Страница 207 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1021. На рисунке 108 изображены отрезки $BC$, $AD$, $KP$. Определите на глаз длину каждого отрезка в сантиметрах. Проверьте свой глазомер с помощью линейки.

Рис. 108

Отрезок BC

Сначала определим длину отрезка BC на глаз. Визуально он кажется длиннее отрезка AD. Предположим, его длина составляет около 7 сантиметров.

Теперь проверим это предположение с помощью линейки. Приложив линейку к отрезку BC так, чтобы нулевая отметка совпала с точкой B, мы видим, что точка C совпадает с отметкой 7 см на шкале линейки.

Таким образом, точная длина отрезка: $BC = 7$ см.

Ответ: 7 см.

Отрезок AD

Определим длину отрезка AD на глаз. Он выглядит заметно короче отрезка BC. Предположим, что его длина равна примерно 5 сантиметрам.

Проверим измерением с помощью линейки. Прикладываем линейку к отрезку AD, совмещая ноль с точкой A. Точка D совпадает с отметкой 5 см.

Следовательно, точная длина отрезка: $AD = 5$ см.

Ответ: 5 см.

Отрезок KP

Определим на глаз длину отрезка KP. Он расположен под углом и кажется самым длинным из трех. Можно предположить, что его длина около 8 сантиметров.

Теперь измерим его точную длину линейкой. Совмещаем нулевую отметку линейки с точкой K и измеряем расстояние до точки P. Измерение показывает, что длина отрезка KP равна 8 см.

Значит, точная длина отрезка: $KP = 8$ см.

Ответ: 8 см.

1022. Постройте в тетради три произвольных отрезка и выполните предыдущее задание.

Данное задание требует построить три произвольных отрезка и выполнить для них "предыдущее задание". Так как текст предыдущего задания не предоставлен, будем исходить из наиболее вероятного контекста школьной программы по математике для данной темы. Обычно такие задания предполагают измерение длин построенных отрезков и выполнение с ними некоторых арифметических действий для нахождения длины нового отрезка.

Выполним задание по шагам:

1. Построение и измерение отрезков.

Начертим в тетради три отрезка произвольной длины. Обозначим их длины буквами $a$, $b$ и $c$. Затем измерим их с помощью линейки. Допустим, у нас получились следующие результаты:

$a = 5$ см

$b = 3$ см $5$ мм $= 3,5$ см

$c = 4$ см

2. Выполнение "предыдущего задания".

Предположим, что предыдущее задание заключалось в вычислении длины нового отрезка $d$ по некоторой формуле. Составим аналогичную формулу для наших трех отрезков. Например, найдем длину отрезка $d$ по формуле:

$d = 2a + b - c$

Перед вычислением убедимся, что результат будет положительным. Проверим, что $2a + b > c$.

$2 \cdot 5 \text{ см} + 3,5 \text{ см} = 10 \text{ см} + 3,5 \text{ см} = 13,5 \text{ см}$.

Поскольку $13,5 \text{ см} > 4 \text{ см}$, мы можем использовать эту формулу.

3. Вычисление.

Подставим измеренные длины в нашу формулу и вычислим длину отрезка $d$:

$d = 2 \cdot 5 \text{ см} + 3,5 \text{ см} - 4 \text{ см}$

$d = 10 \text{ см} + 3,5 \text{ см} - 4 \text{ см}$

$d = 13,5 \text{ см} - 4 \text{ см}$

$d = 9,5$ см

Таким образом, длина искомого отрезка $d$ равна $9,5$ см или $9$ см $5$ мм.

Ответ: Для произвольно построенных отрезков с длинами $a=5$ см, $b=3,5$ см и $c=4$ см и выбранной формулы $d = 2a + b - c$ длина нового отрезка $d$ равна $9,5$ см. Так как и длины отрезков, и формула выбираются произвольно, ваш результат может отличаться.

1023. Постройте в тетради отрезки длиной 3,5 см, 5 см и 6,5 см. Разделите на глаз каждый отрезок на 3 равные части. Проверьте свой глазомер с помощью линейки.

Это практическое задание, которое выполняется в тетради. Оно состоит из двух частей для каждого отрезка: построение и деление на глаз, а затем проверка с помощью расчетов и линейки.

Отрезок длиной 3,5 см

1. С помощью линейки постройте отрезок, длина которого равна 3,5 см (3 сантиметра и 5 миллиметров).
2. Визуально, не используя линейку, отметьте на отрезке две точки, которые, по вашему мнению, делят его на три равные части.
3. Теперь проверим точность вашего глазомера. Для этого вычислим, какой должна быть длина каждой из трех частей. Разделим общую длину отрезка на 3:
$3,5 : 3 = \frac{3,5}{3} = \frac{35}{30} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$ см.
Для удобства измерения линейкой переведем эту величину в десятичную дробь: $1 \frac{1}{6} \text{ см} = 1,166... \text{ см}$. При округлении до десятых это примерно 1,2 см (или 12 мм).
4. Измерьте линейкой каждую из трех частей, которые вы отметили на глаз, и сравните их длину с расчетным значением.

Ответ: Точная длина каждой части составляет $1 \frac{1}{6}$ см, что приблизительно равно 1,2 см.

Отрезок длиной 5 см

1. Начертите отрезок длиной 5 см.
2. Разделите его на глаз на три равные части, поставив две отметки.
3. Проведем проверку. Найдем точную длину одной части:
$5 : 3 = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$ см.
В виде десятичной дроби это $1,666...$ см. Для измерения линейкой можно округлить до 1,7 см (или 17 мм).
4. Измерьте полученные отрезки и сравните результат с расчетным.

Ответ: Точная длина каждой части составляет $1 \frac{2}{3}$ см, что приблизительно равно 1,7 см.

Отрезок длиной 6,5 см

1. Постройте отрезок длиной 6,5 см (6 сантиметров и 5 миллиметров).
2. Поставьте на нем две точки, которые, по вашему мнению, делят его на три равные части.
3. Вычислим точную длину одной части для проверки:
$6,5 : 3 = \frac{6,5}{3} = \frac{65}{30} = \frac{13}{6} = 2 \frac{1}{6}$ см.
В десятичном виде это $2,166...$ см. Округленно это примерно 2,2 см (или 22 мм).
4. С помощью линейки проверьте, насколько точно ваш глазомер позволил разделить отрезок.

Ответ: Точная длина каждой части составляет $2 \frac{1}{6}$ см, что приблизительно равно 2,2 см.

1024. Постройте отрезок длиной 8,5 см. Разделите на глаз этот отрезок на 5 равных частей; на 6 равных частей.

Для выполнения этой практической задачи необходимо последовательно выполнить следующие действия с помощью карандаша и линейки.

на 5 равных частей

1. С помощью линейки начертите на листе бумаги отрезок длиной 8,5 см.
2. Задача состоит в том, чтобы разделить этот отрезок «на глаз», то есть без точных измерений, на 5 равных частей. Для этого нужно поставить на отрезке 4 точки-разделителя.
3. Визуально оцените длину одной пятой части отрезка. Можно прикинуть, что она будет чуть меньше 2 см. Поставьте первую метку, отступив от начала отрезка на эту предполагаемую длину.
4. Используя полученный первый малый отрезок как образец, отложите его длину еще три раза от предыдущей метки.
5. Проверьте, чтобы все пять получившихся частей выглядели примерно одинаковыми. Если последняя часть заметно короче или длиннее остальных, скорректируйте положение меток, чтобы добиться визуального равенства.

Для самопроверки можно вычислить точную длину одной части: $8,5 \text{ см} \div 5 = 1,7 \text{ см}$.

Ответ: На начерченном отрезке длиной 8,5 см поставлены 4 метки, которые делят его на 5 визуально равных частей.

на 6 равных частей

1. Возьмите тот же отрезок длиной 8,5 см.
2. Разделить отрезок на 6 равных частей «на глаз» удобнее всего, применив метод деления пополам.
3. Сначала визуально найдите середину отрезка и поставьте там метку. Таким образом, отрезок разделится на две равные половины.
4. Теперь задача упрощается: каждую из половин нужно разделить «на глаз» на 3 равные части. Сделать это визуально проще, чем делить весь отрезок на 6 частей сразу.
5. Поставьте по две метки на каждой половине, разделяя их на три равных фрагмента.
6. В результате на исходном отрезке будет 5 меток, которые разделят его на 6 визуально равных частей.

Для самопроверки можно вычислить точную длину одной части: $8,5 \text{ см} \div 6 = \frac{17}{12} \text{ см} \approx 1,42 \text{ см}$.

Ответ: На начерченном отрезке длиной 8,5 см поставлены 5 меток, которые делят его на 6 визуально равных частей.

1025. На рисунке 109 изображены отрезки $AB$ и $CD$. Приняв за единицу измерения отрезок $CD$, измерьте на глаз отрезок $AB$ с точностью до $1$ с недостатком. Проверьте свой глазомер с помощью циркуля.

$1$

$C$

$D$

$A$

$B$

Рис. 109

Измерение на глаз

По условию задачи, отрезок $CD$ является единицей измерения, то есть его длина равна $1$. Требуется на глаз определить, сколько таких единичных отрезков помещается в отрезке $AB$, и указать результат с недостатком (то есть, целое число полных отрезков).

Визуально прикидывая, можно увидеть, что отрезок $CD$ укладывается в отрезке $AB$ три полных раза, и при этом остается небольшой остаток, длина которого меньше длины $CD$. Следовательно, длина отрезка $AB$ больше 3, но меньше 4 единиц. Приближенное значение длины отрезка $AB$ с недостатком равно 3.

Ответ: 3.

Проверка с помощью циркуля

Для проверки глазомерной оценки воспользуемся циркулем. Сначала установим раствор циркуля равным длине единичного отрезка $CD$, поместив его иголку в точку $C$, а грифель в точку $D$.

Далее, не меняя раствора циркуля, будем последовательно откладывать эту длину на отрезке $AB$, начиная от точки $A$. Поставив иголку в точку $A$, сделаем первую отметку. Затем переставим иголку в эту отметку и сделаем вторую. Повторив действие еще раз, сделаем третью отметку.

После выполнения этих действий мы увидим, что третья отметка находится внутри отрезка $AB$ (не доходя до точки $B$), а расстояние от этой отметки до точки $B$ меньше, чем раствор циркуля. Это означает, что четвертый единичный отрезок уже не поместится целиком.

Таким образом, измерение подтверждает, что в отрезке $AB$ содержится ровно 3 целых единичных отрезка. Это можно записать в виде неравенства: $3 \le |AB| < 4$. Значит, длина отрезка $AB$ с точностью до 1 с недостатком действительно равна 3.

Ответ: 3.

1026. Длина отрезка AB выражена числом $5,375$. Запишите приближенную длину отрезка AB с точностью до $1$; до $0,1$; до $0,01$ с недостатком.

Для нахождения приближенного значения числа с недостатком до определенного разряда необходимо отбросить все цифры, стоящие справа от этого разряда. Исходное число — длина отрезка $AB = 5,375$.

с точностью до 1

Чтобы найти приближение с недостатком с точностью до 1 (до целых), нужно отбросить всю дробную часть числа. В числе 5,375 отбрасываем дробную часть ,375. Получаем целую часть, равную 5. Это можно записать в виде двойного неравенства: $5 \le 5,375 < 6$.
Ответ: 5.

с точностью до 0,1

Чтобы найти приближение с недостатком с точностью до 0,1 (до десятых), нужно оставить одну цифру после запятой, а остальные отбросить. В числе 5,375 оставляем цифру 3 в разряде десятых и отбрасываем цифры 7 и 5, стоящие правее. Получаем число 5,3. Это можно записать в виде двойного неравенства: $5,3 \le 5,375 < 5,4$.
Ответ: 5,3.

с точностью до 0,01

Чтобы найти приближение с недостатком с точностью до 0,01 (до сотых), нужно оставить две цифры после запятой, а остальные отбросить. В числе 5,375 оставляем цифры 3 и 7 после запятой и отбрасываем цифру 5, стоящую правее. Получаем число 5,37. Это можно записать в виде двойного неравенства: $5,37 \le 5,375 < 5,38$.
Ответ: 5,37.

1027. Длина отрезка AB равна:

а) $3\frac{1}{8}$;

б) $2\frac{5}{16}$;

в) $3\frac{61}{99}$;

г) $4\frac{14}{27}$.

Выразите длину отрезка десятичной дробью с точностью до 1; до 0,1; до 0,01 с недостатком.

а)

Чтобы выразить длину отрезка десятичной дробью, сначала переведем смешанное число $3\frac{1}{8}$ в десятичную дробь. Для этого преобразуем его дробную часть:
$\frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125$
Следовательно, $3\frac{1}{8} = 3,125$.
Теперь найдем приближенные значения с недостатком с указанной точностью, отбрасывая лишние знаки после запятой:
- с точностью до 1 (округление до целых с недостатком): 3
- с точностью до 0,1 (округление до десятых с недостатком): 3,1
- с точностью до 0,01 (округление до сотых с недостатком): 3,12
Ответ: 3; 3,1; 3,12.

б)

Переведем смешанное число $2\frac{5}{16}$ в десятичную дробь. Преобразуем его дробную часть:
$\frac{5}{16} = 5 \div 16 = 0,3125$
Следовательно, $2\frac{5}{16} = 2,3125$.
Теперь найдем приближенные значения с недостатком:
- с точностью до 1: 2
- с точностью до 0,1: 2,3
- с точностью до 0,01: 2,31
Ответ: 2; 2,3; 2,31.

в)

Переведем смешанное число $3\frac{61}{99}$ в десятичную дробь. Дробная часть $\frac{61}{99}$ при делении числителя на знаменатель дает бесконечную периодическую дробь:
$\frac{61}{99} = 61 \div 99 = 0,616161... = 0,(61)$
Следовательно, $3\frac{61}{99} = 3,616161...$.
Теперь найдем приближенные значения с недостатком:
- с точностью до 1: 3
- с точностью до 0,1: 3,6
- с точностью до 0,01: 3,61
Ответ: 3; 3,6; 3,61.

г)

Переведем смешанное число $4\frac{14}{27}$ в десятичную дробь. Дробная часть $\frac{14}{27}$ является бесконечной периодической дробью:
$\frac{14}{27} = 14 \div 27 = 0,518518... = 0,(518)$
Следовательно, $4\frac{14}{27} = 4,518518...$.
Теперь найдем приближенные значения с недостатком:
- с точностью до 1: 4
- с точностью до 0,1: 4,5
- с точностью до 0,01: 4,51
Ответ: 4; 4,5; 4,51.

1028. Выразите длину отрезка AB десятичной дробью с точностью до 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 с недостатком, если $AB = 3\frac{19}{99}$.

Сначала преобразуем смешанное число, задающее длину отрезка $AB$, в десятичную дробь. Целая часть равна 3. Дробную часть $\frac{19}{99}$ переведем в десятичную дробь, разделив числитель на знаменатель.

Деление 19 на 99 дает бесконечную периодическую десятичную дробь:

$19 \div 99 = 0,191919... = 0,(19)$

Следовательно, длина отрезка $AB$ равна:

$AB = 3 + 0,(19) = 3,191919...$

Далее, выразим это число десятичной дробью с указанной точностью с недостатком. Это означает, что мы должны просто отбросить все цифры справа от требуемого разряда, не выполняя округление по математическим правилам.

Чтобы найти приближение с недостатком с точностью до 0,1 (до десятых), мы оставляем одну цифру после запятой и отбрасываем все последующие.

$3,1|91919... \approx 3,1$

Ответ: 3,1.

Чтобы найти приближение с недостатком с точностью до 0,01 (до сотых), мы оставляем две цифры после запятой и отбрасываем все последующие.

$3,19|1919... \approx 3,19$

Ответ: 3,19.

Чтобы найти приближение с недостатком с точностью до 0,001 (до тысячных), мы оставляем три цифры после запятой и отбрасываем все последующие.

$3,191|919... \approx 3,191$

Ответ: 3,191.

Чтобы найти приближение с недостатком с точностью до 0,0001 (до десятитысячных), мы оставляем четыре цифры после запятой и отбрасываем все последующие.

$3,1919|19... \approx 3,1919$

Ответ: 3,1919.