Номер 967, страница 191 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.1. Разложение положительной обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь - номер 967, страница 191.

Условие.

967. Можно ли разложить данную обыкновенную дробь в конечную десятичную дробь (ответ обосновать):

а) $\frac{1}{7}$;

б) $\frac{6}{48}$;

в) $\frac{7}{352}$;

г) $\frac{12}{56}$;

д) $\frac{120}{38}$;

е) $\frac{12}{96}$;

ж) $\frac{21}{75}$;

з) $\frac{7}{300}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель её несократимой формы не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5.

а) Дробь $\frac{1}{7}$ является несократимой. Её знаменатель равен 7. Так как 7 — это простое число, отличное от 2 и 5, данную дробь нельзя разложить в конечную десятичную дробь. Ответ: нельзя.

б) Сократим дробь $\frac{6}{48}$: $\frac{6}{48} = \frac{6 \div 6}{48 \div 6} = \frac{1}{8}$. Знаменатель несократимой дроби равен 8. Разложим знаменатель на простые множители: $8 = 2^3$. В разложении знаменателя присутствует только простой множитель 2. Следовательно, данную дробь можно разложить в конечную десятичную дробь. Ответ: можно.

в) Дробь $\frac{7}{352}$ является несократимой, так как 352 не делится на 7. Разложим знаменатель 352 на простые множители: $352 = 2^5 \times 11$. В разложении знаменателя присутствует простой множитель 11, который не является ни 2, ни 5. Следовательно, данную дробь нельзя разложить в конечную десятичную дробь. Ответ: нельзя.

г) Сократим дробь $\frac{12}{56}$: $\frac{12}{56} = \frac{12 \div 4}{56 \div 4} = \frac{3}{14}$. Знаменатель несократимой дроби равен 14. Разложим его на простые множители: $14 = 2 \times 7$. В разложении знаменателя присутствует простой множитель 7. Следовательно, данную дробь нельзя разложить в конечную десятичную дробь. Ответ: нельзя.

д) Сократим дробь $\frac{120}{38}$: $\frac{120}{38} = \frac{120 \div 2}{38 \div 2} = \frac{60}{19}$. Знаменатель несократимой дроби равен 19. Число 19 является простым, отличным от 2 и 5. Следовательно, данную дробь нельзя разложить в конечную десятичную дробь. Ответ: нельзя.

е) Сократим дробь $\frac{12}{96}$: $\frac{12}{96} = \frac{12 \div 12}{96 \div 12} = \frac{1}{8}$. Знаменатель несократимой дроби равен 8. Разложим его на простые множители: $8 = 2^3$. Так как разложение знаменателя содержит только множитель 2, данную дробь можно разложить в конечную десятичную дробь. Ответ: можно.

ж) Сократим дробь $\frac{21}{75}$: $\frac{21}{75} = \frac{21 \div 3}{75 \div 3} = \frac{7}{25}$. Знаменатель несократимой дроби равен 25. Разложим его на простые множители: $25 = 5^2$. Так как разложение знаменателя содержит только множитель 5, данную дробь можно разложить в конечную десятичную дробь. Ответ: можно.

з) Дробь $\frac{7}{300}$ является несократимой. Разложим знаменатель 300 на простые множители: $300 = 3 \times 100 = 3 \times 2^2 \times 5^2$. В разложении знаменателя присутствует простой множитель 3. Следовательно, данную дробь нельзя разложить в конечную десятичную дробь. Ответ: нельзя.