Номер 999, страница 202 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.5. Действительные числа. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 999, страница 202.

Условие.

?999. Как сравнить два действительных числа? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Чтобы сравнить два действительных числа a и b, нужно определить, какое из трех соотношений для них выполняется: $a > b$ (a больше b), $a < b$ (a меньше b) или $a = b$ (a равно b). Это можно сделать несколькими способами.

1. Нахождение знака разности

Это основной алгебраический метод. Находят разность чисел $a - b$ и сравнивают ее с нулем.

• Если разность $a - b$ положительна, то $a > b$.
• Если разность $a - b$ отрицательна, то $a < b$.
• Если разность $a - b$ равна нулю, то $a = b$.

Пример. Сравнить $0.7$ и $\frac{2}{3}$.
Вычислим разность: $0.7 - \frac{2}{3} = \frac{7}{10} - \frac{2}{3} = \frac{21 - 20}{30} = \frac{1}{30}$.
Разность положительна, значит, $0.7 > \frac{2}{3}$.
Ответ: $0.7 > \frac{2}{3}$.

2. Использование числовой прямой

Геометрически, любое действительное число соответствует точке на числовой прямой. Большим из двух чисел является то, которое на прямой расположено правее.

Пример. Сравнить $-4$ и $-2$.
На числовой прямой точка $-2$ находится правее точки $-4$.
Следовательно, $-2$ больше, чем $-4$.
Ответ: $-2 > -4$.

3. Поразрядное сравнение

Этот метод удобен для чисел, записанных в виде десятичных дробей. Сравнение производится поразрядно слева направо.

1. Сравниваются целые части.
2. Если целые части равны, сравниваются цифры в разряде десятых.
3. Если и они равны, сравниваются цифры в разряде сотых, и так далее, пока не найдется различие.

Пример. Сравнить $\pi$ и $3.14159$.
Напомним, что $\pi \approx 3.14159265...$
Сравниваем $3.14159265...$ и $3.14159$.
Целые части, а также первые пять знаков после запятой ($14159$) совпадают. В шестом знаке после запятой (в разряде миллионных) у числа $\pi$ стоит цифра 2, а у числа $3.14159$ можно дописать 0 ($3.14159 = 3.141590$). Так как $2 > 0$, то $\pi$ больше.
Ответ: $\pi > 3.14159$.

4. Сравнение через возведение в степень

Если оба числа положительны, их можно возвести в одну и ту же натуральную степень (чаще всего в квадрат). Соотношение между результатами будет таким же, как и между исходными числами. То есть, для $a > 0$ и $b > 0$: $a > b \iff a^2 > b^2$.

Пример. Сравнить $4\sqrt{5}$ и $3\sqrt{10}$.
Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты:
$(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$.
$(3\sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90$.
Поскольку $80 < 90$, то и $4\sqrt{5} < 3\sqrt{10}$.
Ответ: $4\sqrt{5} < 3\sqrt{10}$.