Номер 989, страница 199 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.4. Непериодические бесконечные десятичные дроби - номер 989, страница 199.

Условие.

989. Существует ли рациональное число, равное бесконечной непериодической дроби?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Нет, такого рационального числа не существует. Разберем почему.

1. Определение рационального числа. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

2. Десятичное представление рационального числа. Если мы попытаемся представить любую рациональную дробь $m/n$ в виде десятичной дроби (путем деления числителя на знаменатель столбиком), мы получим один из двух результатов:

• Конечная десятичная дробь. Это происходит, когда на каком-то шаге деления остаток становится равным нулю. Например, $3/4 = 0.75$.
• Бесконечная периодическая десятичная дробь. Это происходит, когда остаток от деления никогда не становится равным нулю. Поскольку при делении на число $n$ возможных ненулевых остатков конечное число (а именно $n-1$ вариантов: $1, 2, ..., n-1$), то на каком-то шаге один из остатков обязательно повторится. С этого момента последовательность цифр в частном также начнет повторяться, образуя период. Например, $1/3 = 0.333... = 0.(3)$ или $1/7 = 0.142857142857... = 0.(142857)$.

Таким образом, любое рациональное число представляется либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

3. Определение бесконечной непериодической дроби. Бесконечная непериодическая десятичная дробь — это, по определению, представление иррационального числа. У таких чисел последовательность цифр после запятой никогда не заканчивается и не имеет повторяющегося блока (периода). Примерами являются числа $\pi \approx 3.14159265...$ и $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$.

Вывод: Множества рациональных и иррациональных чисел не пересекаются. Рациональное число по своей природе не может быть равно бесконечной непериодической дроби, так как это является определением иррационального числа.

Ответ: Нет, не существует.