Номер 957, страница 190 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Обыкновенные и десятичные дроби. 5.1. Разложение положительной обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь - номер 957, страница 190.

Условие.

957. Какие делители должен иметь знаменатель обыкновенной несократимой дроби, чтобы она разлагалась в конечную десятичную дробь? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для того чтобы обыкновенная несократимая дробь разлагалась в конечную десятичную дробь, её знаменатель не должен иметь никаких других простых делителей, кроме 2 и 5. Другими словами, разложение знаменателя на простые множители должно иметь вид $2^n \cdot 5^m$, где $n$ и $m$ – целые неотрицательные числа.

Это правило объясняется тем, что любая конечная десятичная дробь по определению является дробью, знаменатель которой — это степень числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Разложение числа 10 на простые множители — это $2 \cdot 5$. Соответственно, любая степень десяти, $10^k$, будет иметь вид $(2 \cdot 5)^k = 2^k \cdot 5^k$.

Таким образом, чтобы обыкновенную несократимую дробь $\frac{a}{b}$ можно было преобразовать в конечную десятичную, её знаменатель $b$ должен быть делителем некоторой степени числа 10. Это возможно только в том случае, если в разложении знаменателя $b$ на простые множители содержатся только числа 2 и 5.

Приведите примеры

• Дробь $\frac{3}{4}$.
  Знаменатель $4 = 2^2$. В разложении присутствует только простой делитель 2.
  $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0.75$.

• Дробь $\frac{7}{20}$.
  Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5^1$. В разложении присутствуют только простые делители 2 и 5.
  $\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0.35$.

• Дробь $\frac{11}{125}$.
  Знаменатель $125 = 5^3$. В разложении присутствует только простой делитель 5.
  $\frac{11}{125} = \frac{11 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{88}{1000} = 0.088$.

В качестве контрпримера можно рассмотреть дробь $\frac{5}{12}$. Её знаменатель $12 = 2^2 \cdot 3$. Так как в разложении присутствует простой множитель 3, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби: $\frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6)$.

Ответ: Знаменатель обыкновенной несократимой дроби должен иметь в качестве простых делителей только числа 2 и 5.