5}$;

д) $0.1\overline{2}$;

е) $1.12\overline{3}$;

ж) $7.5\overline{4}$;

з) $0.\overline{35}$;

и) $0.\overline{59}$;

к) $0.\overline{12}$;

л) $1.0\overline{12}$;

м) $8.7\overline{21}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для преобразования периодической дроби в обыкновенную используется следующий алгоритм:

1. Обозначить исходную дробь через $x$.
2. Умножить $x$ на $10^k$, где $k$ — количество цифр после запятой до периода, чтобы получить первое уравнение. Если период начинается сразу после запятой, этот шаг пропускается.
3. Умножить $x$ на $10^{k+m}$, где $m$ — количество цифр в периоде, чтобы получить второе уравнение.
4. Вычесть первое уравнение из второго, чтобы избавиться от периодической части.
5. Решить полученное уравнение относительно $x$ и при необходимости сократить дробь.

а) 1,(8)

Пусть $x = 1,(8) = 1,888...$Для удобства сначала преобразуем дробную часть $y = 0,(8) = 0,888...$В периоде одна цифра, поэтому умножим на 10:$10y = 8,888...$Вычтем из второго уравнения первое ($y = 0,888...$):$10y - y = 8,888... - 0,888...$$9y = 8$$y = \frac{8}{9}$Следовательно, исходное число равно $1 + y = 1 + \frac{8}{9} = 1\frac{8}{9}$.

Ответ: $1\frac{8}{9}$

б) 0,(3)

Пусть $x = 0,(3) = 0,333...$В периоде одна цифра, поэтому умножим на 10:$10x = 3,333...$Вычтем из второго уравнения первое:$10x - x = 3,333... - 0,333...$$9x = 3$$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) 0,(7)

Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$В периоде одна цифра, умножим на 10:$10x = 7,777...$Вычтем исходное уравнение:$10x - x = 7,777... - 0,777...$$9x = 7$$x = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

г) 3,(5)

Пусть $x = 3,(5) = 3,555...$Рассмотрим дробную часть $y = 0,(5) = 0,555...$$10y = 5,555...$$10y - y = 5,555... - 0,555...$$9y = 5 \implies y = \frac{5}{9}$Тогда $x = 3 + y = 3 + \frac{5}{9} = 3\frac{5}{9}$.

Ответ: $3\frac{5}{9}$

д) 0,1(2)

Пусть $x = 0,1(2) = 0,1222...$После запятой до периода стоит одна цифра (1), поэтому умножим уравнение на 10:$10x = 1,222...$В периоде одна цифра (2), поэтому умножим исходное уравнение на 100:$100x = 12,222...$Вычтем из второго уравнения первое:$100x - 10x = 12,222... - 1,222...$$90x = 11$$x = \frac{11}{90}$

Ответ: $\frac{11}{90}$

е) 1,12(3)

Пусть $x = 1,12(3) = 1,12333...$До периода после запятой стоят две цифры (12), умножим на 100:$100x = 112,333...$В периоде одна цифра (3), умножим исходное уравнение на 1000:$1000x = 1123,333...$Вычтем из второго уравнения первое:$1000x - 100x = 1123,333... - 112,333...$$900x = 1011$$x = \frac{1011}{900}$Сократим дробь на 3: $x = \frac{1011 \div 3}{900 \div 3} = \frac{337}{300}$.Переведем в смешанную дробь: $x = 1\frac{37}{300}$.

Ответ: $1\frac{37}{300}$

ж) 7,5(4)

Пусть $x = 7,5(4) = 7,5444...$До периода после запятой одна цифра (5), умножим на 10:$10x = 75,444...$В периоде одна цифра (4), умножим исходное уравнение на 100:$100x = 754,444...$Вычтем из второго уравнения первое:$100x - 10x = 754,444... - 75,444...$$90x = 679$$x = \frac{679}{90}$Переведем в смешанную дробь: $x = 7\frac{49}{90}$.

Ответ: $7\frac{49}{90}$

з) 0,(35)

Пусть $x = 0,(35) = 0,3535...$В периоде две цифры, умножим на 100:$100x = 35,3535...$Вычтем исходное уравнение:$100x - x = 35,3535... - 0,3535...$$99x = 35$$x = \frac{35}{99}$

Ответ: $\frac{35}{99}$

и) 0,(59)

Пусть $x = 0,(59) = 0,5959...$В периоде две цифры, умножим на 100:$100x = 59,5959...$Вычтем исходное уравнение:$100x - x = 59,5959... - 0,5959...$$99x = 59$$x = \frac{59}{99}$

Ответ: $\frac{59}{99}$

к) 0,(12)

Пусть $x = 0,(12) = 0,1212...$В периоде две цифры, умножим на 100:$100x = 12,1212...$Вычтем исходное уравнение:$100x - x = 12,1212... - 0,1212...$$99x = 12$$x = \frac{12}{99}$Сократим дробь на 3: $x = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$.

Ответ: $\frac{4}{33}$

л) 1,0(12)

Пусть $x = 1,0(12) = 1,01212...$До периода после запятой одна цифра (0), умножим на 10:$10x = 10,1212...$В периоде две цифры (12), умножим исходное уравнение на 1000:$1000x = 1012,1212...$Вычтем из второго уравнения первое:$1000x - 10x = 1012,1212... - 10,1212...$$990x = 1002$$x = \frac{1002}{990}$Сократим дробь на 6: $x = \frac{1002 \div 6}{990 \div 6} = \frac{167}{165}$.Переведем в смешанную дробь: $x = 1\frac{2}{165}$.

Ответ: $1\frac{2}{165}$

м) 8,7(21)

Пусть $x = 8,7(21) = 8,72121...$До периода после запятой одна цифра (7), умножим на 10:$10x = 87,2121...$В периоде две цифры (21), умножим исходное уравнение на 1000:$1000x = 8721,2121...$Вычтем из второго уравнения первое:$1000x - 10x = 8721,2121... - 87,2121...$$990x = 8634$$x = \frac{8634}{990}$Сократим дробь на 6 (так как оба числа делятся на 2 и на 3):$x = \frac{8634 \div 6}{990 \div 6} = \frac{1439}{165}$Переведем в смешанную дробь: $1439 = 8 \times 165 + 119$.$x = 8\frac{119}{165}$

Ответ: $8\frac{119}{165}$