Номер 971, страница 193 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Бесконечные периодические десятичные дроби. Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 971, страница 193.

Условие.

971. Как узнать, в какую десятичную дробь разлагается обыкновенная дробь — в конечную или в бесконечную? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Как узнать, в какую десятичную дробь разлагается обыкновенная дробь — в конечную или в бесконечную?

Чтобы определить, в какую десятичную дробь преобразуется обыкновенная дробь, нужно выполнить два шага:

1. Привести обыкновенную дробь к несократимому виду (сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель).

2. Разложить знаменатель полученной несократимой дроби на простые множители и проанализировать их:

- Если разложение знаменателя содержит только простые множители 2 и 5 (в любой комбинации и степени), то дробь преобразуется в конечную десятичную дробь.

- Если в разложении знаменателя присутствует хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.), то дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Ответ: Дробь будет конечной, если после сокращения в разложении ее знаменателя на простые множители есть только числа 2 и 5. В противном случае дробь будет бесконечной.

Приведите примеры.

Примеры конечных десятичных дробей:

а) Дробь $\frac{7}{40}$. Она несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь конечная.
Проверка: $\frac{7}{40} = \frac{7 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{175}{1000} = 0.175$.

б) Дробь $\frac{21}{60}$. Сначала сократим дробь на 3: $\frac{21}{60} = \frac{7}{20}$. Знаменатель полученной несократимой дроби равен 20. Разложим его на простые множители: $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$. В разложении только множители 2 и 5. Следовательно, дробь конечная.
Проверка: $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0.35$.

Примеры бесконечных десятичных дробей:

а) Дробь $\frac{5}{12}$. Она несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. В разложении присутствует простой множитель 3. Следовательно, дробь бесконечная.
Проверка: $5 \div 12 = 0.41666... = 0.41(6)$.

б) Дробь $\frac{4}{11}$. Она несократимая. Знаменатель 11 — это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, дробь бесконечная.
Проверка: $4 \div 11 = 0.363636... = 0.(36)$.

Ответ: Конечные: $\frac{7}{40} = 0.175$; $\frac{21}{60} = 0.35$. Бесконечные: $\frac{5}{12} = 0.41(6)$; $\frac{4}{11} = 0.(36)$.