Номер 982, страница 198 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 982, страница 198.

Условие.

1982. а) Сколько цифр может быть в периоде десятичного разложения обыкновенной несократимой дроби со знаменателем 7?

б) В каком случае разложение обыкновенной дроби в десятичную является: конечным; бесконечным?

в) Почему десятичное разложение дроби $\frac{3}{7}$ периодическое?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Длина периода десятичного разложения несократимой дроби $\frac{m}{n}$ (где $n$ не делится на 2 и 5) является наименьшим натуральным числом $k$, таким что $10^k - 1$ делится на $n$. Для знаменателя $n=7$, мы ищем наименьшее $k$, при котором $10^k \equiv 1 \pmod{7}$.
Согласно малой теореме Ферма, $10^{7-1} = 10^6 \equiv 1 \pmod{7}$. Это означает, что длина периода является делителем числа 6. Возможные длины периода: 1, 2, 3, 6.
Проверим степени 10 по модулю 7: $10^1 \equiv 3 \pmod{7}$
$10^2 \equiv 9 \equiv 2 \pmod{7}$
$10^3 \equiv 10 \cdot 2 = 20 \equiv 6 \pmod{7}$
$10^6 \equiv (10^3)^2 \equiv 6^2 = 36 \equiv 1 \pmod{7}$
Наименьшая степень $k$, при которой $10^k \equiv 1 \pmod{7}$, равна 6. Это также можно увидеть из процесса деления в столбик, например, для дроби $\frac{1}{7}$: $\frac{1}{7} = 0.142857142857... = 0.(142857)$.
В периоде 6 цифр. Для любой другой несократимой дроби со знаменателем 7 (например, $\frac{2}{7}$, $\frac{3}{7}$) длина периода также будет равна 6.
Ответ: 6 цифр.

б) Разложение обыкновенной дроби в десятичную является:
конечным, если знаменатель несократимой дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5. То есть знаменатель $n$ может быть представлен в виде $n=2^a \cdot 5^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа.
бесконечным (периодическим), если знаменатель несократимой дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.
Ответ: разложение конечно, если знаменатель несократимой дроби имеет вид $2^a \cdot 5^b$; разложение бесконечно, если знаменатель несократимой дроби имеет хотя бы один простой делитель, отличный от 2 и 5.

в) Десятичное разложение дроби $\frac{3}{7}$ является периодическим, потому что она является несократимой, и ее знаменатель, равный 7, — это простое число, отличное от 2 и 5. Причина периодичности кроется в алгоритме деления в столбик. При делении числителя 3 на знаменатель 7 на каждом шаге получается остаток. Возможные ненулевые остатки при делении на 7 — это 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поскольку число возможных остатков конечно, на каком-то шаге деления один из остатков неизбежно повторится. Как только остаток повторяется, то и последующие цифры в частном начинают повторяться в той же последовательности, образуя период.
Для дроби $\frac{3}{7}$ процесс деления выглядит так: $3 \div 7 = 0.(428571)$
Последовательность остатков: 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, ... Остаток 3 повторяется, и цикл замыкается.
Ответ: потому что знаменатель дроби (7) в своем разложении на простые множители содержит число, отличное от 2 и 5, что при делении в столбик приводит к повторению остатков и, как следствие, к периодичности цифр в частном.