Номер 985, страница 198 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 985, страница 198.

Условие.

985. Покажите, что периодическая дробь с периодом 9 равна конечной десятичной дроби:

а) $0.3(9) = 0.4$;

б) $1.2(9) = 1.3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Чтобы показать, что периодическая дробь с периодом 9 равна конечной десятичной дроби, мы преобразуем каждую периодическую дробь в обыкновенную, а затем в конечную десятичную.

а)

Рассмотрим периодическую дробь $0,3(9)$. Обозначим ее как $x$.

$x = 0,3(9) = 0,3999...$

Чтобы избавиться от бесконечного "хвоста" из девяток, воспользуемся следующим методом. Сначала умножим число на 10, чтобы сместить непериодическую часть за запятую:

$10x = 3,999...$

Затем умножим исходное число на 100, чтобы сместить и первую цифру периода за запятую:

$100x = 39,999...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое. Дробные части ($0,999...$) взаимно уничтожатся:

$100x - 10x = 39,999... - 3,999...$

$90x = 36$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{36}{90}$

Сократим полученную обыкновенную дробь. Наибольший общий делитель для 36 и 90 — это 18:

$x = \frac{36 \div 18}{90 \div 18} = \frac{2}{5}$

Преобразуем дробь $\frac{2}{5}$ в десятичную:

$x = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0,4$

Таким образом, мы доказали, что $0,3(9) = 0,4$.

Ответ: Доказано, что $0,3(9) = 0,4$.

б)

Теперь рассмотрим периодическую дробь $1,2(9)$. Обозначим ее как $y$.

$y = 1,2(9) = 1,2999...$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Умножим на 10:

$10y = 12,999...$

Умножим на 100:

$100y = 129,999...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100y - 10y = 129,999... - 12,999...$

$90y = 117$

Найдем значение $y$:

$y = \frac{117}{90}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 9:

$y = \frac{117 \div 9}{90 \div 9} = \frac{13}{10}$

Преобразуем дробь $\frac{13}{10}$ в десятичную:

$y = 1,3$

Таким образом, мы доказали, что $1,2(9) = 1,3$.

Ответ: Доказано, что $1,2(9) = 1,3$.