Номер 990, страница 199 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.4. Непериодические бесконечные десятичные дроби - номер 990, страница 199.

Условие.

990. Каким числом (рациональным или иррациональным) является число:

а) $0.275$;

б) $0.\overline{2}$;

в) $1.\overline{32}$;

г) $1.15\overline{45}$;

д) $3.101101110...$;

е) $0.12345678...?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для определения, является ли число рациональным или иррациональным, необходимо проанализировать его десятичное представление. Рациональные числа имеют конечное или периодическое (повторяющееся) десятичное представление. Иррациональные числа имеют бесконечное непериодическое десятичное представление.

а) 0,275

Это число является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.
$0,275 = \frac{275}{1000} = \frac{11 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{11}{40}$.
Так как число можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа и $n \neq 0$, оно является рациональным.
Ответ: рациональное.

б) 0,(2)

Это число является бесконечной периодической десятичной дробью, где цифра 2 повторяется. Запись 0,(2) означает 0,2222... Любая периодическая дробь является рациональным числом.
Чтобы представить его в виде обыкновенной дроби, пусть $x = 0,(2)$. Тогда $10x = 2,(2)$.
Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 2,(2) - 0,(2)$, что дает $9x = 2$, откуда $x = \frac{2}{9}$.
Ответ: рациональное.

в) 1,323232...

Это число является бесконечной периодической десятичной дробью с периодом 32. Его можно записать как 1,(32).
Пусть $x = 1,323232...$. Тогда $100x = 132,323232...$.
Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 132,323232... - 1,323232...$, что дает $99x = 131$, откуда $x = \frac{131}{99}$.
Так как число можно представить в виде обыкновенной дроби, оно является рациональным.
Ответ: рациональное.

г) 1,15(45)

Это число является смешанной бесконечной периодической десятичной дробью с периодом 45. Запись означает 1,154545...
Пусть $x = 1,15(45)$. Умножим на 100, чтобы выделить часть до периода: $100x = 115,(45)$.
Теперь умножим на 100 еще раз, чтобы сдвинуть один период: $10000x = 11545,(45)$.
Вычтем из второго уравнения первое: $10000x - 100x = 11545,(45) - 115,(45)$, что дает $9900x = 11430$, откуда $x = \frac{11430}{9900} = \frac{1143}{990} = \frac{127}{110}$.
Так как число можно представить в виде обыкновенной дроби, оно является рациональным.
Ответ: рациональное.

д) 3,10110111011110...

Это число является бесконечной десятичной дробью. Проанализируем последовательность цифр после запятой: 10110111011110... Количество единиц между нулями каждый раз увеличивается на одну. Такая последовательность не является периодической, так как нет повторяющегося блока цифр.
Поскольку это бесконечная непериодическая дробь, число является иррациональным.
Ответ: иррациональное.

е) 0,12345678...?

Предполагается, что последовательность цифр продолжается как 0,123456789101112..., то есть состоит из последовательно записанных натуральных чисел. Эта последовательность является бесконечной и непериодической. Невозможно выделить повторяющийся блок цифр, так как в последовательности будут встречаться сколь угодно длинные серии нулей (например, в числах $10^k$) и любые другие комбинации цифр.
Поскольку это бесконечная непериодическая дробь, число является иррациональным.
Ответ: иррациональное.