Номер 1001, страница 202 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.5. Действительные числа. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 1001, страница 202.

Условие.

1001. Пусть $|a| = |b|$. В каких случаях $a = b$ и в каких $a = -b$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

По определению, модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Условие $|a| = |b|$ означает, что числа $a$ и $b$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Это возможно в двух случаях: либо числа равны ($a=b$), либо они противоположны ($a=-b$). Разберем каждый случай подробнее.

В каких случаях $a=b$

Равенство $a=b$ при условии $|a|=|b|$ выполняется тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак.

1. Если оба числа неотрицательные ($a \ge 0$ и $b \ge 0$), то по определению модуля $|a|=a$ и $|b|=b$. В этом случае условие $|a|=|b|$ принимает вид $a=b$.

2. Если оба числа неположительные ($a \le 0$ и $b \le 0$), то по определению модуля $|a|=-a$ и $|b|=-b$. В этом случае условие $|a|=|b|$ принимает вид $-a=-b$, что после умножения на $-1$ дает $a=b$.

Случай, когда $a=0$ и $b=0$, подходит под оба этих пункта. Таким образом, $a$ и $b$ должны быть одного знака (или оба равны нулю).

Ответ: Равенство $a=b$ выполняется, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак или оба равны нулю.

В каких случаях $a=-b$

Равенство $a=-b$ при условии $|a|=|b|$ выполняется тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки или оба равны нулю.

1. Если одно число неотрицательное, а другое неположительное (например, $a \ge 0$ и $b \le 0$), то по определению модуля $|a|=a$ и $|b|=-b$. В этом случае условие $|a|=|b|$ принимает вид $a=-b$.

2. Аналогично, если $a \le 0$ и $b \ge 0$, то $|a|=-a$ и $|b|=b$. Условие $|a|=|b|$ принимает вид $-a=b$, что равносильно $a=-b$.

Отдельно стоит отметить случай, когда $a=0$. Из $|a|=|b|$ следует, что $b=0$. Равенство $a=-b$ в этом случае выполняется, так как $0 = -0$. Этот случай также покрывается пунктами выше, поскольку ноль является одновременно и неотрицательным, и неположительным числом.

Ответ: Равенство $a=-b$ выполняется, когда числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки или оба равны нулю.