Номер 946, страница 186 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 4. Занимательные задачи. Глава 4. Десятичные дроби - номер 946, страница 186.

Условие.

946. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 25 мин папа заметил пропажу, быстро развернул лодку, и они поплыли вниз по течению с той же собственной скоростью. Через сколько минут они догонят шляпу?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения этой задачи можно использовать два подхода: классический (в системе отсчета, связанной с берегом) и более простой (в системе отсчета, связанной с водой).

Решение 1: В системе отсчета, связанной с берегом

Введем обозначения:

• $v_л$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде).
• $v_т$ – скорость течения реки.
• $t_1 = 25$ мин – время, в течение которого лодка удалялась от шляпы, плывя против течения.
• $t_2$ – искомое время, за которое лодка догонит шляпу, плывя по течению.

1. Когда лодка плывет против течения, ее скорость относительно берега равна $v_л - v_т$. Шляпа, упав в воду, плывет со скоростью течения $v_т$.

2. За 25 минут ($t_1$) после падения шляпы лодка проплыла против течения расстояние $S_1 = (v_л - v_т) \cdot t_1$ от места, где упала шляпа.

3. За это же время шляпа была снесена течением на расстояние $S_2 = v_т \cdot t_1$ от того же места.

4. В момент, когда папа заметил пропажу, расстояние между лодкой и шляпой составляло:
$S = S_1 + S_2 = (v_л - v_т) \cdot t_1 + v_т \cdot t_1 = v_л \cdot t_1 - v_т \cdot t_1 + v_т \cdot t_1 = v_л \cdot t_1$.

5. После этого лодка развернулась и поплыла по течению. Ее скорость относительно берега стала $v_л + v_т$. Шляпа продолжала плыть со скоростью $v_т$. Лодка догоняет шляпу, поэтому нам важна их скорость сближения.

6. Скорость сближения лодки и шляпы равна разности их скоростей:
$v_{сближения} = (v_л + v_т) - v_т = v_л$.

7. Время, необходимое для того, чтобы догнать шляпу, равно расстоянию между ними, деленному на скорость сближения:
$t_2 = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{v_л \cdot t_1}{v_л} = t_1$.

8. Так как $t_1 = 25$ мин, то и $t_2 = 25$ мин.

Ответ: 25 минут.

Решение 2: В системе отсчета, связанной с водой (более простое)

1. Представим, что мы наблюдаем за происходящим не с берега, а из воды. В этой системе отсчета вода неподвижна.

2. Когда шляпа падает в воду, она остается на месте относительно воды (поскольку ее несет течением вместе с нами, наблюдателями).

3. Лодка же относительно воды движется со своей собственной скоростью $v_л$. Сначала она удаляется от неподвижной шляпы в течение 25 минут.

4. Затем лодка разворачивается и начинает двигаться обратно к шляпе, которая все так же неподвижна в нашей системе отсчета. Скорость лодки относительно воды остается той же – $v_л$.

5. Поскольку лодка удалялась от шляпы в течение 25 минут с определенной скоростью, то чтобы вернуться в исходную точку (к шляпе), ей потребуется ровно столько же времени, двигаясь с той же скоростью.

6. Таким образом, время возвращения к шляпе составит 25 минут.

Ответ: 25 минут.