Номер 970, страница 193 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.2. Бесконечные периодические десятичные дроби - номер 970, страница 193.

Условие.

970. Какие десятичные дроби можно получить при делении уголком числителя обыкновенной дроби на её знаменатель?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

При делении уголком числителя обыкновенной дроби на её знаменатель в результате можно получить десятичную дробь одного из двух видов: конечную или бесконечную периодическую.

1. Конечные десятичные дроби

Такая дробь получается, если процесс деления заканчивается, то есть на одном из шагов остаток становится равным нулю. Это происходит в том случае, когда знаменатель несократимой обыкновенной дроби после разложения на простые множители содержит только множители 2 и 5.

Примеры:

• Дробь $\frac{1}{4}$. Знаменатель $4 = 2^2$. При делении 1 на 4 получаем $0.25$.

• Дробь $\frac{3}{8}$. Знаменатель $8 = 2^3$. При делении 3 на 8 получаем $0.375$.

• Дробь $\frac{7}{20}$. Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5$. При делении 7 на 20 получаем $0.35$.

2. Бесконечные периодические десятичные дроби

Такая дробь получается, если процесс деления не заканчивается, но остатки начинают циклически повторяться. Это приводит к тому, что в частном появляется бесконечно повторяющаяся группа цифр, называемая периодом. Это происходит тогда, когда в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители присутствует хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5.

Примеры:

• Дробь $\frac{1}{3}$. Знаменатель 3 – простое число. При делении 1 на 3 получаем $0.333...$ , что записывается как $0.(3)$. Период – цифра 3.

• Дробь $\frac{5}{6}$. Знаменатель $6 = 2 \cdot 3$. При делении 5 на 6 получаем $0.8333...$, что записывается как $0.8(3)$. Это смешанная периодическая дробь с периодом 3.

• Дробь $\frac{4}{7}$. Знаменатель 7 – простое число. При делении 4 на 7 получаем $0.571428571428...$, что записывается как $0.(571428)$. Период – группа цифр 571428.

Таким образом, любая обыкновенная дробь (рациональное число) может быть представлена в виде либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дроби.

Ответ: При делении числителя обыкновенной дроби на её знаменатель можно получить либо конечную десятичную дробь, либо бесконечную периодическую десятичную дробь.