Номер 947, страница 186 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 4. Десятичные дроби. Дополнения к главе 4. Занимательные задачи - номер 947, страница 186.

Условие.

947. Папа купил себе дипломат с двумя кодовыми замками. На каждом из этих замков устанавливают код — набор из трёх цифр от 0 до 9 (рис. 100). Дипломат закрывают и на его наружной панели устанавливают произвольные наборы цифр. Каждый замок откроется лишь тогда, когда будет правильно набран его код.

а) Саша установил новый код на каждый замок, но забыл сообщить об этом папе и ушёл в школу. Сколько времени может занять открывание замков у папы в худшем случае, если он будет последовательно проверять коды для каждого замка и на проверку каждого кода будет тратить 1 с?

б) Какова вероятность открыть с первой попытки один кодовый замок? оба замка?

в) Саша установил новый код на каждый замок и через некоторое время забыл, в каком порядке цифры 1, 2 и 3 образуют эти два кода. Сколько кодов в худшем случае придётся проверить Саше, чтобы открыть оба замка?

г) Саша установил два новых кода на замках дипломата и через некоторое время забыл их. Он помнит, что в каждый код входят цифры 1, 2 и какая-то третья цифра (не 1 и не 2). Сколько кодов в худшем случае придётся проверить Саше, чтобы открыть один замок? оба замка?

Рис. 100

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Каждый кодовый замок имеет 3 ячейки для цифр. В каждой ячейке может быть любая цифра от 0 до 9, то есть 10 вариантов. Общее количество возможных комбинаций для одного замка вычисляется как произведение вариантов для каждой ячейки: $10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$ комбинаций. В худшем случае, чтобы открыть один замок, папе придётся перебрать все 1000 комбинаций. Поскольку на проверку одного кода уходит 1 секунда, на открытие одного замка в худшем случае потребуется $1000 \times 1 \text{ с} = 1000 \text{ с}$. Так как на дипломате два замка, и коды для них подбираются последовательно, общее время в худшем случае составит сумму времени для каждого замка: $1000 \text{ с} + 1000 \text{ с} = 2000 \text{ с}$. Переведём это время в минуты и секунды: $2000 \text{ с} \div 60 = 33$ и остаток 20. Это составляет 33 минуты 20 секунд.
Ответ: 2000 секунд или 33 минуты 20 секунд.

б) Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Для одного замка существует 1000 возможных кодов, и только один из них является правильным. Вероятность открыть один замок с первой попытки равна $P_1 = \frac{1}{1000}$. События по открытию каждого замка являются независимыми. Вероятность открыть оба замка с первой попытки равна произведению вероятностей открытия каждого из них: $P_2 = P_1 \times P_1 = \frac{1}{1000} \times \frac{1}{1000} = \frac{1}{1000000}$.
Ответ: вероятность открыть один замок с первой попытки – $\frac{1}{1000}$; вероятность открыть оба замка с первой попытки – $\frac{1}{1000000}$.

в) Саша знает, что код каждого замка состоит из цифр 1, 2 и 3, но не помнит их порядок. Нам нужно найти количество перестановок из трёх элементов. Число возможных комбинаций (перестановок) из трёх различных цифр равно $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Возможные коды: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Чтобы гарантированно открыть один замок, в худшем случае Саше придётся проверить все 6 комбинаций. Поскольку замка два, и для каждого из них нужно найти свой код из этих же 6 вариантов, общее количество проверок в худшем случае будет равно сумме проверок для каждого замка: $6 + 6 = 12$.
Ответ: 12 кодов.

г) Каждый код состоит из трёх различных цифр: 1, 2 и некоторой третьей цифры, которая не является ни 1, ни 2. Третьей цифрой может быть любая из множества $\{0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, то есть всего 8 вариантов для третьей цифры. Для каждого такого набора из трёх различных цифр (например, {1, 2, 0}) существует $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ возможных перестановок (кодов). Следовательно, общее количество возможных кодов для одного замка равно произведению числа вариантов для третьей цифры на число перестановок: $8 \times 6 = 48$. В худшем случае, чтобы открыть один замок, придётся проверить все 48 кодов. Для открытия обоих замков в худшем случае потребуется проверить максимальное количество кодов для каждого из них, то есть $48 + 48 = 96$ кодов.
Ответ: чтобы открыть один замок – 48 кодов; чтобы открыть оба замка – 96 кодов.