Номер 1005, страница 203 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.5. Действительные числа. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 1005, страница 203.

Условие.

1005. Найдите число, противоположное числу:

а) $2,5\overline{3}$;

б) $-1,\overline{72}$;

в) $3,1\overline{12}$;

г) $3,0\overline{13}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Сумма противоположных чисел равна нулю. Например, для числа $a$ противоположным является число $-a$. Чтобы найти число, противоположное данному, нужно просто изменить его знак на противоположный. Для развернутого решения представим данные периодические дроби в виде обыкновенных дробей.

а) Найдем число, противоположное числу $2,5(3)$.

Сначала преобразуем периодическую дробь $2,5(3)$ в обыкновенную.
Пусть $x = 2,5(3) = 2,5333...$
Умножим на 10, чтобы запятая оказалась перед периодом:
$10x = 25,333...$
Умножим на 100, чтобы запятая оказалась после первого периода:
$100x = 253,333...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 253,333... - 25,333...$
$90x = 228$
$x = \frac{228}{90} = \frac{114}{45} = \frac{38}{15}$
Итак, $2,5(3) = \frac{38}{15}$.
Противоположным для числа $\frac{38}{15}$ является число $-\frac{38}{15}$, которое в виде периодической дроби записывается как $-2,5(3)$.

Ответ: $-2,5(3)$ или $-\frac{38}{15}$.

б) Найдем число, противоположное числу $-1,(72)$.

Противоположным для отрицательного числа является соответствующее положительное число.
Следовательно, для числа $-1,(72)$ противоположным будет $1,(72)$.
Преобразуем периодическую дробь $1,(72)$ в обыкновенную.
Пусть $x = 1,(72) = 1,727272...$
Период состоит из двух цифр, поэтому умножим число на 100, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо:
$100x = 172,727272...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 172,7272... - 1,7272...$
$99x = 171$
$x = \frac{171}{99} = \frac{19}{11}$
Таким образом, противоположным для числа $-1,(72)$ является число $1,(72)$ или $\frac{19}{11}$.

Ответ: $1,(72)$ или $\frac{19}{11}$.

в) Найдем число, противоположное числу $3,1(12)$.

Сначала преобразуем периодическую дробь $3,1(12)$ в обыкновенную.
Пусть $x = 3,1(12) = 3,1121212...$
Умножим на 10, чтобы запятая оказалась перед периодом:
$10x = 31,121212...$
Умножим на 1000, чтобы запятая оказалась после первого периода:
$1000x = 3112,1212...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - 10x = 3112,1212... - 31,1212...$
$990x = 3081$
$x = \frac{3081}{990} = \frac{1027}{330}$
Итак, $3,1(12) = \frac{1027}{330}$.
Противоположным для числа $\frac{1027}{330}$ является число $-\frac{1027}{330}$, которое в виде периодической дроби записывается как $-3,1(12)$.

Ответ: $-3,1(12)$ или $-\frac{1027}{330}$.

г) Найдем число, противоположное числу $3,0(13)$.

Сначала преобразуем периодическую дробь $3,0(13)$ в обыкновенную.
Пусть $x = 3,0(13) = 3,0131313...$
Умножим на 10, чтобы запятая оказалась перед периодом:
$10x = 30,131313...$
Умножим на 1000, чтобы запятая оказалась после первого периода:
$1000x = 3013,1313...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - 10x = 3013,1313... - 30,1313...$
$990x = 2983$
$x = \frac{2983}{990}$
Итак, $3,0(13) = \frac{2983}{990}$.
Противоположным для числа $\frac{2983}{990}$ является число $-\frac{2983}{990}$, которое в виде периодической дроби записывается как $-3,0(13)$.

Ответ: $-3,0(13)$ или $-\frac{2983}{990}$.