Номер 968, страница 193 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Бесконечные периодические десятичные дроби. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 968, страница 193.

Условие.

968. В каком случае несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда ее можно привести к знаменателю, равному степени числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Например, $0.7 = \frac{7}{10}$, $0.13 = \frac{13}{100}$, $0.025 = \frac{25}{1000}$.

Разложение числа 10 на простые множители — это $2 \cdot 5$. Соответственно, разложение любой степени числа 10, то есть $10^n$, будет состоять только из простых множителей 2 и 5. Например, $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.

Из этого следует правило: несократимую обыкновенную дробь $\frac{p}{q}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если ее знаменатель $q$ раскладывается на простые множители, содержащие только 2 и 5.

Следовательно, несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь, если в разложении ее знаменателя на простые множители присутствует хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5. При делении числителя на такой знаменатель получается бесконечная периодическая десятичная дробь.

Например, рассмотрим дробь $\frac{7}{12}$. Она несократима. Разложим ее знаменатель на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$. Так как в разложении присутствует множитель 3, который отличен от 2 и 5, эта дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной: $\frac{7}{12} = 0.58333... = 0.58(3)$.

В то же время, дробь $\frac{9}{40}$ является несократимой, а ее знаменатель $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$. В разложении есть только множители 2 и 5. Поэтому эта дробь разлагается в конечную десятичную: $\frac{9}{40} = \frac{9 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{225}{1000} = 0.225$.

Ответ: Несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь в том случае, если разложение ее знаменателя на простые множители содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.